7N01鋁合金Johnson?Cook模型參數(shù)的反算方法

呂思雨 鐘睦 葛凱

（1.軌道交通安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙 410075；2.軌道交通安全關(guān)鍵技術(shù)國際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙 410075；3.軌道交通列車安全保障技術(shù)國家地方聯(lián)合工程研究中心，湖南長(zhǎng)沙 410075；4.中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司鐵道建筑研究所，北京 100081）

7N01 鋁合金屬于Al-Zn-Mn 系鋁合金，具有較高的強(qiáng)度以及良好的焊接性、擠壓成形性和耐腐蝕性，被廣泛應(yīng)用于動(dòng)車組車體的生產(chǎn)制造［1］。為了研究動(dòng)車組鋁合金車體在碰撞等過程中的塑性變形行為，通常采用Johnson-Cook 模型描述鋁合金的塑性本構(gòu)關(guān)系，并運(yùn)用有限元方法進(jìn)行仿真分析。因此，確定合理的鋁合金Johnson-Cook 模型參數(shù)對(duì)有限元仿真結(jié)果的可靠性有著重要的作用。

通常根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)反算材料塑性本構(gòu)模型參數(shù)，反算的方法主要有2類：①曲線擬合方法，即對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合。如柳愛群等［2］對(duì)SS2196 不銹鋼進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)單軸拉伸和單軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)，采用最優(yōu)化算法擬合曲線獲取材料的Johnson-Cook 模型參數(shù)；楊揚(yáng)等［3］對(duì)TC16 鈦合金進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗(yàn)和Hopkinson壓桿動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)曲線采用數(shù)據(jù)擬合方法得到材料的Johnson-Cook 模型參數(shù)。曲線擬合方法計(jì)算量小，但擬合結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果差異較大。②有限元仿真優(yōu)化方法，即基于有限元仿真分析對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使仿真結(jié)果逼近試驗(yàn)數(shù)據(jù)。如董菲等［4］對(duì)410 不銹鋼進(jìn)行剪切試驗(yàn)，采用有限元仿真分析，利用Matlab 非線性最小二乘法優(yōu)化程序反算Johnson-Cook 材料模型參數(shù)；鄭華林等［5］參考 Ti6A14V 鈦合金切削試驗(yàn)結(jié)果，利用有限元分析并采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，求取Johnson-Cook 模型參數(shù)。有限元仿真優(yōu)化方法效果較好，但需要多次迭代求解，計(jì)算量較大。

本文對(duì)動(dòng)車組用A7N01S-T5 鋁合金進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗(yàn)，采用曲線擬合和有限元仿真優(yōu)化相結(jié)合的方法反算材料的Johnson-Cook 模型參數(shù)，即先采用曲線擬合方法確定模型的初始參數(shù)，然后在初始參數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行有限元仿真優(yōu)化。

1 Johnson?Cook本構(gòu)方程

本構(gòu)方程是用于描述材料變形規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。Johnson-Cook 本構(gòu)方程主要應(yīng)用于大應(yīng)變、高應(yīng)變速度、高溫變形的材料，適用于大多數(shù)金屬材料從準(zhǔn)靜態(tài)變形到高速變形的仿真［6-11］。Johnson-Cook 模型的本構(gòu)方程為

式中：σ為 Von-Mises 等效流變應(yīng)力；A為材料初始屈服強(qiáng)度；B為加工硬化模量；εp為等效塑性應(yīng)變；n為硬化指數(shù)；c為應(yīng)變速率常數(shù)；ε為等效塑性應(yīng)變率；ε0為應(yīng)變速率參考值；m為熱軟化常數(shù)；T0為參考溫度；Tm為材料的熔點(diǎn)溫度；T為試驗(yàn)溫度。

式（1）右邊3項(xiàng)分別代表塑性應(yīng)變、應(yīng)變率和溫度對(duì)流變應(yīng)力的影響。本文不考慮應(yīng)變率和溫度的影響，則方程簡(jiǎn)化為

因此，根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗(yàn)結(jié)果可反算得到材料參數(shù)A，B和n。

2 7N01鋁合金拉伸試驗(yàn)

對(duì)動(dòng)車組用A7N01S-T5 鋁合金試件用萬能材料力學(xué)性能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行低應(yīng)變率單向拉伸試驗(yàn)，獲取其在準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系曲線。

2.1 拉伸試樣

拉伸試樣按照GB 228—2002《金屬室溫拉伸試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)》制備。試樣原始標(biāo)距L0=62 mm，平行長(zhǎng)度Lc=80 mm，拉伸試樣尺寸如圖1所示。本文采用3組試樣進(jìn)行拉伸試驗(yàn)。

