歸納推理熱點(diǎn)題型展播

景在榮

推理與證明問題綜合了函數(shù)、方程、不等式、解析幾何和立體幾何等多個(gè)知識點(diǎn),需要采用多種數(shù)學(xué)方法才能解決問題,是提高成績區(qū)分度、增強(qiáng)選拔功能的重要題型.因此，在近幾年的高考試題中,推理與證明問題成為一個(gè)熱點(diǎn)題型.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理方法,即歸納推理思想是在解決問題時(shí),從特殊情況入手,通過觀察、分析、概括、猜想得出一般性結(jié)論,然后進(jìn)行證明.這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的問題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.其思維模式是“觀察—?dú)w納—猜想—證明”,解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想.

1 結(jié)論型

結(jié)論型歸納推理是指通過對特例的觀察和綜合去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.解題的基本步驟是:先在諸多特例中發(fā)現(xiàn)某些相似性,再把相似性推廣為一個(gè)能明確表述的一般命題.

……

照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時(shí),

2 周期型

此類問題一般會(huì)在周期上設(shè)置障礙,要通過周期的定義或有關(guān)結(jié)論算出已知式子的周期,再進(jìn)行求值運(yùn)算,特別是抽象函數(shù),要能夠熟練運(yùn)用賦值法.此類問題往往以函數(shù)、數(shù)列為載體,考查學(xué)生對周期的求解.

S2 018=a1+…+a2 018=a1+a2=3.

3 分組型

分組型歸納推理題目呈現(xiàn)方式為一些有規(guī)律的數(shù)組,考查歸納推理能力,解答這類問題的關(guān)鍵是明確題意,發(fā)現(xiàn)題目中的變化規(guī)律.

4 遞推型

遞推型歸納推理題是依據(jù)問題所呈現(xiàn)的數(shù)量間的關(guān)系或相關(guān)規(guī)律,輔以一定方法來遞推歸納,得出問題的通式,從而探知變化規(guī)律．

5 推斷型

邏輯推理題是近幾年高考的創(chuàng)新題型,由于該題不涉及數(shù)據(jù),也沒有幾何圖形,只涉及一些相互關(guān)聯(lián)的條件,故該類問題是考查學(xué)生抽象思維的很好載體,逐漸受到命題者的青睞.解決這類問題常用的方法有直接法、假設(shè)法、排除法、列表法和枚舉法等.

甲:我的成績比乙高.

乙:丙的成績比我和甲的都高.

丙:我的成績比乙高.

成績公布后,三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確,那么三人按成績由高到低的次序?yàn)? ).

A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙

C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙

甲:甲>乙；乙:丙>乙且丙>甲；丙:丙>乙.

因?yàn)橹挥幸粋€(gè)人預(yù)測正確,所以分析三個(gè)人的預(yù)測,可知:乙、丙的預(yù)測不正確.如果乙預(yù)測正確,則丙預(yù)測正確,不符合題意.如果丙預(yù)測正確,假設(shè)甲、乙預(yù)測不正確,則有丙>乙,乙>甲,因?yàn)橐翌A(yù)測不正確,而丙>乙正確,所以只有丙>甲不正確,則甲>丙,這與丙>乙,乙>甲矛盾，不符合題意.因?yàn)橹挥屑最A(yù)測正確,乙、丙預(yù)測不正確,所以甲>乙,乙>丙.故選A.

6 信息型

近年來的高考題中,涌現(xiàn)出一種新型試題——新信息型問題,主要考查學(xué)生閱讀、分析、歸納、內(nèi)化等綜合能力,同時(shí)在解題過程中又可應(yīng)用許多新方法、新觀念,從而增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識.

A. 18個(gè) B. 16個(gè) C. 14個(gè) D. 12個(gè)

根據(jù)題意可得,必有a1=0,a8=1,而其余的各項(xiàng)a2,a3,…,a7中有3個(gè)0和3個(gè)1,并且滿足對任意k≤8,a1,a2,…,a8中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).可以一一列舉出不同的“規(guī)范01數(shù)列”,除第1項(xiàng)和第8項(xiàng)外,中間6項(xiàng)的排列如下:000111,001011, 001101, 001110, 010011, 010101, 010110, 011001, 011010, 100011, 100101, 100110, 101001, 101010,共14個(gè)(列舉時(shí)，可用列表的方式，如圖1).

圖1

方法2分類計(jì)數(shù)法.

根據(jù)題意可得該“規(guī)范01數(shù)列”共有8項(xiàng),其中a1=0,a8=1,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”的前4項(xiàng)按照0的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論.若前4項(xiàng)全為0,則后4項(xiàng)一定全為1,這樣的“規(guī)范01數(shù)列”只有1個(gè);若前4項(xiàng)有3個(gè)0,則前4項(xiàng)的排列有3種,后4項(xiàng)的排列也有3種,這樣的“規(guī)范01數(shù)列”有3×3=9個(gè);若前4項(xiàng)有2個(gè)0,則前4項(xiàng)的排列有2種,后4項(xiàng)的排列也有2種,這樣的“規(guī)范01數(shù)列”有2×2=4個(gè).故不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有14種.