數學問題2155的新解與推廣

鄭嬌鳳 祝敏君 陳清華

《數學通報》2013年第12期中的2155號數學問題是一道經典的問題，本文在給出問題2155新解的基礎上,得到以下三個結論. 1)發現該問題所得到的結論∠EAF=135°是EF=BE+DF的充要條件;2)問題2155對一般三角形仍然成立;3)問題2155可以推廣到三維空間的三棱錐情形. 先回顧2155問題.

圖1

如圖1所示,在正方形ABCD中,E,F分別是CB,CD的延長線上的點,已知EF=BE+DF,求∠EAF的度數.

王遠征老師給出了三角公式解法,呂愛生老師提供了幾何解法,本文從向量視角給出新的解法,并對其結論進行相應的推廣.

1 問題2155的新解

圖2

①

ab-1=a+b.

②

2 ∠EAF=135°是EF=BE+DF的充要條件

根據本題的題設條件,我們發現:所求結果∠EAF=135°不僅是EF=BE+DF的必要條件,而且還是充分條件,即有

定理1如圖1所示,在正方形ABCD中,E,F分別是CB,CD的延長線上的點,則EF=BE+DF的充要條件是∠EAF=135°.

證明必要性證明同上,下證充分性.

以C為原點,CE為x軸,CF為y軸建立直角坐標系(如圖2),記AD=1,DF=a,BE=b,則

因為∠EAF=135°,所以

整理得

(a+b)2=(ab-1)2.

圖3

a+b=ab-1.

①

②

3 問題2155在平面上的推廣

定理1說明了直角三角形中邊與角的一種關系,在一般三角形中是否也有這種邊與角的關系呢?易知在滿足條件EF=BE+DF或∠EAF=135°時,點A是△CEF的內切圓圓心,因此可以將定理1推廣到一般三角形中.

圖4

①

故

②

③

由式①②③有

圖5

因此P是△ABC內切圓的圓心,過點P向△ABC三邊作垂線,垂足分別為E,F,H(如圖5所示),則HA=EA,HC=FC,故

AC=HA+HC=EA+FC.

4 問題2155在空間上的推廣

進一步考慮將定理從二維平面推廣到三維空間.先回顧二面角平分面的一個性質.

引理四面體二面角平分面上任意一點到形成這個二面角的兩個面的距離相等.

定理3如圖6,在三棱錐A-BCD中,P是側二面角平分面交線上一點,過P點分別作三棱錐的面ABC、面ACD、面ABD、面BCD的垂線,垂足分別為E,F,G,H,則S△EBC+S△FCD+S△GDB=S△BCD的充要條件是P為內切球的球心.

圖6 圖7

證明過點P,E,H的平面與BC交于Q(如圖7).因為PE⊥平面ABC,所以PE⊥EQ,PE⊥BC;同理可證,PH⊥HQ,PH⊥BC;所以BC⊥平面PEH,于是EQ⊥BC,HQ⊥BC,即EQ,HQ分別是△EBC和△HBC邊BC上的高.

充分性證明:因為P是內切球的球心,所以PE=PH,故△PEQ≌△PHQ(HL),從而有EQ=HQ,因此S△EBC=S△HBC.同理可證

S△FCD=S△HCD,S△GDB=S△HDB.

故S△EBC+S△FCD+S△GDB=S△HBC+S△HCD+S△HDB=S△BCD.

必要性證明:過點P,F,H的平面與CD交于S,過點P,G,H的平面與DB交于T.

因為PE2+EQ2=PH2+HQ2,所以PH2=PE2+EQ2-HQ2.同理有

PH2=PF2+FS2-HS2,
PH2=PG2+GT2-HT2.

因為P是側二面角平分面交線上一點,所以PE=PF=PG,所以

EQ2-HQ2=FS2-HS2=GT2-HT2.

因此，(EQ-HQ),(FS-HS),(GT-HT)符號相同.

又因為S△EBC+S△FCD+S△GDB=S△BCD,所以

EQ·BC+FS·CD+GT·DB=
HQ·BC+HS·CD+HT·DB,

因此(EQ-HQ)=0,(FS-HS)=0,(GT-HT)=0，則PH2=PE2=PF2=PG2,所以P為內切球的球心.

圖8

證明如圖9，過P作PE⊥QM,PH⊥QN,因為BC⊥平面MQN,所以∠MQN=α,BC⊥PE.因為QM和BC相交,故PE⊥平面ABC,同理可證PH⊥平面BCD.

圖9

因為P是三棱錐A-BCD內切球的球心,所以PE,PH都是內切球半徑.以P為圓心PE為半徑畫圓,即球P與圓P半徑相等,則MN與圓P必然相離,下面說明MN與圓P不可能相交或相切.

因為MN在平面ABD上,而平面ABD與球P至多只有一個交點,故MN與圓P也至多只有一個交點,即MN與圓P不可能相交.

若MN與圓P相切,切點記為G,則PG⊥平面ABD,故有PG⊥AB.又因為PE⊥AB,所以AB⊥平面MQN.已知BC⊥平面MQN,因此AB∥BC,矛盾,因此MN與圓P不可能相切.

順便指出,三棱錐是正四面體時,MN與AD重合,上述結論仍然成立.對于其他二面角也有對應的結論,這里就不再贅述.