剖析導數應用中的幾個失分點

孫桂琴

導數是高中數學重點內容,也是研究函數問題的重要工具,但在應用導數時,同學們常常由于對相關概念理解不透徹,造成失分．本文對幾個常見的失分點進行舉例說明,以期幫助同學們避免類似錯誤的發生．

1 導數為零的點與極值點的關系不明

錯解當x≤0時,f′(x)=3(x+1)2ex+1+(x+1)3ex+1=(x+1)2ex+1(x+4).令f′(x)=0,得x=-4．當x∈(-∞,-4)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(-4,0)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增．所以x=-4為f(x)的極小值點．

由條件可知f(x)是定義域為R的偶函數,所以x=4也是f(x)的極小值點，故函數f(x)有2個極值點．

剖析從極值點的定義來看,“導函數為零的點”是“極值點”的既不充分也不必要條件．如f(x)=x3在x=0時,f′(x)=0,但x=0并不是函數的極值點，另外函數極值點處的導數值也有可能不存在.本題中,f′(0)不存在,但x=0是函數的極大值點，故函數f(x)共有3個極值點．

2 忽視曲線“在某點”與“過某點”切線的區別

錯解因為點P(2,1)在曲線f(x)上,求導得f′(x)=3x2-4x,f′(2)=4,所以過點P(2,1)處切線方程是4x-y-7=0．

剖析本題所給的點P(2,1)雖然在曲線f(x)上,但題目所求的是過點P(2,1)的切線,所以點P(2,1)并不一定是切點．

設切點坐標為(x0,y0),則

①

3 非等價變形

在區間(-∞,2)內,g′(x)>0,g(x)單調遞增;

在區間(2,+∞)內,g′(x)<0,g(x)單調遞減．

綜上所述，x=2是函數g(x)的極大值點,g(2)=-e2,故a>-e2,即實數a取值范圍是

(-e2,0)∪(0,+∞).

當x=1時,f(1)=1≠0,所以f(x)沒有零點．

當x≠1時,在區間(-∞,1)∪(1,2)內,g′(x)>0,g(x)單調遞增;在區間(2,+∞)內,g′(x)<0,g(x)單調遞減．

又因為在(-∞,1)內,g(x)>0,所以函數f(x)沒有零點時實數a的取值范圍是(-e2,0)．

4 過程不嚴謹

(1)若x=2為f(x)的極值點,求a的值．

剖析上述解法的錯誤之處有兩點.

1)在第(1)問中求出a的值后,沒有檢驗．

2) 在第(2)問中應用了放縮法,即利用不等式ex≥x+1和x≥lnx+1進行放縮．但在使用這些不等式時,應先給出證明過程,即先證再用．

5 以圖代證

(1)若x=2為f(x)的極值點,求a的值;

(2)若f(x)≥0在(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍．

圖1

錯解由f(x)=aex-lnx-1，可得

當a≤0時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,f(1)=ae-1<0,不符合題意．

fmin(x)=f(x0)=aex0-lnx-1．

導數應用中的失分點,不只本文所述的幾種類型,希望廣大教師要根據不同的題目針對典型錯誤進行歸納總結,以幫助同學們有效糾錯、避錯．