循環卷積在濾波多載波干擾分析中的應用＊

申江慢

循環卷積在濾波多載波干擾分析中的應用＊

申江慢

（麗水職業技術學院，浙江 麗水 323000）

循環卷積是數字信號處理領域中的核心數學工具之一，是連接時頻域之間的重要橋梁。干擾分析一直是濾波多載波技術的難題之一，受限于較長的濾波器長度，符號間干擾不可忽略。直接用線性卷積進行分析會導致公式形式繁冗，且各級求和上下限高度耦合，導致后續分析難以推進。通過延長觀察窗口，構成物理上循環移位的結構，將循環卷積引入到濾波多載波的干擾分析中，將時域卷積轉換成頻域點乘，大大降低了分析難度。通過仿真驗證，提出的分析方法可以準確構造出干擾的表達式，為后續的信干比分析及濾波器設計等工作打下了很好的基礎。

循環卷積；線性卷積；濾波多載波；干擾分析

1 引言

濾波多載波技術是5G后（5G and beyond）的基礎波形技術[1]，通過對子載波或者子帶進行濾波，大大降低干擾泄漏（out-of-band emission，OOBE），從而將用戶間干擾控制在很小的范圍之內。但是大部分的濾波多載波技術中使用的濾波器長度都遠超循環前綴（cyclic-prefix，CP）的長度，這使得濾波多載波接收信號不再具有類似CP-OFDM接收信號中循環移位的特殊結構，符號間干擾（inter-symbol interference，ISI）無法避免[2]，這也使得循環卷積無法直接應用到其中。一種近似的分析方法是忽略ISI的存在，直接在頻域進行干擾分析，這樣處理的弊端是非常明顯的，無法分析ISI及異步傳輸對于干擾的影響，也無法準確分析子載波間干擾（inter-carrierinterference，ICI）和子帶間干擾的影響。更準確的分析方法是在時域展開干擾分析，目前在通用濾波多載波（universal filtered multicarrier，UFMC）[3]、基于成型濾波器函數設計的交錯正交幅度調制正交頻分復用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing With Offset Quadrature Amplitude Modulation，OFDM/OQAM）[4]中都有類似的分析方法。這樣分析的優點是準確度高，但是在（filtered Orthogonal Frequency Division Multiplexing，f- OFDM）[5]中，傳統的直接用線性卷積在時域開始分析的方法并不適用。因為f-OFDM中收發兩端都有基于子帶的濾波操作，而且濾波器長度遠超CP長度，由于發送濾波器、多徑信道和接收濾波器三者都可以視為線性時不變系統，因此接收時域信號相當于發送時域信號依次和這三者線性卷積的結果。如果直接用線性卷積對接收信號進行建模，雖然邏輯上最容易理解，但是由于線性卷積的特點，多級線性卷積操作之間的上下限相關性很強，這使干擾本身的建模難度非常大，而且對后續的方差推導等工作帶來諸多不便。

2 卷積介紹

2.1 線性卷積

線性卷積是數字信號處理領域的重要數學工具，尤其是對線性時不變離散時間系統而言，它描述的是線性移不變系統的輸入輸出關系，體現系統的內在特性。假設一個輸入序列（）輸入到一個單位脈沖響應為（）的線性移不變系統中，由于線性系統的疊加屬性，系統輸出可以表示為：

式（1）中：*表示線性卷積運算。

當（）和（）均為有限長，且長度分別為X和H時，修正為：

從式（2）看出，線性卷積等效于用（）的抽頭加權（）的各個時延版本，然后再求和。

舉例說明，假設（）=[1，2，2]，（）=[1，2，3，4]，則（）=（）*（）可以通過如下計算過程得到：

（）=[1，4，9，14，14，8]，由式（3）可知，線性卷積中存在移位、加權和求和等操作，而且計算結果的序列長度為原序列長度和減1。

2.2 循環卷積

與線性卷積相對的，（）和（）的循環卷積可以表示為：

由式（4）可知，循環卷積的基本計算過程也是由移位、加權和求和三步組成，但和線性卷積不同的地方在于，線性卷積的移位是線性右移，這會導致輸出序列長度變長。而循環卷積的移位是循環右移，并不會增加輸出序列的長度[6]。為了說明情況，同樣以上面的例子為例，序列（）=[1，2，2]和（）=[1，2，3，4]的循環卷積結果為：

循環卷積的應用主要在離散傅里葉變換（DFT）中，在DFT中，兩個序列循環卷積的DFT等價于它們各自DFT變換的點乘，即：

循環卷積的主要意義在于，配合DFT進行適當時頻轉換，可以通過點乘來代替卷積運算，降低分析難度和運算量。

2.3 線性卷積和循環卷積的相互轉化

從上面的分析可知，一般情況下，序列（）和（）的線性卷積和循環卷積由于移位的規則不一樣，造成其輸出序列的長度及數值不同。但是如果將兩個序列分別先通過補零延長到X+H－1以上，得到（）和（），則：

