南疆小學生數學運算錯誤類型及分析——基于新疆大規模測評數據

何 偉，董連春，法 旭，邵 偉，郎甲機

南疆小學生數學運算錯誤類型及分析——基于新疆大規模測評數據

何 偉，董連春，法 旭，邵 偉，郎甲機

（中央民族大學 理學院，北京 100081）

結合新疆大規模測評數據，針對南疆小學生數學運算中錯誤進行了微觀分析．研究發現，南疆小學生在整數乘法、整數除法、整數混合運算、小數加法、小數減法和小數混合運算6個方面出現錯誤類型主要表現為概念性錯誤，即混淆運算符號、不理解小數概念、混合運算中運算順序混亂和運算律使用錯誤等問題．出現概念性錯誤的原因主要包括復雜運算的算法與算理的理解問題，對位值的理解問題和混合運算中運算規則的理解問題．

運算能力；運算錯誤；小學；數學；南疆

1 問題提出

數學運算是數學課程中“數與代數”部分的重要內容，同時也是支撐學生學習“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”3個部分的重要基礎．《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“運算能力”列為十大核心概念之一，并明確指出，“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力”[1]．小學生數學運算能力及其教學方法層面的研究，主要集中在運算錯誤的類型以及對策．王巍指出，小學生在出現計算錯誤時，教師往往會簡單歸因為學生不認真聽講、不夠細心或者思維定勢等原因，缺乏對學生運算錯誤背后深層次原因的剖析與指正[2]．孫興華和馬云鵬發現，小學生在數學運算方面出現錯誤的原因十分復雜，職初教師往往認識到學生錯誤的表層原因，而教學經驗豐富的教師能夠發現學生錯誤背后的深層次原因[3]．張樹東在總結國內外研究的基礎上，從心理學和教育學兩個層面梳理了小學生出現運算錯誤的主要原因，包括缺乏概念性知識、工作記憶低下以及視覺—動作統合能力低下等[4]．

在中國的新疆，特別是南疆四地州，即和田地區、喀什地區、克孜勒蘇柯爾克孜自治州和阿克蘇地區，由于各種因素的影響，長期以來，學生在數學學習方面面臨的問題較為突出[5-6]．研究者對新疆學生數學學業成就與諸多影響因素間的關聯，進行了研究與探討．例如，有學者指出新疆學生數學學業成就不佳與如下因素存在密切聯系：教育投入、師資水平、學校辦學形式（如寄宿制）、課程設置的難度、數學教材與新疆學生日常生活的聯系、學生漢語水平、學生自我效能感、學生學習信念與學習習慣、學生學習方式等[5]．這些研究從宏觀層面分析了新疆學生數學學業成就的影響因素，為教育政策的制定與調整提供了非常有價值的借鑒．

2016年5月，教育部和新疆教育廳聯合開展了新疆雙語教育質量監測工作[7]，南疆地區9?229名四年級小學生參加了數學測試．結果發現，南疆四地州四年級小學生在“數與代數”部分的平均得分率僅為50%，其中數學計算題目的平均得分率為51%，進一步反映出南疆四年級小學生數學運算能力非常薄弱這一問題的嚴重性．數學運算是小學階段數學學習的重中之重，不僅影響到后續數與代數部分內容的學習，還會影響到其它模塊的學習．因此，深入研究南疆四年級小學生數學運算錯誤十分必要．

基于以上分析，擬研究以下問題：南疆小學生在數學運算方面出現的具體問題有哪些？背后的原因何在？這些問題的回答，能夠發現影響南疆小學生運算能力薄弱的根本原因，進而提出有針對性的解決方法．

2 研究方法

2.1 研究樣本

2016年教育部與新疆教育廳聯合開展新疆雙語教育大規模質量監測項目，抽取南疆四地州310個班級共計9?229名四年級小學生，其中維吾爾族小學生占比97.6%．使用國家通用語言學習數學的學生比例約為80%，男女生比例接近1:1，農村學生比例約為80%．

