高考復數問題的命題視角

劉勇華

復數在歷年各省市高考試卷及全國卷中均以選擇或填空題的形式出現(xiàn),題目難度不大,考查內容主要涉及復數的有關概念、復數的運算、復數的幾何意義、復數方程及復數的應用等．本文進行舉例說明．

1 考查基本概念

復數的概念主要包括:復數單位i的性質,復數的實部和虛部、共軛復數、復數的模等．準確理解這些概念是求解問題的關鍵．

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

由復數單位的定義i2=-1,i4=1,所以i2 020=1,所以i+i2+i3+…+i2 020=0．

2 考查基本運算

復數的基本運算包括:加、減、乘、除、相等,求解中要準確理解、記憶相應的運算法則．如，復數的加、減法則，實部與實部相加減、虛部與虛部相加減;乘法法則,按分配律展開求解．除法法則，分母實數化．復數相等,實部與實部相等、虛部與虛部相等．

3 考查復數的幾何意義

復數和復平面內的點具有一一對應關系,判斷復數在復平面內對應的點所在的象限是高考常考題型．

A. 第Ⅰ象限 B. 第Ⅱ象限

C. 第Ⅲ象限 D. 第Ⅳ象限

A. (x+1)2+y2=1

B. (x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1

4 考查復數方程的根

對于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),若Δ=b2-4ac<0,則方程在實數范圍內沒有根,但方程在復數范圍內存在虛根．對于求高次方程的虛根,可通過因式分解、轉化等手段,將其化為低次方程求解．

A.p=-4,q=5 B.p=-4,q=3

C.p=4,q=5 D.p=4,q=3

(x2+ax+1)(x2+bx+1),

即

x4+x3+x2+x+1=
x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1.

由對應項的系數相等，得

5 考查復數的應用

在某些問題的求解中,復數可以作為一種解題工具,即通過構造復數來解決問題．

證明令z1=x+yi,z2=a+bi,則z1+z2=(x+a)+(y+b)i,由復數的性質，可知|z1|+|z2|≥|z1+z2|,所以