全柔性空間機器人運動振動一體化輸入受限重復學習控制1)

付曉東 陳力

(福州大學機械工程及自動化學院,福州 350116)

引言

空間探索進程中,為減少太空作業(yè)風險,需借助空間機器人代替宇航員完成艙外任務.空間機器人是由航天器與機械臂構成的無根多體系統(tǒng),其動力學與控制的研究受到眾多航天工作者重視[1-7].機械臂安裝于航天器桁架導軌上,在極端惡劣的太空環(huán)境中,機械臂易受到宇宙射線,太陽風等的影響,加之執(zhí)行空間任務,尤其在目標衛(wèi)星的抓捕階段,由于碰撞極易造成基座軌道安裝處振動[8-9];另外,為減少發(fā)射載重以降低發(fā)射成本,構成機械臂的各桿多選用輕質細長桿,所以工作中臂桿易發(fā)生柔性變形;而且,空間機器人關節(jié)處多采用諧波減速器以驅動桿的運動,具有輕質、大承載力與大減速比等顯著優(yōu)點,但由于其本身的結構特性,導致關節(jié)處電機的驅動轉角與被驅動桿的實際轉角不同步,相當于在電機與桿之間設置了一個力矩濾波器,引入了關節(jié)柔性[10-12].因此,空間機器人系統(tǒng)是一個剛性運動與基座、臂、關節(jié)柔性振動高度耦合的剛柔復合系統(tǒng),其各部件柔性嚴重影響機器人工作精度與性能.為減少柔性對機器人控制精度的影響,往往采用“低速,緩動”操作模式,這種模式下,柔性振動影響不突出,整個系統(tǒng)可看作剛性系統(tǒng).迄今為止,剛性模型假設下的空間機器人動力學響應分析及運動控制相對成熟[13-17].然而,由于太空環(huán)境的特殊性,對空間機器人可靠性要求非常高.面對未知的太空環(huán)境與復雜的空間任務,系統(tǒng)柔性很容易被激振,一旦基座、臂、關節(jié)某部件柔性振動被激發(fā),可能導致系統(tǒng)所有柔性部件的振動,在無阻尼的太空環(huán)境中衰減緩慢,如果不對其進行有效抑制,會使執(zhí)行器發(fā)生劇烈振動甚至失效,嚴重影響機器人工作可靠性.因此,考慮空間機器人基座、臂、關節(jié)的柔性效應并主動抑制其振動值得人們關注.

近些年,柔性空間機器人的研究取得一定進展.針對臂桿柔性,Kumar 等[18]討論了單柔性桿空間機器人的動力學模擬與控制問題;Wang 等[19]用假設模態(tài)法處理單柔性桿,討論了其動力學建模,剛性控制與柔性振動抑振問題;于瀟雁等[20]考慮兩桿均存在柔性的情況下空間機器人動力學響應分析與振動主動抑制問題.針對關節(jié)柔性,Nanos 等[21]討論了雙柔性關節(jié)空間機器人的動力學模擬與控制問題;Chu等[22]針對高精度柔性關節(jié)伺服系統(tǒng)的位置控制問題,提出了反推控制方案.針對存在兩類柔性部件系統(tǒng),謝立敏等[23]討論了單柔性桿、雙柔性關節(jié)空間機器人的動力學建模與控制問題;陳志勇等[24]討論了彈性基座、雙柔性關節(jié)空間機器人的動力學模擬與雙重振動抑振問題.

值得一提的是,上述研究僅考慮空間機器人基座、臂、關節(jié)某一類或兩類部件柔性的影響,屬于部分柔性空間機器人系統(tǒng).基座、臂、關節(jié)全柔性空間機器人系統(tǒng)是剛性運動與三重柔性振動高度耦合、高度非線性的時變系統(tǒng),其動力學模擬非常繁雜,控制器設計面臨著實現剛性軌跡跟蹤,抑制基座、臂、關節(jié)柔性振動四重功能共存的突出難點[25].這使得全柔性空間機器人動力學模擬與控制問題較難分析,相關研究鮮有報道.針對這些問題,本文提出了柔性基座、兩柔性桿、兩柔性關節(jié)空間機器人的動力學建模方法,以及系統(tǒng)剛性運動與三重柔性振動的解耦方案.