南疆四地州中，阿克蘇地區教育水平處于中等水平．因此從阿克蘇地區參與測試的學生樣本（總計2?085名學生）中，采用分層抽樣與簡單隨機抽樣相結合的方法，抽取660名四年級學生的測試卷．其中，維吾爾族學生比例99.5%，使用國家通用語言學習數學課程的學生約占80%，男女生比例約為47:50，鄉村學生比例約為81%．抽取樣本各方面比例與原樣本比例基本一致，能夠較好地代表南疆四地州學生的一般情況．研究對象具體信息如表1所示．

表1 研究對象具體信息

2.2 測試題目選取

表2 測試題目具體類型

2.3 編碼分析與數據處理

結合已有研究[5-9]，將運算錯誤分為3類：概念性錯誤、程序性錯誤和協調性錯誤．概念性錯誤主要指學生在數學運算方面存在概念性的認知錯誤，如不能根據計算法則進行基本的運算；程序性錯誤是指，學生對數學運算有基本的概念認知，但是具體使用運算法則進行運算時，出現錯誤（比如進位錯誤或者借位錯誤）；協調性錯誤，主要是指學生對數學運算有基本的概念認知，能夠依據運算法則進行運算，但是在運算過程中由于粗心產生的錯誤，如謄寫錯誤或者遺漏數字錯誤．對加法、減法、乘法、除法、混合運算5種類型題目，將學生出現的錯誤分別編碼為概念性錯誤、程序性錯誤和協調性錯誤，編碼框架如表3所示．為保證編碼一致性，由兩位編碼員對所有學生答案進行獨立編碼．而后對編碼不一致的學生答案進行進一步討論和分析，最終達成一致．

表3 具體編碼框架

注：錯誤類型的具體解讀，請參見下文．

3 研究結果

3.1 整體水平

660名學生樣本中，全部（14道）運算題目的平均正確率為58%，具體每道題目的正確率情況如表4所示．可以發現，南疆四年級小學生在小數加減法部分的正確率相對較高，而在整數乘除法以及整數混合運算部分的得分率相對較低．特別地，整數混合運算部分兩道題目的得分率均低于50%．此外，整數與小數混合減法的得分率也相對較低，3道題目中有兩道題目的得分率低于50%．

表4 新疆基礎教育監測測試中計算題正確率

注：*表示得分率低于60%．

3.2 錯誤類型

圖1給出了學生在整數乘法、整數除法、整數混合運算、小數加法、小數減法和整數小數混合減法6個方面的錯誤類型情況．可以發現，在每一類題目中，學生運算錯誤中概念性錯誤所占比例都超過了70%．對于整數乘法、整數除法和小數減法3個層面，學生的概念性錯誤比例超過了85%．

注：Z-MUL=整數乘法，Z-DIV=整數除法，Z-MIX=整數混合，X-ADD=小數加法，X-SUB=小數減法，MIX=整數小數混合減法．

由圖1可見，學生在運算過程中出現的錯誤主要為概念性錯誤，反映出計算錯誤并非是簡單的“不認真”和“不細心”，而是對算理和算法的理解存在很大的問題．

3.3 具體錯誤實例

通過學生作答的具體實例，從概念性錯誤、程序性錯誤和協調性錯誤3個方面展示學生在每個錯誤類型上出現的問題和障礙，并簡要分析這些錯誤出現的原因．

3.3.1 概念性錯誤及原因分析

（1）混淆運算錯誤．

學生在小數加法與減法計算中的混淆運算錯誤見圖2．

注：圖中序號是為便于展示學生錯誤答案，非測試題目序號，下同．

學生在小數乘法與除法運算中的混淆運算錯誤見圖3．

圖3 概念性錯誤——混淆運算（二）

在圖3（a）的5個例子中，學生將乘法按照加法進行運算，從而得出錯誤結果．尤其在例（3）、例（4）、例（5）中，題目中運算符號既有乘法符號，又有加法符號，但是學生仍舊將所有數字按照加法進行計算．在圖3（b）中，有些情況是學生將除法混淆為減法，如例（1）、例（4），有些情況是學生將除法混淆為加法，如例（2）、例（3）．

