投影法與微分法解平面尺寸鏈的比較分析

■ 江蘇大學東海機械汽配研究院 （江蘇連云港 222000） 孫 躍

■ 卓郎（江蘇）紡織機械有限公司 （江蘇常州 213200） 孫 圓

在機械制造領域，經常會遇到平面尺寸鏈的計算問題。所謂平面尺寸鏈，是指封閉環和所有組成環同處于同一平面或幾個相互平行的平面內，且某些組成環不平行于封閉環的尺寸鏈。相對線性尺寸鏈而言，平面尺寸鏈中除了長度尺寸外，還有角度及坐標尺寸等。比如，在加工機械零件時，經常會遇到類似如圖1所示的零件。加工類似零件，除了選擇加工工藝基準、加工方法、加工順序及工藝裝備外，還必須計算有關工序尺寸的幾何參數的允許誤差，從而使加工的零件符合圖樣要求。目前對平面尺寸鏈的計算常用投影法和微分法，但兩者的計算精確度有誤差，下面就這兩種方法進行一般公式推導以及對比分析。

1. 投影法

投影法的原理是將平面尺寸鏈轉化為直線尺寸鏈求解，一般把各組成環沿封閉環所在方向投影，將二維的平面尺寸鏈轉化為一維的直線尺寸鏈，建立形式上的線性尺寸鏈，求出封閉環與各組成環的關系方程，以確定封閉環的基本尺寸，最后根據直線尺寸鏈公式進行求解。下面以平面孔系尺寸鏈為例進行推導。

圖1 多孔零件

將圖1簡化為如圖2所示三角形，A1與A0尺寸之間的夾角為α，A2與A0尺寸之間的夾角為β，A1與A0之間的夾角為θ。通過鏜孔的加工順序可判斷A1、A2為組成環，A0為封閉環。按照投影法原理將A1、A2投影到A0尺寸線上，通過三角函數關系可得如下關系式

圖2 各孔距間三角關系

為便于計算，投影時公式（1）中各變量皆取平均值，可知A0尺寸為A1與A2尺寸在A0尺寸線上投影之和。

由于A1與A2尺寸公差的影響，導致角度尺寸α、β也隨之在一定范圍內變化。為考慮A1與A2尺寸變化對A0尺寸的影響程度，對公式（1）兩邊進行微分，得到方程如下

由圖2可知，A1·sinα=A2·sinβ，且三角形內角和α＋β＋θ＝π，為簡化計算過程，設兩邊夾角θ的值為一給定值，α和β為未知變量，對α＋β＋θ＝π兩端微分，得到dα＝－dβ，這時可將公式（2）簡化為

用公差Ti代替公式（3）中的微小增量dAi，令T0＝dA0，T1＝dA1，T2＝dA2，對各偏導數取正值，則公式（3）簡化為

綜上所述，可得投影法求解平面尺寸鏈中的孔系尺寸鏈的一般公式（1）和公式（4）。從兩個公式形式上可以看出它們很相似，由于將A1與A2之間的夾角θ當做一個固定值，不考慮θ變化對A0的影響，公差T0的變化就僅受A1與A2的影響，而求T0的解則變成了對應的公差T1和T2的三角函數運算。事實上，θ角公差還是對A0的影響很大的，下面通過微分法求解的推導過程進行對比分析。

2. 微分法

運用全微分概念，把封閉環尺寸視為組成環的函數，設各組成環尺寸Ai為自變量，則封閉環尺寸A0為多元函數

根據全微分的概念，當各組成環變量產生微小增量時，則封閉環尺寸的增量為

用各環的公差代替微小增量dAi并對偏微分取絕對值，即可近似求得封閉環A0的公差T0為

式中，Ti為各組成環公差。

對于圖1所示零件，根據余弦定理，建立方程如下

對方程兩端微分并整理后可得

式中，Ti為各組成環公差，角度θ換算成弧度計算。

綜上所述，可得微分法求解平面孔系尺寸鏈的一般公式（8）和公式（10），從公式（10）可以看出，當計算封閉環A0的公差時，考慮到了θ變化對A0的影響，比較全面。

3. 投影法求解結果

設如圖1所示零件，A1＝（300±0.125）mm，A2＝（250±0.2）mm，θ＝135°±15′，求解A0的公稱尺寸和公差。

根據正弦和余弦定理，求得α＝20.34°，β＝24.66°。

根據推導出的公式（1），帶入相關數據，可求得A0的公稱尺寸，A0＝A1·cosα＋A2·cosβ＝300×cos20.34°＋250×cos24.66°≈508.494（mm）。

根據推導出的公式（4），帶入相關數據，可求得A0的公差T0＝T1·cosα＋T2·cosβ＝0.25×cos20.34°＋0.4×cos24.66°≈0.598（mm）。

所以投影法求得的孔距A0＝（508.494±0.299）mm。

4. 微分法求解結果

根據公式（8），帶入相關參數，可求得A0的公稱尺寸，508.494（mm）。

根據推導出的公式（1 0），帶入相關數據，并將角度θ換算成弧度，可求A0的公差。Tθ＝θπ/1 8 0≈0.0 0 9，≈0.938×0.25 ＋0.909×0.4＋104.294×0.009≈1.536（mm）。

所以微分法求得的孔距A0＝（508.494±0.768）mm。

5. 對比分析

從投影法和微分法計算結果可以看出，封閉環的公稱尺寸是相同的，最大差別就在于公差上，投影法封閉環公差的計算值要包含于微分法計算值區間內。投影法只考慮組成環A1與A2的影響而忽略了夾角θ公差對A0公差值的影響，而微分法既考慮組成環又考慮了夾角公差的影響。根據A1、A2、θ對A0的偏微分，求得的傳遞系數分別為0.938、0.909和104.294，可見夾角θ公差對封閉環的影響是最大的。

與微分法求解得出的封閉環尺寸和公差比較，投影法將夾角角度設為沒有加工誤差的理想情況，對實際測量尺寸的精度要求會明顯提高，在生產過程中雖然最終加工的產品符合圖樣設計要求，但容易出現“假廢品”情況，而且由于投影法計算出來的公差值較小，導致產品加工對操作員水平和設備要求高，降低了生產效率，導致生產成本上升。

6. 結語

通過對平面尺寸鏈中的孔系尺寸鏈的投影法和微分法推導及計算結果進行對比分析可知，采用投影法求解對封閉環的公稱尺寸無影響，但由于不考慮角度的影響，計算得出的公差與微分法求解值有較大的差距，明顯提高了封閉環的精度，導致檢測時容易出現“假廢品”現象。而微分法求解，由于考慮了角度公差的影響，計算準確，能夠真實反映各因素對計算結果的影響，是求解平面尺寸鏈較好的方法。微分法只需要建立封閉環與各組成環的函數關系，特別是當尺寸鏈的組成環較多，投影困難，難以判斷各環增、減屬性時，更能體現出其優越性。

專家點評

文章的理論性很強，通過對尺寸鏈中的投影法和微分法進行對比分析，從推導公式和計算結果得出，兩種方法的差別就在于公差上。投影法求解不考慮角度誤差，容易出現“假廢品”情況；微分法求解，只需建立封閉環與組成環的函數關系，并考慮角度公差值的影響，能夠真實反映各項因素的影響，計算更加準確。

文章條理清晰，思路嚴謹，能夠將抽象的尺寸鏈問題上升到對比分析的理論高度，結論部分也寫得很好，簡明扼要，有理有據，起到了畫龍點睛的作用。