圖1 拉伸試樣尺寸（單位：mm）

2.2 試驗(yàn)裝置與加載方法

拉伸試驗(yàn)在MTS 647 Hydraulic Wedge Grip 萬能材料試驗(yàn)機(jī)（圖2）上進(jìn)行。金屬材料在彈性階段應(yīng)力隨應(yīng)變呈線性變化，因此試驗(yàn)初始階段采用15 kN/min的恒定荷載增量加載以縮短加載時(shí)間；當(dāng)進(jìn)入初始塑性后，采用速度為15 mm/min 的恒定位移增量加載。試驗(yàn)時(shí)環(huán)境溫度為23 ℃。

圖2 MTS 647萬能材料試驗(yàn)機(jī)

2.3 試驗(yàn)結(jié)果

對(duì)動(dòng)車組用7N01 鋁合金試件進(jìn)行了3 次拉伸試驗(yàn)，得到應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3所示。

由圖3可知，試驗(yàn)數(shù)據(jù)重復(fù)性良好。取3組試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線數(shù)據(jù)的平均值進(jìn)行擬合，得到A7N01S-T5鋁合金的彈性模量71.9 GPa，屈服強(qiáng)度367 MPa，抗拉強(qiáng)度422 MPa。

圖3 鋁合金準(zhǔn)靜態(tài)拉伸試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線

3 鋁合金拉伸試驗(yàn)有限元仿真

對(duì)拉伸試樣采用HyperMesh軟件建立有限元模型（圖4），采用RADISOSS 求解器進(jìn)行顯式動(dòng)態(tài)分析，求取仿真試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。利用對(duì)稱性選取試件的1/4 建立二維模型，采用殼單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，單元數(shù)量為800。在模型對(duì)稱面上施加對(duì)稱約束，在夾持部位施加拉伸載荷，加載速度為15 mm/min。節(jié)點(diǎn)node 1距對(duì)稱截面62 mm，用于輸出拉伸位移的時(shí)間歷程；截面section 1 為對(duì)稱截面，用于輸出拉伸力的時(shí)間歷程。

圖4 拉伸試件有限元模型

4 材料參數(shù)反算優(yōu)化

采用曲線擬合和有限元仿真優(yōu)化相結(jié)合的方法反算鋁合金材料的Johnson-Cook 模型參數(shù)。首先采用曲線擬合方法確定模型的初始參數(shù)并代入有限元模型，然后借助HyperStudy 軟件實(shí)現(xiàn)與有限元模型及求解器的數(shù)據(jù)傳遞與過程集成，依據(jù)初始參數(shù)設(shè)置搜索區(qū)間，采用優(yōu)化算法對(duì)材料參數(shù)進(jìn)行迭代求解。

HyperStudy 是一個(gè)系統(tǒng)研究和優(yōu)化工具，可無縫集成各種CAE（Computer Aided Engineering）求解器進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)優(yōu)化和可靠性研究。本文利用HyperStudy 讀取有限元模型，調(diào)用RADIOSS 求解，讀取仿真結(jié)果，從而判斷結(jié)果是否收斂。若不收斂，則采用優(yōu)化算法求取新的材料參數(shù)，并自動(dòng)更新有限元模型進(jìn)行再次求解。重復(fù)這個(gè)過程，直至收斂得到最優(yōu)解。材料模型參數(shù)反算流程如圖5所示。

4.1 曲線擬合法反算材料參數(shù)

圖5 材料模型參數(shù)反算流程

參數(shù)A可從拉伸試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線中直接得出，其值為366.8 MPa。參數(shù)B和n采用Origin 軟件對(duì)拉伸試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行非線性曲線擬合，使擬合曲線與試驗(yàn)曲線偏差最小。擬合迭代過程中使用Levenberg-Marquardt 算法調(diào)整材料參數(shù)以達(dá)到最優(yōu)。最終得到B=550.3 MPa，n=0.727。將擬合得到的Johnson-Cook 模型參數(shù)代入有限元模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得到仿真應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖6 所示。可知：有限元仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果有較大差異，應(yīng)力最大誤差達(dá)6.9%。說明采用曲線擬合方法反算材料參數(shù)，效果不夠理想。

圖6 仿真應(yīng)力-應(yīng)變曲線

4.2 有限元仿真優(yōu)化反算材料參數(shù)

為了實(shí)現(xiàn)有限元仿真優(yōu)化過程的自動(dòng)化，采用HyperStudy 軟件進(jìn)行有限元建模、求解及優(yōu)化過程的集成。設(shè)計(jì)變量為A，B，n，其初始值取曲線擬合的結(jié)果，取值區(qū)間根據(jù)初始值適當(dāng)選擇，如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)變量及其初始值、取值區(qū)間

