從物理視角欣賞美妙的圓錐曲線

劉文彪

大約在2300年以前古希臘數學家就開始研究圓錐曲線問題,提出了利用平面切割圓錐面可以得到橢圓、拋物線和雙曲線．歐幾里得在著名的《幾何原本》中,還系統地給出了圓錐曲線用焦點和準線方法的統一定義．圓錐曲線問題不但在數學中有完美的理論體系,而且在科學研究和工程技術上也有著廣泛的應用．系統、深入地學習和研究圓錐曲線相關知識,對鞏固高中課內的數學、物理知識,培養科學探究的興趣,樹立正確的自然觀、世界觀、科學觀具有重要的意義．

1 圓錐曲線的幾何定義

如圖1,用平面切割圓錐時,平面垂直于對稱軸,得到的是圓;把平面漸漸傾斜,得到橢圓;當平面傾斜到只與圓錐的一條母線平行時,得到拋物線;用平行于圓錐對稱軸的平面截取,可得到雙曲線．正因為如此,古希臘數學家阿波羅尼曾把橢圓叫作“虧曲線”,把拋物線叫作“齊曲線”,把雙曲線叫作“超曲線”．

圖1 平面切割圓錐面得到橢圓、拋物線、雙曲線

如圖2,圓錐曲線還可以通過到一定點和到一定直線距離之比是常數的動點軌跡來定義,MF∶MC<1時,M點軌跡為橢圓,MF∶MC=1時為拋物線,MF∶MC>1時為雙曲線．到定點(焦點)的距離與到定直線(準線)的距離之商是常數e(離心率).顯然,當01時,為雙曲線的一支．圓錐曲線中,焦點到準線的距離稱為焦準距,通常用p來表示;焦點到曲線上任意一點的線段稱為焦半徑;過焦點、平行于準線的直線與圓錐曲線相交于兩點,此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑,又稱為正焦弦．

圖2 由焦點和準線定義的橢圓、拋物線、雙曲線

此外,橢圓上任何一點到其兩個焦點距離之和為定值,雙曲線上任何一點到其兩個焦點距離之差為定值,這也可以作為橢圓和雙曲線的定義．橢圓、拋物線、雙曲線的上述三種幾何定義是完全等價的,而中學教材里為了理論的系統性和規范性利用更多的篇幅介紹和講述第二種定義．這樣更加凸顯了圓錐曲線的解析幾何特征,使得圓錐曲線自然對應平面直角坐標系下的二次曲線方程,因此圓錐曲線又稱二次曲線．

事實上,橢圓、拋物線、雙曲線是圓錐曲線的三種主要情形,充分考慮退化和特殊情況的圓錐曲線則有著更加豐富的內容．開普勒提出,圓錐曲線可以看作能夠從一個形狀連續地變到另一形狀,拋物線還有一個在無窮遠處的焦點,直線是圓心在無窮遠處的圓．因此,橢圓、拋物線、雙曲線、圓,以及由兩條直線甚至一條直線組成的退化圓錐曲線,都可以從其中一個連續地變為另一個,只需考慮焦點的各種移動方式．橢圓有左右兩個焦點F1、F2,若F1固定,考慮F2的移動,當F2向左移動,橢圓逐漸趨向于圓,F2與F1重合時即為圓;當F2向右移動,橢圓逐漸趨向于拋物線,F2到無窮遠處時即為拋物線，直至一條直線;當F2從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來,即為雙曲線;當F2繼續向右移動,F2又與F1重合時即為兩相交直線．

2 解析幾何與二次曲線

笛卡爾的《幾何學》提出了解析幾何的主要思想與方法,標志著解析幾何的誕生．笛卡爾的坐標系是一種思想方法,也是解析幾何的根基,使得人們可以用數學方程來研究平面上的曲線,進而認識到代數中二元二次方程的圖象就是圓錐曲線．《幾何學》使整個數學發生了嶄新的變化,笛卡爾也當之無愧成了現代數學創始人之一．繼笛卡爾直角坐標系之后,數學家們還給出了平面極坐標系,并能把這兩種坐標系相互轉換．在這種情況下,表示圓錐曲線的二次方程只需考慮高中通用教材里的幾種標準形式．從最一般的二元二次方程出發,經過坐標變換,通過坐標軸的適當平移和旋轉,在不退化的情況下總可化為圓錐曲線的標準形式．

拋物線的標準方程為y2=2px(p>0).