另外,考慮到太空任務復雜,搭建空間站,維護航天設備,回收失效衛(wèi)星,清理軌道垃圾等任務中周期重復工作都占有很大比重[26-28].而傳統(tǒng)的控制器,執(zhí)行周期性任務,可以實現漸進跟蹤,但對于周期重復出現的誤差,系統(tǒng)響應無法改善,導致控制精度不高.重復項的引入,能補償周期性誤差,提高控制精度[29].最近,地面機器人重復學習控制研究相對成熟,Califano 等[30]提出指數穩(wěn)定的重復學習算法,Verrelli 等[31]論證最小相位非線性系統(tǒng)的重復控制方法,Sun 等[32]提出了跟蹤誤差收斂于有限時間內的重復學習算法,Verrelli 等[33]提出不確定周期的重復控制算法.然而,作為高精度運動的有效控制策略,其在全柔性空間機器人系統(tǒng)中的應用比較少見.而且,載人航天成本高昂,機器人控制液寶貴,由于驅動能量的有限與機械構造的限制,其關節(jié)輸入力矩是有飽和值的,限制力矩輸入就變得很有必要.所以,在運動控制方面,設計了輸入受限重復學習控制算法,滿足力矩受限要求的同時,實現對周期信號的高精度追蹤.

基于上述兩方面的分析,本文提出基座、臂、關節(jié)全柔性空間機器人運動振動一體化輸入受限重復學習控制器.利用假設模態(tài)法與拉格朗日方程建立模型,采用奇異攝動法分解模型,將基座與關節(jié)的柔性等效在快變時標下分析,剛性運動與臂的柔性等效在慢變時標下討論.而為了抑制慢變子系統(tǒng)中臂的柔性振動,運用虛擬力的概念,設計能實現剛性軌跡跟蹤與臂柔性抑振的基于虛擬力的輸入受限重復學習控制器.對于快變子系統(tǒng),利用線性二次最優(yōu)控制方案同時抑制基座與關節(jié)雙重柔性振動.最后仿真分析,校驗了算法的可行性.

1 全柔性空間機器人系統(tǒng)動力學模型

1.1 系統(tǒng)動力學簡化模型

漂浮柔性基、柔性臂、柔性關節(jié)空間機器人結構模型如圖1 所示,由漂浮載體B0,近載體端的柔性桿B1,遠載體端柔性桿B2組成.OC0為載體B0的質心,OC為系統(tǒng)的總質心,Oi為連接Bi?1與Bi關節(jié)鉸的幾何中心(i=1,2).建立慣性坐標系OXY與各分體的連體坐標系Oixiyi,令xi軸的軸向單位向量為ei(i=0,1,2),柔性桿Bi主軸坐標系xi軸的徑向單位向量為O0與OC0重合.假設系統(tǒng)在OXYZ平面內做平面運動.r0與rC分別表示載體質心與系統(tǒng)總質心在慣性坐標系下的位置矢量,ri表示柔性桿Bi上任意一點相對于O的矢徑(i=1,2).qb為載體與桿B1鉸接處載體柔性變形量,q0為慣性坐標系下基座相對于Y軸的轉角,qi為桿Bi的相對轉角,qmi為關節(jié)電機轉子轉角(i=1,2).xi為柔性桿Bi主軸坐標系xi上任意軸向距離,vi(xi,t)為t時刻柔性桿Bi在xi處徑向柔性位移(i=1,2).基座無彈性變形時,OC0與O1的距離為l0,載體質量為m0,轉動慣量為J0.桿Bi初始長度為li,密度為ρi(i=1,2).電機轉子質量忽略不計,轉動慣量為Jmi.

圖1 基座、臂、關節(jié)全柔性空間機器人系統(tǒng)Fig.1 Space robot system with flexible base,flexible links and flexible joints

本文將柔性基座與柔性關節(jié)分別等效為無質量的線性伸縮彈簧和線性扭轉彈簧,假設基座與關節(jié)的柔性系數均為定值,分別用kb和kmi表示.將兩桿均等效為簡支梁,取其抗彎剛度EIi為定值,桿徑向變形表達式為其中?ij,δij分別表示桿Bi的第j階模態(tài)函數與模態(tài)坐標,?ij(xi)=sin[(jπ/li)xi],i,j=1,2,n為保留模態(tài)數,本文取n=2.經計算,桿Bi的等效剛度系數為

1.2 系統(tǒng)動力學建模

根據系統(tǒng)在慣性坐標系中的位置關系得

其中,x0,y0為載體質心坐標.

系統(tǒng)總質量為

根據質心定理,得

由式(1)～式(3)得,各分體矢徑表達式

式中,Γ00～Γ26為慣性參數組合函數.

