基于Logistic回歸的水利工程邊坡穩(wěn)定性評價

陳兆龍

（湖南興禹建設(shè)有限公司，湖南 常德 415000）

水利工程建設(shè)過程中常常無法避免對山體的切削，坡體的穩(wěn)定性直接決定了工程建設(shè)的可行性、難易程度以及施工管理的復(fù)雜性。工程邊坡的穩(wěn)定性評價是勘查、設(shè)計和施工管理中的重中之重。為此，國內(nèi)外對邊坡穩(wěn)定性評價進(jìn)行了大量的研究，Zhou J［1］等利用二次二階矩法（SOSM）分析了含軟弱結(jié)構(gòu)面的邊坡穩(wěn)定性，穆志江［2］基于有限差分的FLAC3D軟件實現(xiàn)了三維情況下的水利工程高陡邊坡開挖穩(wěn)定性的模擬，評價了該工程邊坡的穩(wěn)定性。然而這些方法所基于的數(shù)學(xué)、力學(xué)原理均較為復(fù)雜，需要大量的建模、參數(shù)擬定和數(shù)值計算，因此雖然給出了較為可信的定量評價結(jié)果，但對水利工程邊坡的穩(wěn)定性評價效率并不高。在工程建設(shè)的初始階段，定性評價往往要比定量評價更為適用。

近年來，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，對于水利工程邊坡穩(wěn)定性的定性評價系統(tǒng)以及工程風(fēng)險評估系統(tǒng)的開發(fā)成為了研究的熱點［3］。隨著現(xiàn)代計算機(jī)和人工智能技術(shù)的飛速發(fā)展，大量人工智能技術(shù)被運(yùn)用到了邊坡穩(wěn)定性評價當(dāng)中，如Qi C［4］等提出并比較了六種基于元啟發(fā)式和ML算法的邊坡穩(wěn)定性預(yù)測的綜合人工智能（AI）方法，證明了集成的AI方法具有很大的預(yù)測斜率穩(wěn)定性的潛力。Hoang N D［5］等利用先進(jìn)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，包括極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM）、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFNN）和最小二乘支持向量機(jī)（LSSVM），對邊坡穩(wěn)定性預(yù)測進(jìn)行了對比研究。蘇國韶［6］等基于高斯過程機(jī)器學(xué)習(xí)對邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了定性評價，康飛［7］等提出了基于計算機(jī)試驗結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)理論建立邊坡系統(tǒng)（體系）可靠度分析智能響應(yīng)面法的一般框架。

對于工程建設(shè)者而言，Logistic回歸算法可以很好地用于邊坡穩(wěn)定性分析，通過設(shè)計與水利工程邊坡穩(wěn)定性評價配套的計算模型，可利用該算法快速地得出穩(wěn)定性評價的結(jié)論。

1 水利工程邊坡穩(wěn)定性評價的Logistic回歸模型

1.1 水利工程邊坡穩(wěn)定性評價初步模型化

在水利工程項目可行性研究階段，邊坡穩(wěn)定性評價問題可以簡化為“欠穩(wěn)定”與“穩(wěn)定”兩種情況的判定，若將其分別利用“0”和“1”表示，這就成為了典型的離散變量預(yù)測問題。

該離散變量預(yù)測問題因變量簡明，但由于影響水利工程邊坡穩(wěn)定性的因素較多，如坡高、坡角、地質(zhì)年代與地層巖性、巖層厚度、軟弱結(jié)構(gòu)面的數(shù)量與厚度、水文地質(zhì)條件等，使得該離散變量預(yù)測問題的自變量紛繁復(fù)雜，因此提煉影響邊坡穩(wěn)定性的主要因素至關(guān)重要。本文取坡高、坡角、地層巖性、巖體結(jié)構(gòu)、軟弱地層、風(fēng)化程度、地下水和年降水量等作為控制水利工程邊坡穩(wěn)定性的主要因素，將這些因素作為模型的自變量，研究其對邊坡穩(wěn)定性的影響。

1.2 水利工程邊坡穩(wěn)定性評價的數(shù)學(xué)模型

1.2.1 評價模型的建立

經(jīng)過水利工程邊坡穩(wěn)定性評價模型因變量與自變量的選取，可將其用數(shù)學(xué)語言表達(dá)如下:

設(shè)因變量符號為y（i）（1≤i≤m），其中i代表第i個所研究的邊坡，m為所研究邊坡的總數(shù)量。由以上分析可知y（i）滿足y（i）∈｛0，1｝，當(dāng)邊坡被判定為“欠穩(wěn)定”時，y（i）=0，當(dāng)邊坡被判定為“穩(wěn)定”時，y（i）=1。