只要適當延長卷積操作的窗口，就可以利用循環卷積來計算線性卷積[7]。

3 應用對比

OFDM的時域發送信號可以表示為：

式（8）中：n（）為第個OFDM符號中第個樣點的時域信號；為子載波數；n（）為第個OFDM符號中第個子載波上的頻域信號。

3.1 基于線性卷積的干擾分析

在濾波多載波的收發機中，收發兩端的濾波器以及多徑信道都可以建模為線性移不變系統，因此可以非常直觀地使用線性卷積對接收信號進行建模。

時域發送信號經過發送濾波、過多徑信道和接收濾波之后，干擾結構如圖1所示。

注：LO為由發送濾波器、多徑信道及接收濾波器組成的等效信道he（k）的長度；LCP為CP的長度；LS為群延時的長度。

從圖1看出，會對第個符號n（）造成pre干擾的是第－1個符號n－1（）中的倒數個樣點，即n－1（），－（O－1－CP－S）≤≤－1。數據信號n－1（）、等效濾波器e（）、多徑信道（）三者線性卷積之后得到+O－1個樣點。直觀地用線性卷積對接收信號進行建模：

由于發送濾波器、多徑信道、接收濾波器都可建模為線性移不變系統，是可以交換順序的。

不妨將發送濾波器和接收濾波器視為一個長度為的等效濾波器e（），原來的等效信道即為等效濾波器和多徑信道的卷積，即：

可以得到：

e（）中0≤≤－1，需要滿足：

不難發現，使用線性卷積分析干擾雖然理解上非常直觀，但是多個線性卷積在表示上會引起多層求和運算，導致接收信號的表達式非常繁冗。

此外，加上多層求和運算變量之間的高度耦合，會導致變量范圍界定困難，并造成干擾表達式被割裂為多個多項式之和的形式。

這些結果給后續的干擾方差計算帶來了非常大的難度，不利于干擾分析的推廣應用。

3.2 基于循環卷積的干擾分析

為了將三者的線性卷積轉換為循環卷積，將三者各自的尾部補零至≥+O－1個樣點之后，pre干擾部分可以表示成下式：

對比式（9）和式（11）不難發現，使用循環卷積進行干擾分析可以使干擾表達式更緊湊，避免了多重變量耦合和解析式分段，有利于后續的進一步干擾分析。

4 仿真驗證

為了驗證本文所提出方法的準確性，本文使用蒙特卡洛方法進行仿真，仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數設置

采樣率/MHz30.72 子帶寬度/kHz720 IDFT長度2 048 CP長度32 子載波分布位置148～195 調制階數4QAM 每幀中的Block數14 濾波器長度1 024 多徑信道Extended Pedestrian A model 均衡方法迫零均衡 蒙特卡洛實驗次數10 000

為了驗證用循環卷積構造出的干擾的準確性，首先給出原始的頻域接收信號星座圖，如圖2所示。

圖2 原始接收信號星座圖

如圖2所示，原始的接收信號的星座點凌亂地散布在目標星座點附近，這是因為在濾波多載波中，濾波器的長度大于CP長度，單純去除CP的操作無法去除ISI等干擾。去除干擾后的接收信號星座如圖3所示。

圖3 去除干擾后的接收信號星座圖

如圖3所示，在去除式（11）重構的干擾之后，剩余干擾被完全去除，完美恢復出了功率歸一化之后的發送信號。

進一步地，對pre的仿真功率進行驗證，如圖4所示。

圖4 驗證ISIpre的仿真功率

從圖4可以清楚地看出，pre功率的實際仿真和理論計算值非常貼近，這進一步驗證了本文提出的基于循環卷積的干擾分析的可行性和準確性。

5 總結

干擾分析是波形技術發展的基礎性工作，對于后續的信道估計與均衡、同步估計與補償等都有直接的關系。

本文針對f-OFDM的結構特點，通過延長時域觀察窗將循環卷積引入到干擾分析中。

從頻域關系出發，通過時頻轉化，將不同符號間的多種子干擾成功解耦，避免了傳統干擾分析方法中直接從時域出發，使用線性卷積進行干擾建模，導致多個符號間各種子干擾耦合嚴重的問題。

從算法上看，本文提出的分析方法思路清晰，結構簡單，非常便于后續的干擾方差推導等進一步分析。

另外，本文算法的準確性也得到了仿真驗證，去除理論干擾后的接收信號得以完美恢復，根據理論計算的干擾功率曲線和仿真曲線也基本吻合，達到了設計預期目標。

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TN92

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2020.02.006

2095－6835（2020）02－0022－04

麗水職業技術學院青年基金項目“循環卷積在濾波多載波干擾分析中的應用研究”（編號：LZYC201801）

〔編輯：嚴麗琴〕