基于改進(jìn)蟻獅算法的廣義預(yù)測(cè)控制對(duì)T-S 模糊模型的控制研究

張文彬

（上海電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院，上海200090）

0 引言

Takagi-Sugeno（T-S）模糊是由日本學(xué)者于1985 年提出的[1]，并已經(jīng)被證明可以任意精度逼近非線性模型，目前已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。T-S 模糊模型與傳統(tǒng)的Mamdani 模糊模型的區(qū)別在于其后件是輸入量的組合，是確定的值而不是模糊語言。該方法的本質(zhì)是通過許多小線段來表示非線性系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性系統(tǒng)的建模。

蟻獅算法（Ant Lion Optimization，ALO）是模仿自然界中蟻獅捕捉螞蟻的行為而提出的算法，是近年來新的群智能算法。由螞蟻的走動(dòng)來探索解空間，而蟻獅代表了局部最優(yōu)解，并設(shè)下陷阱，來捕捉位置更優(yōu)的螞蟻。蟻獅算法的最大優(yōu)點(diǎn)在于其所需要的人為給定的參數(shù)少，并且容易實(shí)現(xiàn)。自2015 年被提出以來[2]，就受到了廣泛的關(guān)注，對(duì)該算法的改進(jìn)也在不斷地探索之中。

廣義預(yù)測(cè)控制自1987 年提出以來，憑借其優(yōu)良的控制效果受到了廣泛的關(guān)注，其對(duì)象大多為受控自回歸積分滑動(dòng)平均模型（CARIMA）。其作為預(yù)測(cè)控制算法同樣具備預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正的特點(diǎn)。

1 廣義預(yù)測(cè)控制

廣義預(yù)測(cè)控制的對(duì)象常用以下的CARIMA 模型來描述[3]。

式中y（k），u（k）分別是對(duì)象的輸出和輸入，ξ（k）是噪聲擾動(dòng)，為了簡(jiǎn)單運(yùn)算常常設(shè)C（z-1）=1。廣義預(yù)測(cè)控制的控制器目標(biāo)函數(shù)如下式所示。

其中λ（j）是加權(quán)常數(shù)；w（k+j）是輸出參考軌跡，其可由式（2）表示。

其中yr是設(shè)定值，a 是柔化因子。

為了求得預(yù)測(cè)輸出y（k+j），通過引入以下丟番圖方程：

其中的多項(xiàng)式Ej，F(xiàn)j是由步長j 和模型參數(shù)共同決定，表示為：

設(shè)Gj(z-1)=Ej(z-1)Bj(z-1)，同時(shí)忽略不可測(cè)的噪聲項(xiàng)的干擾得到的預(yù)測(cè)輸出表達(dá)式如下所示。

令W=[w(k+1),w(k+2),...,w(k+n)]T，那么目標(biāo)函數(shù)就可以表示為：

其中r=HΔu(k)+Fy(k)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)只要將（GTG+λI）-1GT的第一行g(shù)T用于控制系統(tǒng)即可，即：

2 蟻獅算法及改進(jìn)

2.1 基本蟻獅算法

蟻獅算法中由蟻獅、螞蟻和精英蟻獅組成，其中精英蟻獅有著最優(yōu)的適應(yīng)度，代表了全局最優(yōu)解。算法的基本流程如下：

（1）種群的初始化

隨機(jī)初始化螞蟻和蟻獅的位置，并根據(jù)適應(yīng)度大小選擇蟻獅中最優(yōu)的個(gè)體作為精英蟻獅。

（2）螞蟻的隨機(jī)游走

在迭代開始后，首先根據(jù)輪盤賭的方式選擇一只蟻獅，每只螞蟻在其選擇的蟻獅和精英蟻獅的周圍進(jìn)行游走。其游走位置可以有下式表示[4]：

其中t 和T 分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)，r（t）的值為0 或1 可定義為：

對(duì)螞蟻的位置進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化以確保其在解空間內(nèi)進(jìn)行的游走，具體表示為：

其中ai，bi分別為第i 個(gè)變量的下限和上限分別為第t 次迭代時(shí)第i 個(gè)變量的下限和上限，同時(shí)受到被選擇的蟻獅的位置影響如式（13）所示。