下面建立自變量與因變量之間的關(guān)系，先令中間變量為z，表達(dá)式見式（1）:

式中，θj為常系數(shù)，該式表示各自變量的值與其權(quán)重的乘積之和，表征各因素對邊坡穩(wěn)定性的影響程度。

向量化表示以便于運(yùn)算，式（1）可化為式（2）:

由于y（i）∈｛0，1｝，對“0”與“1”的判斷可用概率表示，所以應(yīng)選取合適的自變量與因變量之間的函數(shù)關(guān)系hθ（x）描述因變量的取值概率，見式（3）、式（4）:

式中，P（y=1｜x）表示y=1（穩(wěn)定）的概率，P（y=0｜x）表示y=0（欠穩(wěn)定）的概率，0＜hθ（x）＜1。上述兩式表示，當(dāng)z取正值且較大時，P（y=1｜x）=1，P（y=0｜x）=0，當(dāng)取負(fù)值且足夠小時，P（y=1｜x）=0，P（y=0｜x）=1。由此可通過選取適當(dāng)?shù)母怕书撝蹬袛噙吰率欠穹€(wěn)定。

1.2.2 模型的求解

在Logistic回歸中，最終要求解的未知量是θ，此處采用最速梯度下降法進(jìn)行求解。在求解過程中需要判定解是否收斂，可選取一個目標(biāo)函數(shù)，命名為Cost函數(shù)，Cost函數(shù)在Logistic回歸中用于判定算法的收斂性，當(dāng)Cost函數(shù)達(dá)到最小值時判定算法求解已收斂，即此時的θ即為區(qū)分邊坡穩(wěn)定性的最優(yōu)解。

機(jī)器學(xué)習(xí)中，通常該問題的Cost函數(shù)表達(dá)式見式（5）:

對式（5）解釋如下:由于需要得到J（θ）的最小值，因此當(dāng)已知樣本的y（i）=1時，意味著需要將式中的hθ（x（i））更替為一較大值，使得J（θ）減小；當(dāng)y（i）=0時，意味著需要將hθ（x（i））更替為一較小值，使得J（θ）減小。由此通過一個邊坡穩(wěn)定性的判斷，可以得到一組更佳的θ值，θ迭代方式通過最速梯度下降法獲得，見式（6）:

式中，α為學(xué)習(xí)速率，為一常數(shù)，式（6）即θ原值減去學(xué)習(xí)速率與式（5）對θ的導(dǎo)數(shù)之積，Cost函數(shù)沿此路徑下降最快。實際計算時本文采用Matlab的fminunc函數(shù)實現(xiàn)α的自動選取。

由此經(jīng)過一系列已知邊坡穩(wěn)定性情況對上述模型的反復(fù)訓(xùn)練，便可得到使得Cost函數(shù)收斂的最佳θ取值，將該值代入式（2）中得出判斷邊坡穩(wěn)定與否的邊界。

1.3 水利工程邊坡穩(wěn)定性評價模型變量的參數(shù)化

在按上述思路求解該水利工程邊坡穩(wěn)定性評價模型的過程中，定義模型自變量為坡高、坡角、地層巖性、巖體結(jié)構(gòu)、軟弱地層、風(fēng)化程度、地下水和年降水量。其中坡高、坡角和年降水量已為量化指標(biāo)，可不進(jìn)行處理，但需將其他自變量進(jìn)行量化以便代入數(shù)學(xué)模型運(yùn)用Logistic回歸算法進(jìn)行求解。參考劉美芳［8］所建立的復(fù)雜邊坡管理系統(tǒng)，規(guī)定量化指標(biāo)見表1～表5。

表1 巖性量化指標(biāo)

表2 巖體結(jié)構(gòu)量化指標(biāo)

表3 軟弱地層量化指標(biāo)

表4 地下水量化指標(biāo)

表5 風(fēng)化程度量化指標(biāo)

2 工程實例分析

2.1 案例及訓(xùn)練集地質(zhì)資料

石磨嶺庫區(qū)邊坡經(jīng)初步地質(zhì)調(diào)查，得到的地質(zhì)資料見表6［9］，現(xiàn)對該邊坡的穩(wěn)定性作出初步的定性判斷。

