高中數(shù)學(xué)教學(xué)中公式教學(xué)的策略探討

曹亞東

(江蘇省海門中學(xué) 226100)

一、公式教學(xué)——在實際情境中發(fā)展直觀想象

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，直觀想象是學(xué)生通過空間形式解決問題的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng)，簡單來說就是通過幾何直觀與空間想象來對事物的形態(tài)和變化進行感知，是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題以及解決問題的重要手段，將其應(yīng)用于公式教學(xué)中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的論證思維和推理思維.例如，在人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》中，教師可以利用學(xué)生比較熟悉的摩天輪來展開相關(guān)教學(xué)活動，展示相關(guān)圖形，讓學(xué)生發(fā)散思維，分組討論和思考摩天輪的點與地面距離應(yīng)當(dāng)如何進行表示.學(xué)生利用圖形的特點建立起直角坐標(biāo)系，同時對摩天輪上的點到地面的距離利用三角函數(shù)的定義來列舉公式，即h=9+8sinα.這種從實際出發(fā)來創(chuàng)設(shè)情境的教學(xué)，不僅能夠有效地激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時也能夠幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)公式來表達問題，從而使學(xué)生能夠更為深入地了解到三角函數(shù)的知識點，并且使其懂得利用知識點來刻畫相關(guān)周期現(xiàn)象.

教師可以進一步地提出問題進行引導(dǎo)，比如：“在這個公式中，如果角α等于150°，那么應(yīng)當(dāng)如何計算點P到地面的距離？”學(xué)生通過對圖形進行觀察，能夠發(fā)現(xiàn)角150°與角30°的終邊關(guān)于y軸對稱，也就是說150°與角30°的終邊與單位圓的交點縱坐標(biāo)相等，因此兩個角的正弦是相等的.有了這個基礎(chǔ)，學(xué)生便能夠很輕松地算出點P到地面的距離.教師在對學(xué)生進行引導(dǎo)時，應(yīng)當(dāng)側(cè)重于圖形的觀察，讓學(xué)生能夠察覺到單位圓交點與互補角的終邊是位于同一水平線，地面與兩點之間的距離相等，最終得出結(jié)論，即其正弦值相等，這種教學(xué)方法能夠牢牢抓住誘導(dǎo)公式這一教學(xué)本質(zhì)，通過教學(xué)模型來得出結(jié)論能夠使得學(xué)生更為直觀地了解公式，進而促使學(xué)生更為靈活地應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.

二、公式教學(xué)——在公式應(yīng)用中發(fā)展運算能力

數(shù)學(xué)運算能力是通過運算法則來解決數(shù)學(xué)問題的能力，其前提條件便是能夠?qū)\算對象有著明晰的認識，這也是高中數(shù)學(xué)里，學(xué)生必須要掌握的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其主要內(nèi)容包括對運算對象的深入理解、運算法則的掌握程度、運算思路的清晰明確、運算方法的合理選擇、運算程序的科學(xué)設(shè)計以及運算結(jié)果的正確求得等，是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)所在.以人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》為例，“當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α分別等于-240°和495°時，摩天輪上的點P到地面的距離為多少？”在對該問題進行計算時，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將誘導(dǎo)公式運用其中，使得負角誘使為正角，大角誘使為小角，同時將未知角轉(zhuǎn)化為已知角，通過誘導(dǎo)公式來解決問題.總結(jié)概括起來便是“負化正，大化小，化到銳角為終了”.在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了運算對象的分析、運算方向的推斷、運算規(guī)則的選擇、運算結(jié)果的計算與判斷等.這種公式教學(xué)能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，使其能夠經(jīng)歷“具體——抽象——具體”這一過程，使其能夠有效地構(gòu)建其新的知識體系.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，所有的教學(xué)過程都可以概括為從具體到抽象再到具體，在“具體——抽象”中，是學(xué)生汲取新知識與構(gòu)建知識體系的過程，而在“抽象——具體”中，是學(xué)生通過已學(xué)知識和已知方法來解決相關(guān)問題的過程.而這個過程在進行時，會使學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)運算法則，使其能夠具體地運用公式來解決相對應(yīng)的問題.通過誘導(dǎo)公式來總結(jié)步驟與方法，有利于加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟，對學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的發(fā)展有著積極作用.