其中ct，dt模仿螞蟻落入蟻獅的陷阱后，蟻獅向外刨土，最終使螞蟻進(jìn)入穴底的過程。算法通過減小螞蟻的游走范圍來體現(xiàn)，具體為：

w 的值隨著迭代次數(shù)的增加而增大，具體為當(dāng)t＞0.1T 時(shí)，w=2；t＞0.5T 時(shí)，w=3；t＞0.75T 時(shí)，w=4；t＞0.9T時(shí)，w=5；t＞0.95T 時(shí)，w=6 最終螞蟻的位置可以表示成如式（15）所示。

2.2 改進(jìn)的蟻獅算法

為了使算法能夠有更大的可能性找到全局最優(yōu)點(diǎn)使用混沌反向?qū)W習(xí)初始化來代替原算法的隨機(jī)初始化?；煦绯跏蓟哂须S機(jī)性和遍歷性，能使能使初始化的個(gè)體位置盡可能的遍布于整個(gè)解空間，其搜索效率明顯好于隨機(jī)初始化[5]?；诜聪?qū)W習(xí)（Opposition-Based Learning，OBL）最初由Tizhoosh 于2005 年推出，已被證明是一種增強(qiáng)各種優(yōu)化算法的有效方法。其主要通過計(jì)算反向解來提高找到全局最優(yōu)解的幾率，從而提高算法的收斂速度[6]。具體步驟為：

混沌初始化：本文使用Logistic 混沌算子來對(duì)N 個(gè)蟻獅位置進(jìn)行初始化，其中Logistic 混沌算子如式（17）所示。

其中xn是位于0 到1 之間的隨機(jī)數(shù)，通過式（17）得到N 個(gè)混沌變量，再將得到的混沌變量用于初始化種群位置。

反向?qū)W習(xí)：若個(gè)體位置表示為X=｛x1，x2，x3，…，xn｝，其 中xi∈[ai，bi]，那 么xi的 反 向 位 置 可 以 表 示 為=ai+bi-xi。我們先得到N 個(gè)混沌初始化的蟻獅位置，然后在得到N 個(gè)與之對(duì)應(yīng)的反向位置，再根據(jù)適應(yīng)度值從這2N 個(gè)位置中挑選出較優(yōu)的N 個(gè)位置作為最終的蟻獅初始位置。

為了防止算法陷入局部最優(yōu)解，本文進(jìn)行了變異操作以幫助算法跳出局部解。

根據(jù)差分算法，我們對(duì)蟻獅進(jìn)行變異得到變異后的蟻獅位置如式（18）所示。

其中xE是精英蟻獅位置，xworst是適應(yīng)度最差的蟻獅位置。對(duì)產(chǎn)生的變異蟻獅若其適應(yīng)度優(yōu)于精英蟻獅則代替精英蟻獅，反之若優(yōu)于最差的蟻獅則代替該蟻獅。

對(duì)精英蟻獅XE=｛x1，x2，x3，..，xn｝中隨機(jī)選擇一個(gè)元素xi令xi=li+rand*(ui-li)，若變異后的適應(yīng)度更優(yōu)則代替原精英蟻獅，反之則保持不變。這樣子有助于在算法迭代后期對(duì)精英蟻獅周圍的探索，跳出局部解。同時(shí)為了平衡算法的探索與局部收斂能力，對(duì)式（15）改為：

為了對(duì)算法改進(jìn)的有效性進(jìn)行簡(jiǎn)單說明，本文選取了幾個(gè)基本測(cè)試函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試函數(shù)信息如表1所示，測(cè)試結(jié)果如圖（1-3）所示。

從上面三個(gè)函數(shù)的收斂過程中可以看出：①在迭代初期，改進(jìn)的蟻獅算法的最優(yōu)值比較好，能夠有效增加收斂速度，說明了混沌反向初始化的有效性；②改進(jìn)的蟻獅算法在迭代過程中能有效的跳出局部最優(yōu)點(diǎn)，而原始的蟻獅算法不能很好地做的該點(diǎn)，很好地體現(xiàn)了對(duì)原算法進(jìn)行變異的作用。

