縮小樣本空間
——解決條件概率問題的鑰匙

龔衛(wèi)東(特級教師)

條件概率的概念及相關(guān)計算公式在高中數(shù)學(xué)《選修2-3》中以較小的篇幅進(jìn)行了簡單介紹,但卻是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),高考中偶有涉及,學(xué)生得分情況不盡人意．主要原因是學(xué)生沒有深刻領(lǐng)會“條件”發(fā)生后的影響,將樣本空間與條件發(fā)生前的樣本空間混為一談,如著名的三門問題,生男孩女孩問題等．

圖1

對定義給出的公式如果不能透徹理解,生搬硬套,就會產(chǎn)生很多疑問,從而得出如“抓鬮先后概率不同”等荒謬結(jié)論．本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際經(jīng)驗,給出基于韋恩圖(如圖1)總結(jié)解決條件概率問題的方法，即根據(jù)條件,縮小樣本空間,在新樣本空間中求后發(fā)生事件的概率．

例1從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次,每次抽1張,已知第一次抽到A,求第二次也抽到A的概率.

例2老王向老張介紹“這是我女兒”,老張問“你有幾個孩子?”老王答“3個”.求老王有兒子的概率.

例3(2014年新課標(biāo)卷Ⅱ理5) 某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,那么隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )．

A. 0.8 B. 0.75

C. 0.6 D. 0.45

解析 設(shè)一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良是事件A,連續(xù)兩天為優(yōu)良是事件B,如圖1，本題所求的事件中，B一定是A的真子集，A是B的條件,則

例4(2015年北京卷文17) 某超市隨機(jī)選取1 000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種食品的情況,整理成統(tǒng)計表，如表1所示.其中“√”表示購買,“×”表示未購買.

表1

(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；

(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；

(3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品可能性最大？

解析 (1)0.2； (2)0.3(具體求解過程略).

因此,顧客購買了甲,該顧客同時購買丙的可能性最大.

例5(2016年全國卷Ⅱ理18)某險種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如表2所示.

表2

設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如表3所示.

表3

(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;

(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率.

解析 (1)設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故

P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(2)設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故

P(B)=0.1+0.05=0.15.

又P(AB)=P(B),故

例6有一批種子的發(fā)芽率為0.9,出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中隨機(jī)抽取一粒,則這粒種子能成長為幼苗的概率是( ).

解析 本題中,設(shè)“發(fā)芽率”為事件A,出芽后的幼苗成活率0.8是條件概率P(B|A),“這粒種子能成長為幼苗”的含義是“發(fā)芽且長成幼苗”,其概率是P(AB),代入公式可得P(AB)=0.72,故選A.

由此可見,利用韋恩圖能夠幫助學(xué)生很好地理解條件的作用,條件越多,新樣本空間越小,后發(fā)事件在新樣本空間中的概率就會變大．以上問題基本囊括高中階段條件概率涉及的問題類型,基于韋恩圖,深刻理解條件,主動縮小樣本空間,就獲得了解決條件概率問題的鑰匙．