一道組合數求和問題的探究

林國紅

每年各地的高考題或模擬試題,都會有一些難度相對較大的壓軸題,這類考題需要考生有較高的數學思維廣度與深度,主要考查考生的理解能力、運算能力等素養,以滿足高校對人才的選拔．下面以2019年佛山市理科模擬試卷的第16題為例,進行分析探究,體會其魅力．

1 試題呈現與分析

分析本題是關于組合數求和的問題,集組合數的性質、二項式定理、函數、導數等知識于一體,著重對運算能力、化歸思想、數列求和思想等內容進行考查，其內涵豐富、解法靈活,具有很好的區分度．

2 解法探究

①

②

所以S=(n+1)·2n-2,故

兩邊同乘以x,得

兩邊再求導,得

①

左邊=n·2n-1+n(n-1)·2n-2=n(n+1)·2n-2,所以

解法4設f(x)=(1+x)n=

則

于是

點評 本解法與解法3類似,解法3是在二次求導前先將等式兩邊同乘x,本解法是在二次求導后直接進行處理．

令x=0,得

即

點評 本解法與解法3、解法4類似,都是構造函數,利用二項式定理將函數展開得到二項展開式,再利用導數知識解答．但本法所構造的函數更為巧妙,一次求導后不需要處理,直接二次求導即可．

以上5種解法,從不同的角度出發思考問題,充分體現考題的不拘一格,一道試題往往考查多種能力、多種思想.通過方法的選擇、解題時間的長短,甄別出考生能力的差異,達到精確區分考生的目的．

3 試題的推廣探究

數學家波利亞曾說:“解題就像采蘑菇一樣,當我們發現一個蘑菇時,它的周圍可能有一個蘑菇圈．”解答完本題后,同學們還可思考如下問題.

例2設m,n為正整數,如何化簡

分析這個問題實際上是例1的推廣,可以沿用解法3至解法5的思路進行解答，本文僅介紹解法5的推廣．

設m,n為正整數,記

則

于是

這個解法的思路自然,結果看似簡單．事實上,當m≥3時,需要求函數f(x)=(1+ex)n的高階導數,計算量是很大的．那么,有沒有更簡單的做法呢?通過探索,得到一個組合數求和的遞推結論,可以更容易地解決上述問題．

推論設m為任意自然數,n為正整數,記

則有

(1)Sm(1)=1;

(2)Sm+1(n)=n[Sm(n)-Sm(n-1)]．

Sm+1(n)=n[Sm(n)-Sm(n-1)]．

n[(2n-1)-(2n-1-1)]=n·2n-1,

n[n·2n-1-(n-1)·2n-2]=n(n+1)·2n-2,

n[n(n+1)·2n-2-(n-1)n·2n-3]=

n2(n+3)·2n-3,

n(n3+6n2+3n-2)·2n-4,

……

學數學離不開解題,在解題過程中,多探究一題多解,品味解題方法和思維的關鍵點,從而精學一題,妙解一類．