基于圖像質量與頻譜特性加權的光瞳結構優化

趙晉煒，于 洵，龔昌妹，姜 旭

（1.西安工業大學 光電工程學院，西安710021；2.西安工業大學 西北兵器工業研究院，西安710021；3.西安應用光學研究所，西安710065）

隨著信息科學的發展和光學加工制造技術的進步，高分辨率光學成像技術在軍事偵察、目標監視、地形測繪、地表資源普查、災情監測等領域的應用越來越廣泛[1]，在工作波段一定的條件下，要提高望遠成像系統的分辨率，只有增大系統口徑，才能滿足觀測時對于角分辨率的要求，但是，系統孔徑的增加不僅會造成加工檢測難度和體積重量的增加，且導致加工成本的上升，近年來所提出的光學合成孔徑成像技術在一定程度上解決了這一難題，其將多個孔徑較小的光學系統按照特定排布方式組合在一起，便可獲得與單個大孔徑系統相當的空間分辨率，是實現大孔徑光學系統的有效手段和發展方向[2]。

1 光瞳結構的優化方法研究

光學合成孔徑成像系統與傳統的光學成像系統不同：①合成孔徑系統的PSF和MTF與系統子孔徑間的陣列結構密切相關，不同的光瞳結構會對系統性能造成不同的影響；②合成孔徑系統直接輸出的是低對比度的混疊圖像，必須通過后續的圖像復原處理技術才能達到或接近單個大孔徑系統的成像質量[3]，文獻[4]基于圖像重建誤差最小化準則提出一種新的空間排列方式；文獻[5]提出基于加權頻段能量的優化方法，通過聚合典型光瞳結構中部分子孔徑來提升系統成像質量；文獻[6]給出實現最大分辨率的優化方法，并對9～21 孔徑結構進行優化和分析，此外，文獻[7-9]基于不同的優化準則設計了不同的光瞳結構，并對其調制傳遞函數的分布特性和復原圖像質量進行分析。

以往對合成孔徑系統的研究，主要集中在系統的光學性能指標上，在此基礎上建立的光瞳結構優化準則可分為兩類[10]：①以物空間某點發出的光在像空間的能量集中程度，作為系統成像質量的評價依據；②將光學系統對各種空間頻率余弦分量的傳遞和反應能力，作為系統成像質量的評價依據，需要注意的是，合成孔徑成像系統和傳統成像系統的主要區別之一，是其嚴重依賴于對直接成像結果的后期圖像復原過程，其成像性能通常由復原圖像的質量來評價，依據以上優化準則得到的光瞳結構通常只能滿足在特定方面的設計要求，不能直觀地反映合成孔徑系統的復原圖像質量。

因此，需要進一步探究可以綜合考慮光瞳結構性能的優化方法，以此為出發點，首先研究了3種典型六孔徑光瞳結構的頻譜分布特性和復原圖像質量之間的關系，基于此提出了基于圖像質量與頻譜特性加權的光瞳優化方法；采用不同的權重因子分別對六孔徑和九孔徑光瞳結構進行優化，并將其復原圖像質量和分辨率與3種典型光瞳結構進行對比、分析。

2 光學合成孔徑成像系統的簡化模型

光學合成孔徑成像系統是由若干個圓形小孔徑子系統按照特定排布方式組成的成像系統，其光瞳函數為[11]

式中：circ（r）為圓域函數；D為子孔徑直徑；*為卷積運算符；N為子孔徑數量；（xn，yn）為第n個子孔徑的中心位置，系統的點擴散函數PSF（point spread function）和調制傳遞函數MTF（modulation transfer function）分別為

式中：PSFs和MTFs分別為單個子孔徑的PSF和MTF；λ為系統工作波長；f為系統焦距，由式（4）可知，合成孔徑成像系統產生的調制傳遞函數是由子孔徑的調制傳遞函數組合而成，在工作波長和系統焦距一定的條件下，系統PSF的形狀和MTF的分布情況與子孔徑形狀和子孔徑陣列結構有關。

3 典型陣列的復原圖像質量對比

以六孔徑陣列結構為例，典型的合成孔徑系統光瞳結構分為3種：環型、三臂型和Golay-6型。這3種光瞳結構的填充因子范圍見表1[12]。

表1 三種典型光瞳結構的填充因子范圍Tab.1 Filling factors range of three typical pupil structures

由表可知，不同的光瞳結構有不同的填充因子范圍，為避免填充因子的差異對系統成像性能的影響，將填充因子F 固定為30%，得到上述3種典型光瞳結構及其對應的MTF分布如圖1所示。

