立體幾何中的“軌跡”問題

王豐萍

以立體圖形為載體,以空間想象能力為立意,注重知識的整合與滲透,設置滿足一定條件的動點,著力將動點運動的軌跡設計為直線、圓、圓錐曲線或圓錐曲線的一部分進行考查,這是出現在高考或各地模擬考試中立體幾何的一類常見問題.這類與“軌跡”有關的問題,在立體幾何與解析幾何的交會處命題,對促進學生思維能力和掌握核心概念大有裨益,能很好地考查學生的直觀想象能力和知識綜合運用能力，下面舉例來說明.

1 軌跡的判斷

圖1

A. 當λ=1時,點C的軌跡是拋物線

B. 當λ=1時,點C的軌跡是一條直線

C. 當λ=2時,點C的軌跡是橢圓

D. 當λ=2時,點C的軌跡是雙曲線

圖2

在平面α內,以AD所在直線為x軸,以AD的中垂線為y軸建立平面直角坐標系,如圖2所示，設C(x,y),則

圖3

A. 圓 B. 不完整的圓

C. 拋物線 D. 拋物線的一部分

圖4

設P(0,y,z) (z≠0),所以

由∠APD=∠CPB,得

將坐標代入并化簡得y2+z2+4y-12=0 (z≠0).所以，在平面yAz中,點P的軌跡是不完整的圓.故選B.

2 求運動軌跡的長度

綜上，曲線的長度是π+π+π=3π.故選D.

圖5

3 求運動區域的面積

設直線l∥BC,延長OG交l于K,連接DK,則∠DKO是點D的平面Γ與底面ABC所成銳二面角的平面角.

由對稱性可知圓內含有3個與△OEF全等的三角形,則還有三個與扇形OEH相同的扇形,則

3∠EOH=360°-3×60°=180°,