基于大學數學語言向自然語言過渡的一些思考

（陸軍步兵學院基礎部 江西·南昌 330103）

由于數學學科追求精確性和高度概括性的特點，決定其需要發展自身特有的語言來描述其內涵。在數學教材里充滿了特定的術語，統一通用的符號等等，這些都屬數學語言的范疇。數學語言與我們習慣的自然語言大相徑庭，其具有的抽象屬性，無疑增加了學生們的理解難度。

1 數學語言的內涵和作用

在數學教材中布滿了大量的數據、術語、圖形、表格以及符號等等，它們構成了數學語言并承載著數學知識。比起自然語言，數學語言有著能夠準確描述數學中各種對象的優勢，它克服了自然語言在表達上的含混不清。但是，數學語言明顯不如自然語言通俗易懂，形象直觀。所以教師授課時，一定要把握可接受原則，只有在學生形成一定理解的基礎上，才能繼續發掘更深層次的數學內涵。

我們的學生就讀中小學期間，因應試的需要，許多教師在數學教學上更為側重對各類題目的梳理、求解和歸納，而淡化對基本概念，基本定理以及基本數學符號的解析。這使得學生們對數學產生片面化，套路化和庸俗化的理解。同時采用“刷題”的方式，也使學生們的數學語言運用不夠，理論基礎不牢。當面對更加精煉，更加抽象的大學數學語言時，學生們領悟起來就非常吃力。

針對上述現狀，教師在大學數學教學中，很有必要把抽象難懂的數學語言轉化成具體易懂的自然語言。本文以高等數學課程里常見的一些術語和符號為例，具體討論如何把它們從數學語言層次過渡到自然語言形式上來。

2 數學語言向自然語言轉化實例

2.1 術語的轉化

數學術語是介紹數學中定義，定理等產生的專有名詞，它分為兩類，一類是具有實際意義的術語，比如等差數列；一類則是紀念在某領域有過偉大成就的數學家并以他們的名字來命名的術語，比如微分學里的柯西中值定理。對術語的充分理解，可以使學習者事半功倍。下文就一些常見數學術語，舉例說明。

2.1.1 極限保號性

高等數學中極限概念的引入為研究函數的分析性質提供了有力的工具。然而它的定義和性質，成為了學生們學習時的“攔路虎”。如探究極限保號性時，“保”代表什么，“號”是誰的號？定理內容往往使學生感到晦澀難懂。教師應該做到清晰通俗地表述，“在函數極限存在的前提下，極限值號的正或負，可以保證在某一局部范圍內對應函數值的號同正或同負”。然后再配合相應的幾何直觀加以說明。這要比直接灌輸抽象的數學語言定義，更易使學生接受。

2.1.2 間斷點

關于間斷點，很多老師這樣來講解，可按左，右極限是否都存在，分為第一類和第二類間斷點；若存在，又可按左，右極限是否都相等，把第一類間斷點分為可去間斷點和跳躍間斷點。但“可去”具體指什么，“跳躍”又是何意，卻并沒有引起相應的注意。“可去”意味著補充或修改函數在間斷點處的函數值，使其等于左，右極限值，該函數就成了連續函數，該類間斷點可去除而成連續點，“跳躍”指的是函數圖像在間斷點處呈現跳躍式的斷開，無論怎樣補充或修改定義，都不可能使在該點處的函數值同時等于左，右極限值，該類間斷點不能去除而使函數連續。這樣通俗說明一下，對初學者理解術語的益處在于形象直觀，便于認知。

2.1.3 駐點

不論是教師教學，還是學生學習，大多都只關注一句話“使導數值為零的點是函數的駐點”，就把這個概念一帶而過。實際上它在數學，物理等學科中都有應用。駐點（Stationary Point）又稱平穩點、穩定點或臨界點（Critical Point），通俗來理解駐點就是在“這一點”處（注：駐點并不是平面上某點，而是這點處的橫坐標值）函數輸出值停止增大或減小。

從幾何角度看函數的圖像在駐點處趨于平緩，停止變化。對于一元函數，駐點處對應切線平行于x軸；對二元函數來說，駐點處對應切平面平行于xoy面。從物理角度講，臨界點（駐點）表示物體由一種狀態變到另一種狀態，所要滿足的條件。比如電容器充放電時的電壓。依據駐點在數學上是函數可能的極值點這一理論，在某些情況就可遷移到物理中，建立臨界點與取最值點之間的聯系。教師這樣解釋術語，就使得駐點的概念不再孤立，而是與后續學科搭起了橋梁。