圖1 三種典型陣列的光瞳結構與MTFFig.1 Pupil structure and MTF of three typical arrays

由于光學合成孔徑系統直接接收到的圖像是低對比度的混疊圖像，為獲得與等效單個大孔徑系統相當的成像質量，必須對接收的圖像進行圖像復原的后處理[13]。對于光學合成孔徑成像系統，通常采用維納濾波器進行圖像復原，表達式為

式中：OTF（fx，fy）為合成孔徑成像系統的光學傳遞函數；OTF*（fx，fy）為其復數共軛；N（fx，fy）為噪聲的頻譜；Ig（fx，fy）真實圖像的頻譜。

在實際應用中，系統不可避免地會受到噪聲的影響，系統總噪聲的分布近似為零均值的高斯白噪聲[14]，不失一般性，在此引入均值為0，方差為0.001的高斯白噪聲，此時利用維納濾波算法重建，得到3種光瞳結構的復原圖像及局部細節放大圖，如圖2所示。

由其局部放大圖（圖2aⅡ，bⅡ，cⅡ）可見，環型光瞳結構的復原圖像中存在大量偽影，Golay-6型和三臂型光瞳結構的復原圖像分辨率相近，但前者的復原圖像中存在較明顯的噪聲，且對比度較低，后者的復原結果更好。

采用信息熵E（entropy），峰值信噪比PSNR（Peak Signal to Noise Ratio）和結構相似度SSIM（Structural SIMilarity）3種常用的客觀圖像質量評價模型，對圖2中的復原圖像進行質量評價，以對比不同光瞳結構的復原圖像質量。其中，E值越小說明圖像越清晰；PSNR值越大，說明復原圖像和原圖像越接近；SSIM 從亮度、對比度和結構相似度這3個方面，綜合評價兩幅圖像之間的相似程度，其取值范圍為0～1，SSIM值越大，表示兩幅圖越相似[15]，其計算公式為

圖2 三種不同光瞳結構的復原圖像和局部放大圖像Fig.2 Restoration images and local enlarged images of three different pupil structures

評價后所得的結果見表2。

表2 復原圖像的圖像質量評價Tab.2 Image quality evaluation of restored images

由表可知，三臂型光瞳結構的復原圖像質量評價結果最好，其次分別為Golay-6型和環型，這與圖2是相吻合的，說明該圖像質量評價結果較好地復原圖像，其對比度更高、噪聲水平更低。

采用對比不同光瞳結構間頻譜差值圖的方法，以探究導致不同光瞳結構復原圖像之間差異的原因，得到三臂型、Golay-6型和環型相互之間的MTF差值圖如圖3所示。

由圖3a，b 可見，差值圖在邊緣為負值，環型光瞳結構的MTF 頻譜截止頻率高于Golay-6型和三臂型，但是Golay-6型和三臂型在中低頻具有更多的頻譜信息；由圖3c 可見，三臂型的截止頻率略小于Golay-6型，但在中低頻比環型有更多的頻譜信息，結合圖2中的局部放大圖，可以推測，在有噪聲條件下中低頻信息更有利于抑制復原圖像中的噪聲，提高復原圖像質量，更有利于人眼分辨。

圖3 三種典型光瞳結構間MTF 差值圖Fig.3 MTF difference diagram of three typical pupil structures

4 基于圖像質量與頻譜特性加權的光瞳優化方法

在優化合成孔徑系統的光瞳結構時，目標函數的構建十分關鍵，不僅要考慮系統MTF的分布特性，還要綜合考慮系統復原圖像的質量，基于本文對復原圖像質量與MTF 頻譜特性之間關系的分析，在傳統以MTF為優化準則的基礎上，提出基于圖像質量評價因子與頻譜分布特性因子加權的光瞳結構優化方法，其目標函數為

式中：p1，p2，…，pn為子孔徑中心位置；r為子孔徑的半徑；TMTF為頻譜分布特性因子；γ為權重因子；M為圖像質量的評價因子，該目標函數模型綜合考慮了光瞳結構的復原圖像質量和頻譜分布特性，可使合成孔徑系統MTF 在滿足一定分布特性的同時，還能獲得更好地復原圖像質量。

在此，TMTF采用MTF的實際截止頻率ρR，即MTF 第一次出現零值時所對應的空間頻率，其大小決定了系統的分辨能力。ρR為

式中：T為預先設定合成孔徑成像系統的MTF最小頻率閾值，通常T=0.05；ρ，θ為極坐標系下的頻譜坐標。

針對復原圖像質量的評價因子M，在此采用SSIM 這一圖像質量評價指標。該模型可從感知結構失真的角度評估2 幅復雜結構圖像間的差異，更符合人眼對圖像品質的判斷，另外，需保證子孔徑間無重疊，對應的約束條件為