3 神奇的圓錐曲線及其技術應用

橢圓、拋物線、雙曲線各有其神奇、獨特的光學特性,這些性質被應用于光學、聲學、熱學、電子學等領域,促進了科學技術的發展和進步，改善了人類的生產和生活．如光學中燈具與望遠鏡的設計;聲學中音樂臺的拋物面屏墻、橢圓聽音實驗;醫學電子學中的沖擊波排石、橢圓激光消痣;在微波通信、聚熱、發電(如太陽灶、太陽爐、太陽能光電站)等領域,也廣泛地用到了圓錐曲線尤其是拋物線的“光學特性”．

具體來說,從橢圓一個焦點發出的光,經過橢圓反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上．從拋物線的焦點發出的光,經過拋物線反射后,反射光線都將平行于拋物線的對稱軸．從雙曲線一個焦點發出的光,經過雙曲線反射后,反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上．橢圓、拋物線、雙曲線這些神奇的光學特性,其光路圖如圖3所示．

圖3 橢圓、拋物線、雙曲線的神奇光學特性

由橢圓、拋物線、雙曲線繞其對稱軸旋轉,可得到對應的二維旋轉面．此時,原本圓錐曲線對稱軸上的焦點就成了二維旋轉面在三維空間中具有奇妙性質的焦點．例如，對于拋物面來說,任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以后都將成為平行于軸的直線,因此探照燈反光鏡一定要做成旋轉拋物面．

圓錐曲線在許多大型拱形、薄殼形建筑上以及大量生產、生活用品制造上都有廣泛的應用,這些妙用是由其特殊的形狀和內在特性決定的．如根據“雙曲線時差定位法”的基本原理,人們發明了當今普遍應用的“全球衛星定位導航系統”．

4 行星橢圓運動和拋物線

開普勒是德國天文學家,于1571年12月27日出生于一個小市民家庭,從小他就身體欠佳,天花使他成了麻子,猩紅熱損傷了他的雙眼．17歲時他開始攻讀神學,于1591年獲得神學碩士學位．畢業之后開普勒不顧父母的反對,在奧地利的一所大學里找到了一份自然科學教師的工作,而不是做工作輕松的牧師．30歲時,開普勒寫信聯系丹麥天文學家第谷,由于他的出色才華而成為第谷的助手．雖然與第谷只合作了10個月,第谷便去世了,但開普勒繼承了他留下的寶貴資料．利用第谷多年積累的準確、豐富的觀測資料,開普勒發現了行星運動規律,提出了行星運動三定律(即開普勒定律),為牛頓發現萬有引力定律打下了基礎．

開普勒定律表述如下：

1)所有行星繞太陽的軌道都是橢圓,太陽在橢圓的一個焦點上．(1609年)

2)行星和太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積．(1609年)

3)所有行星公轉周期的平方與它們軌道半長軸的立方之比為常數．(1619年)

在第谷的工作基礎上,開普勒還編制成了《魯道夫星表》,直到18世紀中期這個星表仍然被天文學家和航海家們視為珍寶,它的形式幾乎沒有改變地保留到了今天．

根據開普勒第一、第二定律,按照牛頓第二定律所揭示的動力學規律,人們給出了在平面極坐標系下做橢圓運動的行星軌道與恒星施與行星的力之間應該滿足的微分方程

湊巧的是,不但天體運動的基本形式是圓錐曲線．意大利物理學家、科學的先驅者伽利略(1564—1642)研究物體在地面附近的斜拋運動時,發現其軌道竟然也是圓錐曲線的一種,即拋物線．今天我們都知道,行星受到太陽的作用力,與地面上拋出物體受到的重力,本質上都是萬有引力．牛頓把地上的運動規律和天上的運動規律統一起來的萬有引力,其表現的圖景就是拋體運動和行星運動,它們均屬于圓錐曲線運動．不僅如此,微觀方面,盧瑟福散射中的粒子沿雙曲線運動;玻爾的“電子在核外繞核做圓周運動”的量子化軌道也被推廣到橢圓運動．

圓錐曲線無論是在數學領域,還是在從物理角度認識自然界最基本的規律中都占有重要的地位,人們對它的研究不斷深化,其研究成果又廣泛地得到應用．這正好反映了人們認識客觀事物的實踐和規律,也充分體現了數學之美、自然之美、科學之美的和諧統一．