2.1.4 中值定理

“中值定理”這一節內容出現的多是帶有人名的術語，其重要意義在于為導數的應用奠定了基礎。該節內容抽象度高，理論性強，學生們學習起來異常困難。

從邏輯角度出發，教師可采用問題教學法來設置一系列與內容具有密切聯系的問題。比如，由歷史上對最值問題的研究來引出費馬（Fermat）定理，再利用所得結論引出下一個問題“究竟滿足什么條件的函數，一定存在駐點？”由此導出羅爾（Rolle）定理的內容，通過討論“若去除羅爾定理中，區間端點值相等這一較強條件，原有幾何直觀及相應結論又會如何變化？”引出拉格朗日（Lagrange）中值定理，再討論“若函數以參數方程形式給出，拉氏定理的結論又會出現哪些變化？”進而推廣到研究兩個函數情形的柯西（Cauchy）中值定理。當學生知悉內容之后，教師還需“打鐵趁熱”引導學生構建知識鏈條，把握微分學中這三大中值定理的聯系，使學生領悟這種從特殊到一般的邏輯銜接和思維躍遷過程。

從歷史角度出發，中值定理的發展，由最初的萌芽到最終的完善，經歷過這樣幾種形式。首先是卡瓦列里（Cavalieri）和阿基米德（Archimedes）給出的幾何形式的微分中值定理。接著羅爾研究了代數形式的微分中值定理，后來，隨著極限、連續、導數、微分等定義的相繼嚴格化。拉格朗日，柯西等一批數學家給出了嚴格的分析形式的微分中值定理。教師在助力學生理解中值定理內容時，應從幾何、代數、分析的角度加以通俗注釋，這樣不僅是對內容的全面解析，更是與中值定理的歷史發展脈絡相契合。同時中值定理形式的發展，內容的逐步精確嚴格化，也體現著邏輯與歷史的辯證統一。

2.2 符號的轉化

數學符號作為一種記號用來表示數學中的概念、關系等等，它是一種含義極具概括，形體非常濃縮的特殊的數學語言。對數學符號的理解不到位，新舊符號易混淆等等原因，易使學習者產生厭學，畏難情緒。教師有必要加強符號教學的設計，多用自然語言解析符號的含義。下文中將通過“高階無窮小”符號，“中值”符號等例，列舉說明。

2.2.1 高階無窮小的符號“o”

在高等數學中，當函數極限存在時，函數可以轉化成它的極限值加上無窮小，其作用是“游離”出極限號里的函數，把從研究一般極限轉到研究特殊極限（無窮小）上去；無窮大的情形也可轉化成研究無窮小來考慮，所以研究無窮小量意義重大。我們知道對任意兩個實數，可通過作差或作商的方式比較它們的大小。而對于兩個無窮小量，作差取極限仍是無窮小量，故可通過作商取極限來比較它們趨于零的速度，基于此數學中引入無窮小比較的概念。而高階無窮小是其代表情形，若明白其意義，對低階無窮小，同階無窮小，等價無窮小等概念都會迎刃而解。

從以函數形式呈現的零點定理，介值定理。到以導數形式呈現的中值定理。再到以積分形式呈現的中值定理。盡管表達式各異，但是這些定理有一個共性的地方，它們的結論里面一定與所討論的區間（a，b）中的某一個點（值）有關，這個點（值）統稱為中間點（值）。數學上，我們用符號“”來表示中間點（值）。

學生們常常感覺這個符號，彎彎曲曲，別扭難寫。作為教師應強調該數學符號的重要性，講清符號產生的前因后果。因為古希臘很多數學家的杰出貢獻，所以希臘字母在數學中廣泛應用。國際上統一約定符號“”表示區間內的一個未知特定值。

值得注意的是，和中間值有關的定理，大多是沒法準確知道這個“中值”到底是多少，不少學生對此會有疑惑，教師則需要說明“中值”的存在意義，即使不知其精確數值，但它的客觀存在性對定理的結論，對實際的應用并不影響。在這里，教師可用一句古詩“只在此山中，云深不知處”，通俗來描繪中間值（點）這種“存在的意境”，用符號抽象之美與詩句文學之美相融合的過程，來引起同學們的學習興趣。

導數是高數中重要的概念，其內容復雜抽象，其符號形式多變，初學者很難真正通曉其義，因此要求教師須把抽象定義通俗化，講清各個符號歷史來源及演變，讓學生理解導數全貌。可從幾何、物理、經濟、軍事等角度來通俗理解，在幾何上，導數表示切線的斜率；物理上，導數理解為物理量變化率（如在某一時刻瞬時速度，瞬時功率等）；經濟上，“邊際”，“彈性”成為導數的代名詞（邊際成本，供給價格彈性等都有相應各自函數的導數表達）；軍事上導數體現在軍事量變化率（如在某一時刻兵員傷亡率，彈藥損耗率等）。無論模型如何變化，這些事例的共性都是函數在某一時刻的瞬時變化率問題，在數學量上有統一的表達形式，即通俗地理解導數的本質就是“增量比的極限”（注：增量比雖形式多樣，但本質相同）。

3 結語

對大學數學中術語的通俗解釋，符號的尋根溯源，旨在使學生對數學有清晰的理解和良好的認知。當學生具備了一定的學科基礎和認知基礎之后，教師還要引導他們再回歸到數學語言層面，在感受到數學語言嚴謹精確的同時，學生的邏輯思維也會得到錘煉和升華，體會到其中散發的抽象之美，學生們自然而然就不再畏懼數學。