（2）不考慮列錯誤．

學生在加法與減法運算中不考慮列的錯誤見圖4．

圖4 概念性錯誤——不考慮列錯誤

圖4（a）的例（1）中，學生在乘法運算結果得出之后，對1?008+792進行加法運算時，混淆了千位與百位，從而將正確結果由1?800寫成8?100．又如圖4（b）的例（1）中，學生在進行減法計算時，沒有考慮列，從而將兩個小數的末位對齊，而非小數點對齊，導致出現錯誤結果0.50．

（3）不理解小數概念．

學生在小數加法運算與小數減法運算中出現的“不理解小數概念”錯誤見圖5和圖6．

圖5 概念性錯誤——不理解小數概念（一）

從圖5中的例（1）可以很清晰地看出，當出現7.95+5.76時，學生將加號左邊和右邊的兩組數字（即95和5）看作了加法的運算對象，并且用小括號將95+5放在一起，這說明學生并未理解小數與整數的區別．

圖6 概念性錯誤——不理解小數概念（二）

（4）計算順序錯誤．

學生在混合運算中出現的計算順序錯誤見圖7．

圖7 概念性錯誤——計算順序錯誤

圖7的例（1）和例（2）中，學生錯誤地按從左至右的順序進行計算，未考慮乘法運算的優先原則．而例（3）中，學生考慮了優先進行乘法運算，但錯誤地改變了運算對象，導致問題產生．例（4）中，學生首先將36分解成4和9，28分解成4和7，但將9與后面的22直接相乘，出現錯誤．

（5）運算律使用錯誤．

學生在減法混合運算中出現的運算律錯誤見圖8．

圖8 概念性錯誤——運算律錯誤（一）

學生在乘除法的混合運算中出現的運算律錯誤見圖9．

圖9 概念性錯誤——運算律錯誤（二）

圖9的例（1）（2）（3）（4）中，學生試圖使用分配律進行運算，卻僅將56與100進行乘法計算，忽略將56與1進行乘法計算．例（5）至例（10）中，學生試圖使用乘法分配律進行計算，但出現各類錯誤，可見，學生并沒有真正理解乘法分配律，只是從形式上記憶分配律的公式．

以上5種概念性錯誤，說明學生學習運算的過程中存在較為嚴重的滯后問題．通過分析學生在運算過程中出現的概念性錯誤類型，發現如下原因制約學生運算水平的提高．

第一，復雜運算的算法與算理的理解問題．例如，與加法和減法相比，乘法與除法的理解與計算更為復雜，認知要求更高．諸如混淆運算錯誤的出現，說明學生只能進行最為基礎的加法運算和減法運算，而無法進行乘法和除法運算，這反映出學生在計算技能方面仍然停留在較低層次．南疆地區學生主要為維吾爾族學生，母語并非國家通用語言，因此，這種錯誤的出現，說明有效地理解復雜運算的算理與算法仍然是新疆基礎教育中的一個難點．

第二，對位值的理解問題．運算過程中，數字的位置不同，代表不同的位值．出現進位、借位錯誤的部分原因可能是因為維吾爾語的書寫順序是從右向左，而數字書寫順序恰恰相反．母語書寫順序與數字的書寫不一致問題，給學生理解位值帶來了一定的困難．因此，在面向南疆學生的教學中，需要特別考慮學生在位值這一概念方面的理解障礙．同時，學生出現的對小數概念的理解誤區，也反映出學生對小數表示中的位值理解存在較大的障礙．

第三，混合運算中運算規則的理解問題．混合運算過程中，涉及不同運算的優先級問題以及運算律的使用．學生出現運算順序問題和運算律使用混亂等問題，反映出學生在數學學習中未能理解混合運算的運算規則，對運算律的認識停留在較淺的層次．

