直流電路中星形到三角形電路的等效轉換

李海旺 云南省民族中等專業學校

一、等效轉換的必要性

對更為復雜的電阻并聯或串聯組合形式，無法采用我們熟知的歐姆定律直接計算電阻大小的情況。所以，必須利用到數學的思路，再根據歐姆定律進行剖析解決。

最具代表性的電阻連接方式是像Y結構和△結構的電阻連接方式。本文選取這兩種電路的等效轉換來舉例子，利用以上提到的原理，推理出能夠滿足這種等效轉換的數學表達式。

二、星形轉換為三角形電路的過程

最先，我們可以將這兩個不同的電路圖都當成兩個一樣的黑匣子，只保留①，②，③三個端口，原理是，保證電路電阻和流入以及流出的電流都是一樣的，給出相應的等效條件是：①，②，③處節點對用的電流和電壓是一樣的，即為：I1=I1’、I2=I2’、I3=I3’、U12=U12’、U23=U23’、U31=U31’

此時，我們可以先對Δ形電路深入分析，先分析1號端口電流的具體情況，由于I1作為干路電流在通過節點的時候，主干電流出現分流，流到2號端口和流到3號端口，結合串聯電路的電流的規律和特點，可以得到，干路電流的大小等于各支路電流相加，并且，結合歐姆定律，我們能夠分析得出電阻：I=U/R。所以，我們能夠分析得出以下幾個式子：I1'=U12'/R12'－U31'/R31’、I2’=U23’/R23-U12’/R12、I3=U31’/R31-U23’/R23

然而，這些式子同樣適用于其他兩個端口，同理，我們也可以推導出相應的式子，從而得出一個總的式子：上面，就是分析Δ形電路中各個電阻之間存在的關系得出來的式子，接著，我們采取同樣的方式來分析Y形電路的特點，再結合前面的先決條件來探究兩電路之間等效轉換的方法。對于Y形電路來說，起初我們可以假設在這個電路的正中間存在一個節點，通過圖我們能夠觀察到，三個不同端口的電流匯聚在正中心的節點上，結合實際生活常識，我們能夠知道，電流是不可能一直無限增加的。因此，我們可以得出一個式子：I1+I2+I3=0（1）

此時，我們需要逐個分析1、2這兩個端口，結合歐姆定律，并用U12來表示1、2號端口的總電壓，由歐姆定律可以得到：I=U/R，U12=I1*R1－ I2*R2（2）

接著，我們先不管1號端口，來分析2、3號兩個端口，用同樣的方式推導，用U23表示2、3號兩個端口的總電壓，我們可以得到一個式子：U23=I2*R2－I3*R3（3）

同理，我們還可以得到最后一個式子：U31=I3*R3－I1*R1（4）

接著聯立上面四個式子，然后進行簡化，可以發現各個干路電流與各支路電阻的關系：

I1=R3U12/R1R2+R2R3+R3R1-R2U31/R1R2+R2R3+R3R1I2=R1U23/R1R2+R2R3+R3R1-R3U12/R1R2+R2R3+R3R1

I3=R2U31/R1R2+R2R3+R3R1-R1U23/R1R2+R2R3+R3R1

上面提到的就是我們深入Y形電路之后得到的結果，我們也可以利用電阻與電壓的關系表示出電流，接下來，我們開始進一步轉化。

因為文章開始我們給出了一個先決條件電壓與電流是相等的。

I1’=U12’/R12-U31’/R31I1=R3U12/R1R2+R2R3+R3R1-R2U31/R1R2+R2R3+R3R1

因此，聯立兩個式子，就可以化簡得出電阻的表達式：R12=R1+R2+R1R2/R3

我們很容易觀察到，R12與R1、R2、R3之間存在的關聯，通過同樣的方式，我們可以將這個式子應用到其他兩個端口，化簡整理之后，我們可以得出：

R12=R1+R2+R1R2/R3R23=R2+R3+R2R3/R1R31=R3+R1+R3R1/R2

通過對該式子進行變形可以得到：

R1=R12R31/R12+R23+R31R2=R23R12/R12+R23+R31R3=R31R23/R12+R23+R31

通過這種方法，我們就找到了的電阻之間的相互轉化的方法，此時，假如我們想象一種情況：R12=R23=R31=R△與R1=R2=R3=RY，與此同時，就是我們常見的對稱三端電阻網絡，我們把上述條件帶入分析得出的式子當中，可以得到對稱三端網絡的轉化關系：

RΔ=3RYRY=1/3RΔ

我們驗證之后的結果與我們猜測的結果是一致的，可以初步判斷我們的方法是正確的，所以，我們能夠得到Y形電路—Δ形電路的一般式子：

Δ電導=Y相鄰電導之積/Y電導之和 Y電阻=Δ相鄰電導之積/Δ電導之和

因此，我們將驗證得出的這個式子結合到我們生活中的實際問題中，來進一步檢驗我們的猜測是否準確。關于這個問題，我們將4、5、6這三個電阻當成一組(1號組)，將1、2、3當成一組(2號組)，很容易發現，一號組電路的構成實際上就是一個Δ形電路，而二號組電路構成實際實際上就是一個Y形電路。

如圖所示：在電路中，R1=3Ω，R2=6Ω，R3=9Ω，R4=12Ω，R5=15Ω，R6=18Ω，U=3v，不計電源內阻，試求，流過電源的電流大小。關于這個問題，我們首先將2號組，Y形電路等效轉換成一個Δ形電路，來進一步使電路構成簡單化。轉化成Δ形電路之后，通過觀察我們很容易找到，兩個Δ形電路中的三個電阻，兩兩組合成了并聯關系，所以，我們可以結合歐姆定律再次簡化之后，得到一個Δ形的電路。此時，我們就把這個復雜的問題轉化成了簡單的串并聯電路，進而解決這個問題，得出答案。

推理過程：把電阻分成兩個組，1、2、3作為一組(二號組)，4、5、6作為一組(一號組)。

結合Y形電路—Δ形電路的轉化方式，將二號組轉化為Δ形電路。

根據串并聯之間的關系，可以得到，R12、R4的并聯電阻=11*12/(11+12)

采取同樣的方式可以得到，R23、R5的并聯電阻=33*15/(33+15)

R31、R6的并聯電阻=16.5*18/(16.5+18)

最終，得到一個Δ形電路，將這個Δ形電路，等效為一個電阻與另外兩個電阻的并聯電路。計算出電阻約為：5.3255Ω

根據上面的方法我們也可以得到電流的大小，

I總=U總/R總≈0.5633A，進而得出答案。

三、結語

本文就Y形—Δ形電路的等效轉換，結合歐姆定律進行深入探究，總而言之，其原理就是因為從其中一個端口向電阻網絡看進去，都適用于符合歐姆定律的等效原則，從而不會對電路其他部分造成影響，在推理Y結構和△結構的等效轉換的基礎上，驗證等效轉換之后的數值沒有對結果造成影響，本文采取的驗證方法相對來說比較簡單，有利于讓專業知識不是很到位的人也能夠清楚理解整個驗證的邏輯思維。