基于變增益模糊PID控制的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤

趙會(huì)超，師五喜

（天津工業(yè)大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，天津300387）

輪式移動(dòng)機(jī)器人是一種典型的非完整性系統(tǒng)，具有廣泛的應(yīng)用前景，機(jī)器人領(lǐng)域的變化趨勢由在生產(chǎn)線固定的機(jī)械手向能做更復(fù)雜任務(wù)的自主移動(dòng)機(jī)器人過渡，比如救援、軍事行動(dòng)以及日常生活服務(wù)等，移動(dòng)機(jī)器人控制的一個(gè)主要問題是軌跡跟蹤控制，然而描述軌跡跟蹤的跟蹤誤差系統(tǒng)往往是一個(gè)耦合非線性系統(tǒng)，使得該問題的解決變得復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中，需要充分考慮移動(dòng)機(jī)器人的模型不確定性等問題，目前移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤的方法主要有智能控制方法[1-3]、反步控制方法[4-5]、滑模控制方法[6-10]、自適應(yīng)控制方法[11-14]等。文獻(xiàn)[1]采用了基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法，保證機(jī)器人對參考軌跡的實(shí)際跟蹤，文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上提出了一種運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器與自適應(yīng)動(dòng)態(tài)遞歸模糊神經(jīng)滑模控制器相結(jié)合的控制結(jié)構(gòu)，使不確定性估計(jì)誤差有效減小，但以上控制器的設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，在實(shí)際應(yīng)用中不宜實(shí)現(xiàn)，文獻(xiàn)[4]提出一種基于擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)姆囱菘刂品椒ǎ行б种屏嗽谕獠繑_動(dòng)下輪式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤容易出現(xiàn)速度跳變的問題，文獻(xiàn)[9]提出一種基于滑模控制的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制方法，然而滑模控制中由于慣性、滯后等因素，不可避免地存在抖振現(xiàn)象，文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[9]基礎(chǔ)上引入新型加權(quán)增益趨近律，在積分項(xiàng)中引入負(fù)的加權(quán)值，減少滑模控制固有的抖振問題，但改進(jìn)的滑模控制方法影響了系統(tǒng)的魯棒性且無法完全解決抖振問題，文獻(xiàn)[12]針對縱向滑動(dòng)參數(shù)未知的輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題，提出一種自適應(yīng)跟蹤控制策略，利用兩個(gè)未知參數(shù)來描述移動(dòng)機(jī)器人左右輪的縱向打滑程度，建立了產(chǎn)生縱向滑動(dòng)的差分驅(qū)動(dòng)輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，文獻(xiàn)[13]針對機(jī)器人軌跡跟蹤控制品質(zhì)受到參數(shù)不確定性影響的問題，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)非光滑控制，但該方法不適用于傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和設(shè)計(jì)工具，文獻(xiàn)[15]基于動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了模糊PD控制器，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人跟蹤控制，文獻(xiàn)[16]在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，將模糊PI控制器和模糊ID控制器結(jié)合，提高了控制精度，但文獻(xiàn)[16]提出的二維PID模糊控制器的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，模糊控制方法實(shí)時(shí)性不高。

本文提出了一種變增益的模糊PID控制方法，將常規(guī)PID分為PI和PD的組合，控制器的輸出可以轉(zhuǎn)化為誤差和誤差變化率的和，然后設(shè)計(jì)模糊控制器的增益，該增益根據(jù)誤差的變化自適應(yīng)調(diào)節(jié)，最終實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤，本文方法優(yōu)化了控制器的輸出，結(jié)構(gòu)簡單，控制精度高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

1.1 移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文研究的機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中OXY為全局平面坐標(biāo)系，表示移動(dòng)機(jī)器人在空間平面的位置，OcXcYc為機(jī)器人局部坐標(biāo)系，Oc表示機(jī)器人的幾何中心，v為機(jī)器人前進(jìn)線速度，方向垂直于機(jī)器人輪軸，w為機(jī)器人角速度，θ為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向與X軸夾角，P表示機(jī)器人質(zhì)心位置，圖中2b表示機(jī)器人兩車輪之間的距離，2r為車輪直徑，Oc與p之間的距離記為d。

