透析排列組合問題中的分配問題

徐艷敏

排列組合問題是高中數學計數的基本方法,也是學好概率的基礎．分配問題是排列組合中的常考類型,處理此類問題時,需要將待分配的個體先分組,再分配．根據待分配的個體是否相同,又可分為不同元素的分配問題和相同元素的分配問題．本文結合例題說明這兩類分配問題的求解策略，供同學們參考．

1 不同元素的分配問題

不同元素的分配問題,通常是先分組后分配,將n個不同名額,按一定的條件分成m組,根據所給的條件可分為平均分組、不平均分組、部分平均分組,分組的過程常借助分步計數原理及排列組合知識．分組時,若兩個組中的個體數相同時,則兩個組不進行區分．分配時根據所給的條件又可分為定向分配與不定項分配．兩個單位中個體數相同,但分配的名額不同時,仍需區分．

例1(1)將6名實習生,分配到A，B，C三個工作單位,A單位1人,B單位2人,C單位3人,共有多少種分配方法？

(2)將6名實習生,分配到A，B，C三個工作單位,一個單位1人,一個單位2人,一個單位3人,共有多少種分配方法？

(3)將6名實習生,分配到A，B，C三個工作單位,每個單位2人,共有多少種分配方法？

(4)將6名實習生,全部分配到A，B，C三個工作單位，每個單位至少1人,共有多少種分配方法？

解析 (1)屬于非平均分組,且為定向分配問題,即每個單位的實習生人數是確定的,故直接利用分步原理及組合知識進行分配即可．

表1

(4) 每個單位至少1人,可能存在平均分組的情況,也可能存在非平均分組的情況,還可能出現部分平均分組的情況．

2 相同元素的分配問題

當某個待分配的單位要分得的名額至少為t(t>1)個時,可先分給其t-1個名額;沒有要求某些待分配的單位至少分得1個名額時,可先向其借1個名額．進而將問題轉化為每個單位至少分得1個名額的問題來求解．

例2(1)將8個評優名額,全部分配給A，B，C3個班,每班至少1個名額有多少種分配方法？

(2)將8個評優名額,全部分配給A，B，C3個班,每班至少2個名額,有多少種分配方法？

(3)將8個評優名額,全部分配給A，B，C3個班,有多少種分配方法？

(4)將8個評優名額,全部分配給A，B，C3個班,A班至少1個,B班至少2個,C班至少3個,共有多少種分配方法？

綜上,處理分配問題時首先要明確是相同元素的分配,還是不同元素的分配；是平均分配還是非平均分配;是定向分配,還是非定向分配．準確利用相應模型的處理方法,以不變應萬變．

鏈接練習

1. 某校從3名英語系、4名日語系和5名韓語系的學生中選5人組成一個語言交流小組,則英語系、日語系、韓語系都至少有1人的選擇方法有________種.

2. 有5名學生報名參加“清華大學”“北京大學”“上海交通大學”3所高校的冬令營,每人限報1所學校,若每所學校的冬令營都至少有1名同學報考,那么這5名同學不同的報考方法共有( ).

A. 144種 B. 150種 C. 196種 D. 256種

3. 把編號為1,2,3,4的四個球放到編號為1,2,3,4的四個盒子中,每個盒子一個球,則球與盒子的編號不相同的方法有________種.

鏈接練習參考答案

1.590. 2. B. 3. 9.