尋找“古典概型”與“幾何概型”那片天地

周文國

在高中階段，求解概率問題主要涉及的是古典概型和幾何概型,對于這兩類概型,要理解清楚其特點,才能靈活解題.其中古典概型的基本特征是有限性和等可能性，有限性是指在一次隨機試驗中,可能出現的結果只有有限個,即樣本空間中基本事件只有有限個;等可能性是指在這個隨機試驗中,每個試驗結果出現的可能性相等,即基本事件發生的可能性是均等的.幾何概型的基本特征是無限性和等可能性，無限性是指在一次試驗中,樣本空間中基本事件有無限多個;等可能性是指在一次試驗中,每個基本事件發生的可能性是相等的.

1 摸球問題

例1(1) 口袋中有6個除了顏色外其余全部相同的球,其中4個為白球,2個為紅球,從袋子中任意取出2個球,求下列事件的概率:

(ⅰ)A={取出的2個球都是白球};

(ⅱ)B={取出的2個球中1個球是白球,1個球是紅球}.

(2) 一個盒子里裝有完全相同的10個小球,分別標上1,2,3,…,10這10個數字,現在隨機抽取2個小球.

(ⅰ) 小球是不放回的,求2個小球數字為相鄰整數的概率;

(ⅱ) 小球是有放回的，求2個小球數字為相鄰整數的概率.

分析(1)中可先求出任取2個小球的所有等可能基本事件的總數,然后分別求出事件A“取出的2個球都是白球”所含的基本事件數及事件B“取出的2個球1個球是白球,1個球是紅球”所含的基本事件數,最后再用古典概型的基本公式進行解答.

(2)是有放回與不放回的問題,其關鍵在于兩者的基本事件總數是不同的.

(2) 令“2個小球數字為相鄰整數”為事件A.

點評 上述兩類問題是摸球問題,一類是從中同時摸球問題,另一類是從中有序模球,涉及有放回與無放回問題,其關鍵是把基本事件總數及對應的隨機事件數弄清楚.

2 排隊問題

排隊問題也是古典概型中的典型問題,其關鍵是注意排列數的正確計算,同時要分清楚基本事件總數和隨機事件數.

例23男3女共6個同學排成一行,求下列事件的概率.

(1)甲同學不排在第一位;

(2)女生排在一起,男生排在一起;

(3)女生不相鄰;

(4)女生和男生相間隔.

點評 對于排隊問題,關鍵是正確利用分類、分步原理及排列組合知識求解隨機事件的發生數和基本事件總數,然后再利用古典概型的計算公式使問題獲解.

3 拋擲骰子問題

例3將一枚骰子連續拋擲兩次,設第一次得的點數為x,第二次得的點數為y.

(1)求事件A：{兩次點數之和等于8}的概率;

(2)若已知直線y=-3x+6與y=-x+4,求事件B：{點(x,y)在兩已知直線下方}的概率.

分析(1) 將一顆骰子連續拋擲兩次,基本事件總數有36種,兩次點數之和等于8,可將隨機事件數枚舉;

(2) 點(x,y)在兩直線的下方,故將滿足條件的點(x,y)尋找出來即可.

解將一顆骰子連續拋擲兩次,按其向上的點數不同,共有36種情況;

點評 本題研究的是簡單的古典概型計算,古典概型具有等可能性，故可通過列表法列舉出全部的基本事件,再進行分析,從而解決問題.

4 與函數結合問題

與函數相結合的概率問題是概率中常出現的題型,其關鍵是通過合理轉化,利用古典概型或幾何概型尋求解決.

例4已知關于x的一元二次函數

f(x)=ax2-2bx+8.

(1)設集合P={1,2,3}和Q={2,3,4,5},分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b,求函數y=f(x)在區間(-∞,2]上有零點且為減函數的概率.

(2)設集合P=[1,3]和Q=[2,5],分別從集合P和Q中隨機取一個實數作為a和b,求函數y=f(x)在區間(-∞,2]上有零點且為減函數的概率.

分析(1)可利用列舉法結合古典概型的概率公式進行計算;(2)可作出不等式組對應的區域,求出對應區域的面積,結合幾何概型的概率公式進行計算.

圖1

點評 本題研究的是函數與古典概型、幾何概型相結合的概率問題,其中利用列舉法求古典概型以及利用數形結合法求解幾何區域的面積是解決本題的關鍵.

5 相遇問題

相遇問題需要用兩個連續變量來描述,用這兩個變量的有序實數對來表示基本事件,再利用平面直角坐標系建立與面積相關的幾何概型問題來求解.

例5某校早上8:10開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7:30～8:00之間到校,且每人在該時間段內到校時刻是等可能的,求兩人到校時刻相差10 min以上的概率.

分析設出小張與小王的到校時間分別為07:00后第x分鐘,第y分鐘,建立不等式組關系,求出對應區域的面積,結合幾何概型的概率公式進行計算即可.

圖2

點評 本題研究的是計算幾何概型,其關鍵是將實際問題轉化為幾何概型,借助區域面積求解.

6 與方程結合問題

幾何概型常常與方程相結合,在解決這類問題時,需要借助方程的有關知識,找出滿足條件的區域所包含的區間長度、面積大小或體積大小等.

例6已知關于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0,a，b∈R.

(1)若a是從1,2,3三個數中任意取的一個數,求已知方程有兩個不相等實數根的概率;

(2)若a是從[0,3]內任意取的一個數,b是從[0,2]內任意取的一個數,求方程有實數根的概率.

分析本題中含有兩個參數,需要將問題轉化為含參數的一元二次方程有解的條件問題.(1)可利用列舉法將基本事件羅列出來,再結合題意義解答;(2)可將a，b滿足的不等式轉化為圖形,從而利用幾何概型的概率公式求解.

解設“a是1，2，3中任意一個數，9x2+6ax-b2+4=0有兩個不相等實數根”為事件A,“9x2+6ax-b2+4=0有實數根(其中a∈[0,3],b∈[0,2])”為事件B.

(1)由題意可知基本事件為9個,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個數表示a的取值,第二個數表示b的取值.由Δ=36a2-36(-b2+4)>0,可得a2+b2>4,事件A要求a，b滿足條件a2+b2>4,則包含6個基本事件,即(1,2),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),事件A發生的概率

圖3

(2)因為0≤a≤3,0≤b≤2,故構成的事件B的區域如圖3中的陰影部分,其中a2+b2≥4,則所求的概率

點評 本題是方程與概率結合的問題,解題關鍵是分清楚用古典概型還是幾何概型.

古典概型和幾何概型是高中數學的重要知識點,其涉及的實際應用較多,解題關鍵是要準確識別兩種概率類型,從而選擇合適的方法及思路,走進“古典概型”與“幾何概型”那片天地.