如何應(yīng)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”

李連海 張艷利

函數(shù)的“隱零點(diǎn)”是指客觀存在,但無(wú)法直接求出的零點(diǎn)．導(dǎo)數(shù)法是求解或證明不等式恒成立問(wèn)題的常用工具,即通過(guò)構(gòu)造函數(shù),將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題.求最值的關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,而導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)往往是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),因此，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的求解就顯得至關(guān)重要．但對(duì)于“隱零點(diǎn)”同學(xué)們往往一籌莫展.本文通過(guò)“構(gòu)造函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)”解決一道不等式證明問(wèn)題為例,提出幾種應(yīng)對(duì)“隱零點(diǎn)”的策略,供讀者參考．

1 放縮函數(shù)

證明因?yàn)閤≥lnx+1(x>0)(在應(yīng)用此不等式時(shí),應(yīng)先給出證明,此處略),所以f(x)=(2x-1)·lnx+x≥(2x-1)lnx+lnx+1=2xlnx+1．

2 設(shè)而不求

對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)后,能夠判斷出導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn),但無(wú)法直接求解時(shí),可利用“設(shè)而不求”法,即設(shè)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為x=x0,而進(jìn)一步可判斷出函數(shù)f(x)在x=x0取得最值,此時(shí)可將f(x0)與f′(x0)=0聯(lián)立,求其最值．

①

在區(qū)間(0,x0)內(nèi),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增．所以

fmin(x)=f(x0)=(2x0-1)lnx0+x0.

②

又因?yàn)閔(1)=0,所以h(x)>0,即f(x0)>0，所以f(x)>0.

3 找關(guān)鍵點(diǎn)

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),2x-1>0,lnx>0,故(2x-1)lnx+x>0恒成立;

4 分離函數(shù)

若采用直接法構(gòu)造后,所得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不易求得,則可考慮將所證不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù),分別求函數(shù)的最值．

5 轉(zhuǎn)化函數(shù)

若函數(shù)中含有l(wèi)nx與其他函數(shù)相乘或相除的項(xiàng),直接求導(dǎo),則導(dǎo)函數(shù)中仍含有l(wèi)nx,不易求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)．因此可考慮先將lnx“獨(dú)立”出來(lái),再求導(dǎo)．

證明欲證f(x)=(2x-1)lnx+x>0,

①

綜上所述，f(x)>0恒成立．

綜上所述,處理導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題,可以利用放縮函數(shù)、找關(guān)鍵點(diǎn)、設(shè)而不求等方法.當(dāng)然除了上述幾種方法,還可以應(yīng)用直接或間接分析法、二次求導(dǎo)法等,在此不再舉例．希望同學(xué)們不斷歸納總結(jié),以便能夠靈活應(yīng)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題．