Hermite-Hadamard不等式差值估計的一種推廣

時統業，曾志紅

（1.海軍指揮學院，江蘇 南京 211800；2.廣東第二師范學院學報編輯部，廣東 廣州 510303）

0 引 言

對于[a，b]上的凸函數f，成立

式（1）稱為Hermite-Hadamard 不等式.利用由式（1）生成的差值函數的單調性和凸性，可以加細式（1）[1-2].

利用導函數可以估計對由式（1）生成的差值[3-11].

設f 是定義在[a，b]上的函數，考慮定義在[a，b]上的函數

定義1[12-14]設函數f 定義在[a，b]上，如果存在常數M，對任意x，y∈[a，b]有則稱 f 在[a，b]上滿足 M-Lipschiz 條件，或者稱 f 是[a，b]上的M-Lipschiz 函數.

本文將給出與θ（x）有關的不等式，在特殊情況下得到已有文獻的結果.

1 主要結果

定理 1設 f 是[a，b]上的凸函數，則 θ（x）在上單調增加，從而對任意有

證明θ（x）在上連續，且對任意有故 θ（x）在上單調增加.從而對任意有即式（2）成立.

推論1設f 是[a，b]上的凸函數，則有

證明在式（2）中對x 在上積分即可得證.

定理2設f 是[a，b]上的可微函數，且f′在[a，b]上滿足M-Lipschiz 條件，則對任意有

證明用分部積分法得

因f′在[a，b]上滿足 M-Lipschiz 條件，故有

推論2設f 是[a，b]上的可微函數，且f′在[a，b]上滿足M-Lipschiz 條件，則有

定理3設f 是[a，b]上的可微函數，且存在常數γ 和Γ，使得γ≤f′≤Γ，則對任意x∈[a，b]，有

證明當 x＝a 時，式（3）顯然成立.當 x∈(a，b]時，對函數 θ（t）和（t－a）2在[a，x]上使用Cauchy 微分中值定理，存在ξ∈（a，x），使得

故式（3）成立.

推論3設f 是[a，b]上的可微函數，且存在常數γ 和Γ，使得γ≤f′≤Γ，則有

定理4設f 是[a，b]上的凸函數，且存在，則對任意x∈[a，b]有

對任意 t∈[a，x]，有

在式（5）中對 t 在[a，x]上積分，則式（4）得證.

推論4[7]設f 是[a，b]上的凸函數，且存在，則有

定理5設f 是[a，b]上的二階可微函數，且存在常數m 和M，使得m≤f″≤M，則

證明（i）因為m≤f″≤M，故對任意有

將式（8）乘以（t－a），然后對 t 在[a，x]上積分，則式（6）得證.

（ii）對任意 t∈[a，x)，t≠a＋b－x，設

考慮函數

即式（7）的右邊部分得證.類似可證式（7）的左邊部分.

推論5[5-6]設f 是[a，b]上的二階可微函數，且存在常數m 和M，使得m≤f″≤M，則有

定理6設f 是[a，b]上的可微函數，且存在常數m 和M，使得γ≤f′≤Γ，則對任意有

證明當時，式（9）顯然成立.當時，對函數 θ（t）和在上使用Cauchy 微分中值定理，存在使得

故式（9）成立.

定理7設f 是[a，b]上的凸函數，且存在，則對任意有

證明注意到

故式（10）成立.

定理8設f 是[a，b]上的可微函數，且f′在[a，b]上滿足

式（11）的右邊部分得證，類似可證式（11）的左邊部分.

推論6設f 是[a，b]上的可微函數，且存在常數m 和M，使得m≤f″≤M，則對任意由式（11）成立.

定理9設f 是[a，b]上的可微函數，且是[a，b]上的凸函數，則對任意有

證明用分部積分法得

推論7[3]設f 是[a，b]上的可微函數，且是[a，b]上的凸函數，則有

定理10設f 是[a，b]上的可微函數，且是[a，b]上的凸函數，則對任意有

證明用分部積分法得