3.3.2 程序性錯誤及原因分析

（1）進位、借位錯誤．

學生在加法運算中的進位錯誤和減法運算中的借位錯誤見圖10和圖11．

圖10中的例（1）沒有進位，例（2）進了兩位．例（4）中也沒有進位，但是將8+2所得結果10放在了最后的計算結果當中，最后得出0.810的錯誤結果．例（5）中在計算17.95+1.05的過程中，沒有向十分位進位，而是直接進位到了個位，導致出現19.90的錯誤．

圖10 程序性錯誤——進位錯誤

圖11 程序性錯誤——借位錯誤

（2）殘跡錯誤．

學生在加法運算和減法運算中出現的殘跡錯誤見圖12和圖13．這種錯誤是指學生在加法計算或者減法計算中會改變運算的對象．

圖12 程序性錯誤——殘跡錯誤

（3）空間排列錯誤．

學生在乘法運算中出現的空間排列錯誤見圖13．

圖13 程序性錯誤——空間排列錯誤

這種錯誤主要出現在學生使用豎式進行乘法計算的過程中．如圖13的例（1）中，學生將3次運算結果對齊排列；例（2）和例（3）中，學生將前兩次運算結果正確排列，但是將第三次的運算結果與第二次運算結果對齊排列．

（4）計算不完整．

學生在乘法和除法運算中的計算不完整錯誤見圖14．

圖14 程序性錯誤——計算不完整

圖14（a）的例（1）中，第一次運算是56乘以1，第二次運算應該是50乘以0，但是學生卻按照5乘以101的方式計算，然后將兩次運算結果相加．圖14（a）的例（2）中，首先將56與101的個位與十位進行計算，沒有按照步驟進行完整的乘法計算．圖14（b）的例（1）中，在得出117后，沒有繼續進行除法計算；例（2）中，在完成第一步運算，得出商的最高位后，沒有繼續完成后續計算．

（5）估商錯誤．

學生在除法運算中出現的估商錯誤見圖15．

圖15 程序性錯誤——估商錯誤

圖15的例（1）中，在計算339除以68時出現估商錯誤；例（2）中，在計算389除以68時出現估商錯誤；例（3）中，計算174除以68時出現估商錯誤．

以上5種程序性錯誤表明，雖然學生對算法和算理達到了一定程度的理解，但在數學運算的準確性和熟練性方面存在問題，說明學生不能完整有效地完成筆算過程．此外，諸如“估商錯誤”等問題的出現，反映出學生在估算方面存在一定問題．實際上，估算水平的提高，離不開熟練的筆算技能這一前提條件．因此，學生出現程序性錯誤，反映出教學過程中對學生筆算技能熟練程度的培養存在較大提升空間．

3.3.3 協調性錯誤及原因分析

（1）謄寫錯誤．

學生出現的謄寫錯誤見圖16．

圖16 協調性錯誤——謄寫錯誤

圖16是學生在書寫計算過程中，將運算對象寫錯，從而導致錯誤．例如，例（1）中，學生將7.95寫成4.24；例（2）中，將7.95謄寫成95；例（3）中，將1.05寫成5.05．

（2）遺漏錯誤．

學生出現的遺漏錯誤見圖17．

圖17 協調性錯誤——遺漏錯誤

圖17是學生在書寫計算過程中，遺漏了小數點或某一數字，從而導致錯誤．3個錯例中均出現遺漏小數點的錯誤．

（3）部分錯誤．

學生出現的部分錯誤見圖18．

圖18的例（1）中，在計算4.24+7.95與5.46+1.05時都是正確的，而在計算12.19+6.81時出現錯誤．

圖18 協調性錯誤——部分錯誤

學生出現以上3種協調性錯誤，主要的可能原因是學生平時書寫運算過程不規范，尤其是面對較多或較大數字的運算問題．這種情況通常被歸結成學生“粗心馬虎”等原因．但是以往研究[10]也指出，這些錯誤也可能是因為學生對運算法則進行機械記憶，從而無法自己察覺到出現的錯誤．