響應(yīng)取特定應(yīng)變（采樣點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，選取了12個(gè)采樣點(diǎn)，3組試驗(yàn)中采樣點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變見表2。

根據(jù)有限元仿真與拉伸試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的方差構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)F，即

式中：N為采樣點(diǎn)數(shù)目；k為試驗(yàn)次數(shù)；σij為第j次試驗(yàn)的第i個(gè)采樣點(diǎn)應(yīng)力；為第i個(gè)采樣點(diǎn)的仿真值。

優(yōu)化目標(biāo)是使目標(biāo)函數(shù)F最小。目標(biāo)函數(shù)初始值為1 221，據(jù)此設(shè)定收斂條件為F＜300 且連續(xù)3 次迭代過程的目標(biāo)函數(shù)變化值小于30。

表2 拉伸試驗(yàn)采樣點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變

為了分析不同優(yōu)化算法的影響，本文采用遺傳算法（GA，Genetic Algorithm）和自適應(yīng)響應(yīng)面法（ARSM，Adaptive Response Surface Method）2 種算法分別進(jìn)行優(yōu)化求解。遺傳算法是一種全局優(yōu)化算法，是在進(jìn)化過程理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。遺傳算法從構(gòu)建設(shè)計(jì)的一代種群開始，通過適應(yīng)度來衡量設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，然后通過遺傳算子（通常是交叉和突變）來復(fù)制選定的設(shè)計(jì)，產(chǎn)生的個(gè)體（子代）成為下一代的成員。這個(gè)過程重復(fù)多代，直到種群進(jìn)化收斂到最優(yōu)解為止。自適應(yīng)響應(yīng)面法首先用較少的樣本構(gòu)建一個(gè)初始響應(yīng)面（線性回歸多項(xiàng)式），然后在該響應(yīng)面上找到最優(yōu)解，并用有限元仿真對(duì)這個(gè)最優(yōu)解進(jìn)行驗(yàn)證。如果響應(yīng)面和有限元仿真結(jié)果不接近，則使用新的仿真結(jié)果更新響應(yīng)面，再次尋找最佳值。重復(fù)這個(gè)過程，直到滿足收斂條件。

采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化的迭代次數(shù)為28次，目標(biāo)函數(shù)收斂值為103，反算得到的Johnson-Cook模型參數(shù)A為371.9 MPa，B為2 123 MPa，n為1.472。采用自適應(yīng)響應(yīng)面法進(jìn)行優(yōu)化的迭代次數(shù)為15次，目標(biāo)函數(shù)收斂值為215，反算得到的Johnson-Cook 模型參數(shù)A為368.3 MPa，B為1 963 MPa，n為1.236。

優(yōu)化材料參數(shù)后的仿真應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖7 所示?？梢姡z傳算法和自適應(yīng)響應(yīng)面法優(yōu)化后的仿真應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的吻合度均較高，遺傳算法得到的應(yīng)力仿真值與試驗(yàn)值最大相對(duì)誤差為0.98%，自適應(yīng)響應(yīng)面法最大相對(duì)誤差則為2.10%。遺傳算法得到的結(jié)果更好，而自適應(yīng)響應(yīng)面法需要的迭代次數(shù)更少。

圖7 優(yōu)化材料參數(shù)后的仿真應(yīng)力-應(yīng)變曲線

5 結(jié)論

1）根據(jù)7N01 鋁合金材料的準(zhǔn)靜態(tài)拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線，采用曲線擬合和有限元仿真優(yōu)化相結(jié)合的方法反算Johnson-Cook 本構(gòu)模型參數(shù)，優(yōu)化收斂速度快，有限元仿真結(jié)果與拉伸試驗(yàn)結(jié)果吻合度高。

2）采用曲線擬合方法計(jì)算量小，能迅速反算得到材料參數(shù)，然而效果較差，不宜直接用于確定材料參數(shù)，但可作為有限元優(yōu)化求解的初始參數(shù)，用于限定材料參數(shù)的求解區(qū)間，提高有限元仿真優(yōu)化的效率。

3）在曲線擬合得到的材料參數(shù)基礎(chǔ)上，基于有限元仿真分析，采用遺傳算法和自適應(yīng)響應(yīng)面方法進(jìn)行優(yōu)化，反算得到的參數(shù)結(jié)果均較好。遺傳算法得到的應(yīng)力仿真值與試驗(yàn)值相對(duì)誤差更小，而自適應(yīng)響應(yīng)面法需要的迭代次數(shù)更少。2種方法均可以用來進(jìn)行參數(shù)反算的優(yōu)化。