用圖象處理實驗數據中的“化曲為直”方法

矯巖松

用圖象處理實驗數據往往能夠直觀地反映出物理量之間的關系.從實驗測得的數據點出發,我們經常希望能找到一個函數來反映物理量之間的關系.實際中可能遇到的問題是:如果直接看兩個物理量之間的關系,這個函數可能比較復雜,圖象往往是一條曲線.在沒有計算機輔助的情況下,曲線的參數就不好確定.這種情況下,如果事先對物理量進行適當的處理,再畫出圖象,數據點就有可能大致分布在一條直線附近,對應的函數關系就簡化為一次函數,即線性關系.這樣一來,用直尺就可以近似畫出我們要尋找的函數關系了.求出這條直線的斜率和截距,我們就可以知道最初兩個物理量之間的關系.這樣處理數據的方法叫作“化曲為直”.

下面,我們先以“探究加速度與力、質量的關系”實驗為例,來介紹這種方法的具體應用.然后,再討論其他一些可以利用“化曲為直”方法的情況.

1 探究加速度與力、質量的關系

我們選取如圖1所示的裝置.假定已經補償好各種阻力.設小車質量為M,槽碼質量為m,重力加速度為g.我們要研究的是小車沿斜面下滑時的加速度a與小車所受的拉力F、小車質量M之間的關系.

圖1

1.1 滿足質量條件m?M時

在滿足質量條件m?M的前提下,小車所受的拉力F可認為與槽碼所受的重力mg相等.

我們以a為縱坐標、F為橫坐標建立直角坐標系探究a與F的關系.根據各組實驗數據在坐標紙上描點,作出a-F圖象.如果描出的點在一條過原點的直線附近,說明a與F成正比.如果不是這樣,則需進一步分析.

1.2 不滿足質量條件m?M時

①

即a與F成正比、與M成反比.但是,當m足夠大,或者M不是很大時,分母的m就不能忽略了.這時候,加速度a與F和M的關系只能通過下式計算,不能加以簡化.

②

此時,a與F或者M就不是簡單的正比或者反比關系了.

圖2

圖3

③

圖4

圖5

下面我們通過幾個例題來說明“化曲為直”方法在解題中的應用.

圖6

值得注意的是,對于同一個實驗,“化曲為直”的方法有時不是唯一的.本題答案為C.

圖7

圖8

2 “化曲為直”的其他應用

2.1 研究勻變速直線運動

圖9

2.2 用單擺測量重力加速度的大小

圖10

我們依然可以通過T2-l圖象的斜率來求g.只不過這時圖象多了截距,而截距反映了不知道的那部分擺長d.

2.3 驗證機械能守恒定律

圖11

實驗中,先接通電源,再釋放重物,得到圖12所示的一條紙帶.在紙帶上選取三個連續打出的點A、B、C,測得它們到起始點O的距離分別為hA、hB、hC.某同學想用下述方法研究機械能是否守恒.在紙帶上選取多個計數點,測量它們到起始點O的距離h,計算對應計數點的重物速度v,描繪圖象,并做如下判斷:若圖象是一條過原點的直線,則重物下落過程中機械能守恒,請你分析論證該同學的判斷依據是否正確.

圖12

2.4 測量電源的電動勢和內阻

(1) 請根據測定電動勢E和內電阻r的要求,設計圖13中器件的連接方式,畫線把它們連接起來.

圖13 圖14

圖15

(3) 在圖15上把描繪出的坐標點連成圖線.

(4) 根據圖15描繪出的圖線可得出這個電池的電動勢E=________V,內電阻r=________Ω.

U=E-rI.

①

可見圖象的斜率為內阻r的相反數,截距為電動勢E.

如果有電流表和電阻箱而沒有電壓表,那么我們可以測出對應外電路電阻為R時,流過電源的電流I.可是I和R的關系并不是一次函數.由閉合電路歐姆定律可得

②

③

如果有電壓表和電阻箱而沒有電流表,那么類似地,我們可以測出對應外電路電阻為R時,電源兩端的電壓U.但是,U和R的關系也不是一條直線.因為將U=IR代入式②并整理,可得

④

但是,如果我們對式④兩邊取倒數,再整理一下,可以得到

⑤

答案(1)見圖16.

(2)見圖17.

(3)見圖17.

(4)1.5(1.46～1.54); 0.3(0.25～0.35).

圖16 圖17

2.5 測定玻璃的折射率

圖18

3 總結

“化曲為直”是高中階段處理實驗數據的一種常用方法．通過對實驗數據的預先處理,復雜的函數關系可以簡化為一次函數,使得曲線擬合變得簡單易行.這既可以幫助我們找到物理量之間的關系,又可以簡化一些物理量的測量．但是我們知道,更加嚴密的做法是通過適當的算法(如最小二乘法)計算出最合適的擬合直線(或曲線).如果有計算機輔助,那這樣的工作也很容易實現.例如在Excel中,我們就可以通過選擇多項式擬合,直接得到a與M成反比(即冪近似為-1)的關系.但是,“化曲為直”作為一種簡化問題的思想方法,能把曲線(非線性)化為直線(線性),仍然值得我們學習.