4 結論與討論

南疆四年級小學生數學計算方面的主要障礙是缺乏對運算對象和算理算法的基本理解，計算中出現錯誤的主要類型是概念性錯誤，而非馬虎等簡單歸因．這反映出學生對數學運算、運算對象、算法算理缺乏基本的認識和理解．

算法和算理的理解一直以來是小學數學教學的重點和難點，南疆小學生在這方面存在障礙也在情理之中．但是研究發現，南疆四年級小學生所犯概念性錯誤中出現大量的混淆運算符號（如將加法按照減法進行計算或者將乘法按照加法計算）、不理解小數概念（忽視小數中的小數點，將小數看成兩個整數進行計算）、混合運算中運算順序混亂等問題．反映出很多學生的數學學習在一定程度上存在低效性問題，考慮到參加測試的小學生處于四年級期末階段，可以預想這些學生在升入五年級甚至初中時，運算方面的問題會嚴重影響其數學學科其它模塊的學習，是最令人堪憂的問題．這些問題的出現可以歸結成3方面原因．

第一，南疆地區教學水平有限．學生在運算中出現的概念性錯誤和程序性錯誤，反映出數學教學未能幫助學生理解相應的算理算法，未能幫助學生有效地提升數學運算的熟練性與準確性．從研究結果看，學生出現的計算錯誤，反映出當地教學水平的有限和師資力量的薄弱．這與以往研究者[11]的觀點相同，反映出南疆地區學生學業水平的提高，離不開師資的改善．

第二，教學語言、學生母語不一致現象．不可否認，內地發達地區學生在運算能力方面也存在一定的問題，但是相比較而言，以往研究很少指出內地發達地區學生在運算方面存在較嚴重的概念性錯誤．該研究的發現，說明數學運算中的概念性錯誤突出這一問題具有一定的地域特點．其背后的主要原因可能是學生的母語與教學語言不一致，導致學生在數學學習過程中面臨一定的語言理解障礙．在南疆地區，除了小部分學生使用母語學習數學知識外，絕大部分學生都在使用國家通用語言版本的教材，并且課上使用國家通用語言學習數學．在使用國家通用語言學習數學的過程中，南疆小學生既要應對非母語授課語言障礙的問題，又要掌握數學學習中的重難點知識．兩方面的壓力使得南疆小學生在數學學習中面臨雙重挑戰．

第三，維吾爾語的特點．維吾爾語言中數字讀法較為復雜，例如1.314讀作“一點整千分之三百一十四”．而以往研究[12]指出，學生在學習過程中往往會讀成“一點三百一十四”，這造成了學生在小數與整數的認知上產生一定程度的混亂．該研究中發現，學生在小數運算過程中出現較多的問題．這在一定程度上反映出，以維吾爾語為母語的小學生受母語語法特點的影響，給數學學習帶來一定的負遷移．除此以外，維吾爾語書面語中，普通文本的書寫順序是從右向左橫寫，而阿拉伯數字的書寫卻是從左向右，這種差異給學生理解數學概念（比如位值）帶來了一定的困難．

當前，越來越多的學者參與到中國少數民族數學教育研究與實踐中[13-15]，極大地推動了少數民族數學教育發展．在以往研究基礎之上，深入分析南疆四年級小學生的運算錯誤，反映出了南疆小學數學教學中存在較大的問題．南疆地區維吾爾族人口比例高達87%[16]，維吾爾族兒童的母語并非國家通用語言，但是隨著新疆推行國家通用語言教學，絕大部分維吾爾族小學生都在使用國家通用語言學習數學知識．因此，后續研究應該從新疆基礎教育實際出發，研究南疆小學數學教學中存在的問題，有效地利用學生出現的困難與錯誤，深入分析學生的想法并診斷出具體問題所在，進而有針對性地開展南疆小學數學教師培訓，提高南疆數學教學的整體水平．