圖1 輪式移動(dòng)機(jī)器人模型Fig.1 Wheeled mobile robot model

假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人在理想條件下運(yùn)動(dòng)，即滿足機(jī)器人純滾動(dòng)無滑動(dòng)條件時(shí)，移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足公式：

引入機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型控制量z，將移動(dòng)機(jī)器人模型表示如下[17]：

式中：（x，y，θ）為移動(dòng)機(jī)器人實(shí)際位姿。

1.2 移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型

移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型表示為[18-19]

式中：m為機(jī)器人的質(zhì)量；I為機(jī)器人的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型控制輸入為機(jī)器人驅(qū)動(dòng)輪力矩狀態(tài)向量

2 移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

本文先基于移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，設(shè)計(jì)輔助運(yùn)動(dòng)控制律，然后將移動(dòng)機(jī)器人的線速度和角速度的輔助速度作為輸入，基于動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)模糊PID控制算法，使移動(dòng)機(jī)器人的實(shí)際速度漸近收斂到輔助速度，最終實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤。

2.1 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)

假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人參考軌跡如下：

式中：vr為移動(dòng)機(jī)器人期望線速度；wr為期望角速度；（xr，yr，θr）為移動(dòng)機(jī)器人期望位姿。

定義軌跡誤差為

對式（6）求導(dǎo)可得：

設(shè)計(jì)如下的輔助運(yùn)動(dòng)學(xué)控制律[20]：

式中：vc為移動(dòng)機(jī)器人輔助線速度；wc為輔助角速度；k1、k2、k3為輔助運(yùn)動(dòng)控制律參數(shù)，且k1、k2、k3>0。在輔助運(yùn)動(dòng)控制律作用下，移動(dòng)機(jī)器人的輔助速度漸近收斂到期望速度

2.2 模糊PID控制器設(shè)計(jì)

式中：zc和z分別是移動(dòng)機(jī)器人的輔助速度和實(shí)際速度，令線速度的誤差ve=e1（t），角速度的誤差we=e2（t），分別對ei（t）（i=1，2）設(shè)計(jì)PID控制算法。常規(guī)PID的控制規(guī)律為

本文將常規(guī)PID中的比例環(huán)節(jié)分為兩部分，分別與積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)結(jié)合，這樣將常規(guī)PID控制變?yōu)镻I控制與PD控制的組合：

①PI控制器的輸出為

式中：ei（t）=ri（t）-yi（t）為誤差信號；uiPI（t）為控制器的輸出；KP1和KI為比例系數(shù)和積分系數(shù)。

將上式轉(zhuǎn)換為速度形式為：

在頻域中轉(zhuǎn)化，并利用后向差分法代入，當(dāng)T>0時(shí)，利用z 反變換得到：

令KP1=GP1，KI=GI，式（14）等價(jià)于：

由式（15）設(shè)計(jì)PI控制器，輸入變量是誤差ei（kT）和誤差變化率eci（kT），輸出變量為控制量uiPI；PI控制器的輸出由下式給出：

②PD控制器的輸出為

式中：ei（t）=ri（t）-yi（t）是誤差信號；uiPD（t）是控制器的輸出；KP2和KD分別是比例系數(shù)和微分系數(shù)。

式（17）在頻域中轉(zhuǎn)換，并利用后向差分法代入，當(dāng)T>0時(shí)，利用z 反變換得到：

令KP2=GP2，KD=GD，式（18）等價(jià)于

結(jié)合式（16）和式（19），式（11）轉(zhuǎn)化為

令K1=GI+GP2，K2=GD+GP1，代入式（20）可得PID控制器的總輸出為

由式（21）設(shè)計(jì)模糊PID控制算法。

2.3 模糊化和模糊控制規(guī)則

2.3.1 輸入變量及其模糊化

模糊控制器的輸入變量為誤差ei（kT）和誤差變化率eci（kT），量化后的論域取為[-L，L]，輸入變量在其相應(yīng)的論域上定義為參考模糊集：負(fù)（N）、正（P），相應(yīng)的隸屬度函數(shù)如圖2所示。

圖2 輸入的隸屬度函數(shù)Fig.2 Input membership functions

2.3.2 輸出變量及其模糊化

模糊控制器的輸出變量是Δu1，輸出變量在其相應(yīng)的論域上定義為3個(gè)參考模糊集，分別是負(fù)（N）、零（Z）、正（P），-L，0，L分別是其各自隸屬度函數(shù)的中心值，相應(yīng)的隸屬度函數(shù)如圖3所示。