三、公式教學(xué)——在公式探究中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象

通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象來獲取數(shù)學(xué)研究對象，這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)便是數(shù)學(xué)抽象，該素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生形成理性事物的基礎(chǔ)所在，同時也能夠反映出數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，而公式教學(xué)則是能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象.依舊以人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》為例，在學(xué)生得出相關(guān)公式后，教師可以繼續(xù)提出相關(guān)問題：“終邊關(guān)于y軸對稱的角的正弦是否都相等？為什么？除了正弦相等，余弦與正切之間又存在什么關(guān)系？”教師同樣分組讓學(xué)生進行小組內(nèi)的探究討論，學(xué)生在對圖形特點進行仔細觀察后，通過小組之間的合作交流與數(shù)形結(jié)合的方法，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式2，之后讓小組派出代表來對誘導(dǎo)公式所經(jīng)歷的思維過程進行概括，教師做出總結(jié)，最終得出誘導(dǎo)公式的思維過程，即角的關(guān)系到對稱關(guān)系再到坐標(biāo)關(guān)系，最后到函數(shù)關(guān)系.這種方法能夠幫助學(xué)生了解如何去學(xué)數(shù)學(xué)，同時有助于培養(yǎng)學(xué)生及時反思與總結(jié)的良好習(xí)慣.

繼而教師可以利用對稱關(guān)系入手，來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會縱向思考：“兩角終邊處理縱軸對稱之外，是否還存在其它對稱關(guān)系？其類似的公式又是什么？”學(xué)生通過對原點對稱和橫軸對稱的角的三角函數(shù)關(guān)系探究，能夠得出誘導(dǎo)公式3和誘導(dǎo)公式4.這樣的教學(xué)方法能夠?qū)⒔虒W(xué)重點突顯出來，有利于促進學(xué)生的自主探究的能力，通過圖形的觀察到公式的猜想再到推理的證明，能夠使學(xué)生的感性認知轉(zhuǎn)變?yōu)槔硇哉J知，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升.

四、公式教學(xué)——在公式變形中升華知識體系

通過上述過程后，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)公式有著一定的認識，但難以將其靈活運用，無法做到舉一反三，而公式的應(yīng)用于呈現(xiàn)方式是靈活多變的，這就需要教師通過公式變形來強化學(xué)生的知識體系.例如，在人教版高中數(shù)學(xué)教材《三角函數(shù)》中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)對象來替代公式中的元素和符合，在傳授三角函數(shù)的二倍角公式“sin2α=2sinαcosα”時，教師需得讓學(xué)生真正了解到二倍角公式的形式不單單只是“2α是α的二倍”，同時還可以在其它形式中應(yīng)用二倍角公式，包括“α/2是α/4的二倍”；“α/3是α/6的二倍”；“4α是2α的二倍”；“3α是3α/2的二倍”等.

因此，在進行公式教學(xué)時，教師需要讓學(xué)生理解公式的相關(guān)含義，在二倍角公式中，其含義便是“當(dāng)α/β=2時，α便是β的二倍角，只有問題中的關(guān)系符合二倍角，則都可以將二倍角公式應(yīng)用其中”.除此之外，三角函數(shù)的二倍角公式“cos2α=cos2α-sin2α”能夠轉(zhuǎn)變?yōu)椤癱os2α=1-2sin2α”或者“cos2α=2sin2α-1”.將這些公式靈活應(yīng)用到實際解題當(dāng)中，能夠幫助學(xué)生更快地解題，有益于學(xué)生實現(xiàn)事半功倍的學(xué)習(xí)效率.教師通過公式的變形、公式的逆用或者遷移訓(xùn)練，能夠使學(xué)生內(nèi)化對數(shù)學(xué)公式的理解程度，通過這種舉一反三的教學(xué)形式，有利于學(xué)生公式的靈活應(yīng)用，使其知識結(jié)構(gòu)與體系德育升華.

簡而言之，在高中數(shù)學(xué)中，公式教學(xué)的應(yīng)用是否有效，對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思維與能力有著非常大的影響，學(xué)生只有真正掌握了數(shù)學(xué)公式，才能夠?qū)λ鶎W(xué)知識的本質(zhì)有一個清晰的認知.因此，在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)公式教學(xué)為載體來提高學(xué)生的解題質(zhì)量與效率，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展.