表6 石磨嶺庫區(qū)邊坡地質(zhì)資料

首先利用表1～表5對該水利工程邊坡的地質(zhì)資料進(jìn)行量化操作，所得量化指標(biāo)見表7。

表7 地質(zhì)情況量化表

利用Logistic回歸建立分類模型的首要步驟是收集訓(xùn)練集相關(guān)數(shù)據(jù)。由于所研究的對象是水利工程邊坡，研究的內(nèi)容是水利工程邊坡的穩(wěn)定性評價，可根據(jù)統(tǒng)計學(xué)大樣本定義，借鑒該案例的評價指標(biāo)，經(jīng)野外地質(zhì)調(diào)查，另選取30個水利工程邊坡形成訓(xùn)練集。水利工程邊坡訓(xùn)練集相關(guān)數(shù)據(jù)見表8，相關(guān)指標(biāo)均以量化的形式呈現(xiàn)。

表8 水利工程邊坡訓(xùn)練集數(shù)據(jù)

由表8可知，正樣本（“穩(wěn)定性”=1）的個數(shù)為13，負(fù)樣本（“穩(wěn)定性”=0）的個數(shù)為17，正負(fù)樣本選取較為均勻，可以進(jìn)行下一步的Logistic回歸分析。

2.2 Logistic回歸及穩(wěn)定性評價

2.2.1 Logistic回歸的實現(xiàn)

由表8可知，單個樣本中自變量的取值差異較大，如年降水量比巖性評分等指標(biāo)高出2個數(shù)量級，這種情況將會造成Logistic回歸的收斂速度過慢甚至無法得到最優(yōu)解。因此，考慮將每個自變量均進(jìn)行特征縮放，特征縮放的過程見式（7）:

式中，μj為第j個自變量的均值，sj為第j個自變量的標(biāo)準(zhǔn)差，由此限制所有樣本的自變量均滿足。

為防止過擬合的現(xiàn)象發(fā)生，設(shè)定正則因子為λ（λ＞0，λ∈R），正則化后的Cost函數(shù)及θ值迭代表達(dá)式分別見式（8）、式（9）:

式中，與λ的乘積項為正則化項，通過選取合適的正則因子λ可以有效地防止過擬合。

取λ=10，經(jīng)上式迭代400次，編制程序進(jìn)行計算，可得θ值:

此時對應(yīng)的Jmin（θ）=0.263545，θ為局部最優(yōu)解，由于Cost函數(shù)是凸函數(shù)，所以該局部最優(yōu)解便是全局最優(yōu)解。

建立水利工程邊坡穩(wěn)定性定性預(yù)測與評價模型，見式（10）、式（11）:

式（10）為預(yù)測模型，式（11）為評價模型，將待評價邊坡的自變量代入兩式計算，當(dāng)hθ（x）≥0.5時，認(rèn)定y（i）=1，即坡體是穩(wěn)定的；當(dāng)hθ（x）＜0.5時，認(rèn)定y（i）=0，即坡體欠穩(wěn)定。

2.2.2 邊坡穩(wěn)定性評價

在對工程案例進(jìn)行評價之前，為考證模型的正確性，將30個訓(xùn)練集邊坡案例代入由式（11）所建立的模型中，重新對各個已知穩(wěn)定性的邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性判斷。經(jīng)檢驗，得到與真實結(jié)果相同結(jié)論的準(zhǔn)確率為96.67%，模型準(zhǔn)確性較高。

對案例邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性評價，將已量化的已知自變量代入上述模型中，得到hθ（x）=0.263442＜0.5，因此y=0，即該邊坡可能發(fā)生失穩(wěn)，與實例結(jié)論一致。

3 結(jié) 語

水利工程邊坡穩(wěn)定性的研究是水利工程建設(shè)可行性研究的重要環(huán)節(jié)之一，在可行性研究階段對坡體穩(wěn)定性進(jìn)行簡單可信的定性評價有利于節(jié)省勘查成本和研究成本。基于這一需求，結(jié)合目前熱門的Logitsic回歸思想，建立了水利工程邊坡穩(wěn)定性評價模型，該模型能夠定性給出坡體的穩(wěn)定性情況。模型考慮了地層巖性、坡高、坡角等8個主要因素對坡體穩(wěn)定性的影響，充分體現(xiàn)坡體的特征，使得運(yùn)用該模型評價的結(jié)果更加準(zhǔn)確可靠。經(jīng)30個樣本的訓(xùn)練后，利用該模型對石磨嶺庫區(qū)水利工程實際邊坡穩(wěn)定性作出了定性預(yù)測，論證了該模型的可靠性和實用性。