式中：t為兩子孔徑邊緣的最小間距，由于頻譜分布的方向性會造成復原圖像在不同方向上存在分辨率的差異，因此在優化時應保證MTF 在頻譜面的各方向都具有相近的截止頻率，即

式中：ρmax，ρmin分別為系統MTF 截止頻率的最大值、最小值；ε為設定的閾值。

5 仿真結果與分析

光瞳結構優化時涉及的變量主要包括子孔徑的半徑和中心位置，利用常規求導方法難以對其優化，故在優化模型的基礎上結合遺傳算法，實現對光瞳結構信息的全域搜索和并行運算，在相同光瞳面積、填充因子為30%、不同權重因子（γ=0，100，200）的條件下，對六孔徑光瞳結構進行了優化，通過優化，得到光瞳結構、頻譜分布圖、MTF 截面圖、復原圖像的局部放大圖像，以及箭頭處的掃描線，如圖4所示。

圖4 優化得到的六孔徑光瞳結構Fig.4 Optimized six-aperture pupil structure

由圖可見，當γ=0時，優化得到的六孔徑光瞳結構的MTF 截止頻率在0.8～0.9 之間，子午方向和弧矢方向的截止頻率差值約為0.1，頻譜分布近似為圓形且在頻譜面內無零值，與3種典型六孔徑光瞳結構的局部放大圖（圖2）相比，圖4cⅠ中第5 組中第1個元素更為清晰，但與圖2b，2c相比，圖4cⅠ中的噪聲較為明顯。

當γ=100時，優化得到的六孔徑光瞳結構（圖4bⅡ）的中低頻頻譜信息比圖γ=0時（圖4bⅠ）更多，其復原圖像（圖4cⅡ）中噪聲得到一定抑制，圖像質量整體得到提升。

當γ=200時，所得的六孔徑光瞳結構更集中，其MTF的截止頻率（圖4bⅢ）與γ=0時（圖4bⅠ）相比有所下降，導致所得的復原圖像分辨率也隨之降低，但是，由于該光瞳結構在中低頻有更多的頻譜信息，圖4cⅢ的圖像質量要明顯好于圖4cⅠ，通過觀察局部放大圖中箭頭所指處的掃描線可發現，圖4dⅢ中前4 組三桿靶的對比度要明顯大于圖4dⅠ，說明其復原圖像有更高的對比度，更有利于人眼分辨。

利用3種圖像質量評價模型分別對以上光瞳結構的復原圖像進行評價，結果見表3。

表3 優化的六孔徑光瞳結構的復原圖像質量Tab.3 Restored image quality of the optimized six-pupil structure

由表可知，隨著γ的增大，復原圖像的質量也隨之提升，特別地，與γ=0時相比，γ=200時的E值下降了6.75%，PSNR值提升了8.46%，SSIM值提升了30.84%。

對比表2和表3 可知，在γ=200時，優化得到的六孔徑光瞳結構的復原圖像與環型、三臂型和

Golay-6型相比，其E值分別下降了9.02%，1.86%，5.76%；PSNR值分別提升了23.32%，0.89%，5.96%；SSIM值分別提升了52.29%，8.94%，25.51%，這說明，當γ=200時，優化得到的光瞳結構其成像性能，優于典型六孔徑光瞳結構。

在相同條件下，利用該方法對九孔徑光瞳結構進行優化，驗證該方法的通用性，結果如圖5所示。

圖5 九孔徑光瞳排布Fig.5 Optimized nine-aperture pupil structure

由于九孔徑光瞳結構中子孔徑數量的增加和半徑的減小，其排布方式更為靈活，隨著權重因子的增大，九孔徑光瞳結構中部分子孔徑向中心聚合（圖5aⅢ），使系統在中低頻可獲得更多頻譜信息，有利于系統在保持較高分辨能力的同時，擁有較好的復原圖像質量。

表4 優化得到的九孔徑光瞳結構的復原圖像質量Tab.4 Restored image quality of the optimized nine-pupil structure

對比表3和表4 可知，當填充因子相同時，在相同權重因子下優化得到的九孔徑光瞳結構的復原圖像質量，與六孔徑基本相同，仿真結果表明，該方法同樣適用于九孔徑光瞳結構的優化。

6 結語

通過對3種典型六孔徑光瞳結構的復原圖像質量和頻譜分布特性進行對比分析和研究，發現復原圖像質量較好的光瞳結構在中低頻有更多的頻譜信息，基于此，提出了一種基于圖像質量評價因子與頻譜分布特性因子加權的光瞳優化方法，其可在滿足頻譜分布特性的同時獲得更好的復原圖像質量，仿真結果表明，采用合適的權重因子優化得到的光瞳結構可獲得更好的復原圖像質量，從而可以更好地滿足實際應用。