輸出的隸屬度函數(shù)表達(dá)式為

輸出u1的表達(dá)式為

式中：Gu1是輸出變量Δu1的量化因子。

2.3.3 模糊控制規(guī)則

由模糊控制器的結(jié)構(gòu)，指定的輸入是K1ei（kT）和K2eci（kT），輸出量是Δu1，基于模糊化中描述的輸入和輸出隸屬度數(shù)，模糊控制器的模糊控制規(guī)則的數(shù)量為4，控制規(guī)則如下：

R1：if K1ei（kT）is N AND K2eci（kT）is N THEN Δu1is N

R2：if K1ei（kT）is N AND K2eci（kT）is P THEN Δu1is Z

R3：if K1ei（kT）is P AND K2eci（kT）is N THEN Δu1is Z

R4：if K1ei（kT）is P AND K2eci（kT）is P THEN Δu1is P

2.3.4 精確化計(jì)算

“重心法”用于計(jì)算模糊PID的控制作用，模糊控制器基于當(dāng)前的精確化輸出如下：

式中：μr是控制規(guī)則中的隸屬度值；Δu是輸出，根據(jù)模糊推理方法可求出個(gè)區(qū)域相應(yīng)的激活度，模糊控制器的輸入組合（IC）值的區(qū)域如圖4所示。

圖4 模糊PID分量輸入組合的區(qū)域Fig.4 Fuzzy PID component input combination area

模糊控制器的區(qū)域可以分解為12個(gè)不同的區(qū)域（IC）。Δu的結(jié)果是在每個(gè)隸屬度區(qū)域應(yīng)用解模糊算法獲得，將隸屬度數(shù)值帶入，整理得到：

綜上，由輔助運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器和基于動(dòng)力學(xué)模型的模糊PID控制器，可得系統(tǒng)控制器總框圖如圖5所示。

圖5 機(jī)器人閉環(huán)控制系統(tǒng)總框圖Fig.5 Total block diagram of the robot closed-loop control system

3 實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證控制方法的有效性，在平臺(tái)Qbot2 上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖鞘挂苿?dòng)機(jī)器人跟蹤給定的參考軌跡，參考軌跡為一個(gè)半徑1 m的圓形：xr=sint，yr=-cos t，θ=t，實(shí)驗(yàn)環(huán)境包括：1臺(tái)Qbot2機(jī)器人，6個(gè)OptiTrack 攝像頭，1臺(tái)PC主機(jī)，PC機(jī)是系統(tǒng)的控制中心，安裝有實(shí)驗(yàn)所需的控制軟件與攝像機(jī)跟蹤處理軟件，PC機(jī)控制軟件集成了Matlab/Simulink模塊和無線通信模塊。PC機(jī)與Qbot2 通過無線模塊進(jìn)行通信，PC機(jī)和OptiTrack定位系統(tǒng)通過USB2.0連接，OptiTrack定位系統(tǒng)實(shí)時(shí)跟蹤Qbot2位置信息并在PC機(jī)上顯示。

移動(dòng)機(jī)器人在平面上的運(yùn)行軌跡如圖6所示。

圖6 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡圖Fig.6 Mobile robot motion trajectory

移動(dòng)機(jī)器人速度曲線如圖7所示。

圖7 移動(dòng)機(jī)器人線速度和角速度曲線Fig.7 Mobile robot linear velocity and angular velocity curve

移動(dòng)機(jī)器人誤差曲線如圖8所示。

4 結(jié)語

圖8 模糊PID 誤差曲線圖Fig.8 Fuzzy PID error graph

本文針對移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤問題，提出了一種基于變增益的模糊PID控制方法，首先分析了移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而建立了軌跡跟蹤控制系統(tǒng)模型，然后設(shè)計(jì)了結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)算較快的模糊PID控制器，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，系統(tǒng)的響應(yīng)速度快、調(diào)節(jié)精度提高，穩(wěn)態(tài)性能好，這是傳統(tǒng)的PID控制難以實(shí)現(xiàn)的，能較明顯地提高控制效果，發(fā)揮了傳統(tǒng)控制與模糊控制的長處，具有較強(qiáng)的實(shí)際意義。