廣義預(yù)測(cè)控制中的柔化因子a 和權(quán)重系數(shù)λ都是需要人為進(jìn)行給定的參數(shù)，而對(duì)于給定的被控對(duì)象，通過手動(dòng)調(diào)速這兩個(gè)參數(shù)往往繁瑣而且難以達(dá)到滿意的效果故在本文中將改進(jìn)的蟻獅算法同廣義預(yù)測(cè)控制相結(jié)合[7]，通過算法來優(yōu)化優(yōu)化這兩個(gè)參數(shù)以得到滿意的效果，而目標(biāo)函數(shù)選取為均方方差（MSE）如式（20）所示：

其中SP 是設(shè)定值，y 是控制輸出。

3 對(duì)T-S模糊模型的控制

T-S 模糊的模糊規(guī)則是通過IF-THEN 規(guī)則來進(jìn)行描述的：

其中xi是輸入；Air是第i 條規(guī)則的第r 個(gè)模糊集；pir是后件部分的系數(shù)；R（i）表示第i 條模糊規(guī)則。而整個(gè)T-S 模糊系統(tǒng)的輸出是各個(gè)模糊規(guī)則的加權(quán)平均和，具體可以表示為：

其中C 是模糊規(guī)則數(shù)；wi是第i 條規(guī)則所占權(quán)重。T-S 模糊辨識(shí)建模就是確定模型前件部分和后件部分的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。注意到模糊規(guī)則的THEN 部分同廣義預(yù)測(cè)控制的CARIMA 模型具有相似之處，故本文使用廣義預(yù)測(cè)控制來對(duì)T-S 模糊模型進(jìn)行控制。

智能材料今年來發(fā)展非常迅速，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于精密機(jī)床、微納米平臺(tái)等，然而智能材料具有的遲滯非線性是對(duì)智能材料應(yīng)用的一大阻礙，它會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，和造成精度下降等問題。那么對(duì)遲滯非線性的控制研究是必不可少的。

圖1 函數(shù)f1收斂過程

表1 測(cè)試函數(shù)信息

圖2 函數(shù)f2收斂過程

圖3 函數(shù)f3收斂過程

我們使用T-S 模糊模型對(duì)遲滯非線性建模。先用如式（22）所示的電壓信號(hào)，以10kHz 的采樣頻率輸入Duhel 模型以得到對(duì)應(yīng)的輸出（注意到所用的輸入電壓信號(hào)的幅值不斷減小，周期不斷增大），得到的動(dòng)態(tài)模型訓(xùn)練效果如圖（4）所示。

圖4 T-S建模結(jié)果

對(duì)該模型用基于改進(jìn)蟻獅算法的廣義預(yù)測(cè)控制進(jìn)行控制并將控制結(jié)果同單用廣義預(yù)測(cè)控制的結(jié)果相對(duì)比如圖5、圖6 所示。

圖5 控制結(jié)果對(duì)比

圖6 控制追蹤結(jié)果對(duì)比

圖5 是將系統(tǒng)控制到設(shè)定值4，從圖中可以看出使用改進(jìn)蟻獅算法同廣義預(yù)測(cè)控制相結(jié)合能夠更早地達(dá)到設(shè)定值；圖6 是將系統(tǒng)的輸出跟蹤曲線4e-13tsin（2π×62t×e-t）+1 的結(jié)果，從圖中可以明顯看出所提出方法能夠更好地追蹤目標(biāo)曲線。

與此同時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的模型加入了擾動(dòng)來測(cè)試其抗干擾能力，結(jié)果如圖7 所示。給模型加入擾動(dòng)，系統(tǒng)也能夠很好地恢復(fù)到穩(wěn)定。

圖7 加擾動(dòng)后控制結(jié)果

4 結(jié)語

本文對(duì)已有的蟻獅算法進(jìn)行了改進(jìn)，并將其同廣義預(yù)測(cè)控制相結(jié)合，通過優(yōu)化廣義預(yù)測(cè)控制的參數(shù)，來達(dá)到更好的控制效果，并將其用于對(duì)T-S 模糊模型的控制，進(jìn)行仿真分析，證明了所提出方法的有效性。