[1] 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：6．

[2] 王巍．小學生數學錯誤的類型及對策[J]．課程·教材·教法，2014，34（7）：83-86．

[3] 孫興華，馬云鵬．小學數學教師如何處理學生計算錯誤的研究——以兩位數乘兩位數為例[J]．數學教育學報，2016，25（5）：38-44．

[4] 張樹東．小學生計算錯誤的原因分析及對策[J]．教育研究與實驗，2006（5）：53-58．

[5] 阿力木·阿不力克木．影響新疆維吾爾族中小學生數學成績的內在因素研究[J]．民族教育研究，2011，22（6）：29-31．

[6] 阿布地莎，阿依丁，木尼拉．新疆伊犁地區哈維“實驗班”數學教學調查研究[J]．數學教育學報，2007，16（1）：59-62．

[7] 教育部民族教育發展中心，新疆維吾爾自治區雙語教育質量監測評價中心．新疆雙語教育質量監測結果報告（小學階段）[R]．2016-11：3-5．

[8] 劉加霞．小學數學有效學習評價[M]．北京：北京師范大學出版社，2015：34-35．

[9] 伍鴻熙．數學家講解小學數學[M]．北京：北京大學出版社，2015：32-40．

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[11] 何偉，孫曉天，賈旭杰．關于民族地區數學雙語教學問題的研究與思考[J]．數學教育學報，2013，22（6）：16-19．

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[13] 薛德軍，楊美主．甘肅舟曲藏族女性服飾中蘊含的數學文化探析[J]．數學教育學報，2018，27（2）：82-86．

[14] 陳婷，徐冉冉．中國少數民族數學教育的“現狀”“問題”及“對策”——2017年全國少數民族數學教育研討會暨西藏數學教學改革研討會會議紀要[J]．數學教育學報，2018，27（1）：96-98．

[15] 楊夢潔，王彭德，楊澤恒．白族文化中數學元素的挖掘[J]．數學教育學報，2017，26（2）：82-86．

[16] 阿克蘇行政公署政府網．阿克蘇概況[EB/OL]．（2018-01-01）[2018-12-11]．http://www.aks.gov.cn/zjaks/xsgk/ aksdqgk/index.html．

A Study of Calculation Mistakes Made by Primary Students in South Xinjiang——Based on Xinjiang Large-Scale Assessment

HE Wei, DONG Lian-chun, FA Xu, SHAO Wei, LANG Jia-ji

(College of Science, Minzu University of China, Beijing 100081, China)

This study conducted a fine-grained analysis of the calculation mistakes made by primary students in South Xinjiang. It found that conceptual errors constituted the majority of the errors made by students in all the six content areas, namely multiplication of the whole numbers, division of the whole numbers, addition of the decimal numbers, subtraction of decimal numbers, and mixed addition and subtraction of decimal numbers. The conceptual errors mainly consisted of misconception of operations, misunderstanding of decimal numbers, order of operations, and so on. The reasons for the conceptual errors mainly included inability of understanding sophisticated computation and algorithms, inability of understanding the place value, inability of understanding the algorithms of mixed computation.

mathematics calculation; calculation mistakes; primary school; mathematics; Southern Xinjiang

2019-10-10

北京市教育科學規劃課題——北京市中學內地新疆班、西藏班辦學現狀與對策研究（AAA14005）

何偉（1963—），女，蒙古族，黑龍江齊齊哈爾人，教授，主要從事數據挖掘、少數民族數學教育研究．董連春為本文通訊作者．

G623.5

A

1004-9894（2020）01-0070-06

何偉，董連春，法旭，等．南疆小學生數學運算錯誤類型及分析——基于新疆大規模測評數據[J]．數學教育學報，2020，29（1）：70-75．

[責任編校：張楠、陳雋]