本文全柔性空間機器人系統(tǒng)的動能主要考慮基座、兩桿及兩電機轉子的動能,設系統(tǒng)初始動量為0,即對式(4)求導,得系統(tǒng)各分體動能為

其中,Tr0表示基座的動能,Tri表示桿Bi的動能,Tmi表示關節(jié)鉸Oi處電機轉子的動能(i=1,2).

系統(tǒng)總動能為

忽略重力,全柔性空間機器人系統(tǒng)的勢能主要由基座、桿及關節(jié)的振動引起,各部分勢能如下

其中,Vb表示柔性基座的勢能,Vai表示桿Bi的勢能,Vmi表示Oi處柔性關節(jié)的勢能(i=1,2).

系統(tǒng)總勢能為

令L=T-V為拉格朗日函數,將式(6)、式(8)代入拉格朗日方程,得載體姿態(tài)受控全柔性空間機器人動力學模型為

為便于后文分析,式(9)重新寫為

2 全柔性空間機器人模型分解及其特性

基座、臂、關節(jié)全柔性空間機器人運動振動主動控制問題中,突出難點在于存在三重柔性,主動抑制其中一類柔性會造成另一類的激振,控制難度大.為解決上述問題,利用奇異攝動法,將系統(tǒng)柔性等效在不同時標下考慮.

2.1 模型奇異攝動分解

設計帶關節(jié)柔性補償的總控制器為

式中,I∈R2×2為單位矩陣,Kc∈R2×2為對稱正定柔性補償矩陣,τn∈R2×1為待設計的控制器,表達式為

式中,τns∈R2×1為慢變子系統(tǒng)控制器,τnf∈R2×1為快變子系統(tǒng)控制器.

將式(13)代入式(11),有

為方便后文計算,式(10)重新寫為

式中,Dbb,Hbb∈R1×1,Dba,Hba∈R1×7,Dab,Hab∈R7×1,Daa,Haa∈R7×7.

定義

令qojδ為慢變子變量,qb和σ 為快變子變量,μ=1/min(kb,km1,km2)為奇異攝動因子.kbf=μkb,Kmf=μKm,qbf=qb/μ,σf=σ/μ.將式(17)代入式(16)進行慢、快變子系統(tǒng)剛柔性解耦,再將kbf,qbf,Kmf,σf表達式與μ=0,τnf=0 分別代入式(15)與解耦結果式得

已知存在如下關系式

將式(18)、式(19)代入式(20),再將式(21)代入結果式,得慢變子系統(tǒng)動力學方程

為便于基于虛擬力概念的控制器設計,式(22)重新寫為

其中,R11,S11∈R3×3,R12,S12∈R3×4,R21,S21∈R4×3,R22,S22∈R4×4.

式(23)剛柔性分解得

將式(25)代入式(24)得剛性系統(tǒng)動力學模型

將qf3與式(14)、式(18)代入式(15)得

qf在快變時標下求微分,并代入式(27)、式(28)得快變子系統(tǒng)動力學方程

2.2 動力學模型特性

注意到式(26)是全驅動的動力學模型,形式與剛性機械臂相似,具有如下結構特性[34-35]:

特性1慣性矩陣M(x)對稱正定有界,即

其中,λm(·)和λM(·)分別表示矩陣的最小和最大特征值,‖·‖表示二范數.

特性2科氏力、離心力矩陣C(x,y)∈R3×3滿足

式中,Cm,CM是已知正常數.

特性3為交錯矩陣,滿足

特性4存在正常數kM,kC1,kC2對于任意矢量x,y,z,x1,y1,x2,y2∈R3×1滿足關系式

其中,kM,kC1,kC2的取值參考文獻[34],tanh(·)如式(43)所定義.

特性5 κ(x,y)滿足關系式

其中,kC3,kC4的取值參考Kelly 等[34].

3 控制器設計

3.1 慢變子系統(tǒng)輸入受限重復學習控制器設計

連續(xù)可微周期期望軌跡qd(t)滿足條件

其中,T為已知周期,VM,AM為期望速度與加速度范數的上界.

結合式(26),機器人期望輸入力矩τd為

其中,τd(t)是以T為周期的周期函數,用傅里葉級數展開為

式中,ω=2π/T為角頻率為未知常矢量.

結合式(30)、式(32)、式(36)、式(37)、式(39)與式(40)得,τd(t)是有界函數,滿足

其中,τd,i(t)表示τd(t)的第i個元素,γ=是已知的正常數矢量.

定義矢量sgn(·)∈R3×1,tanh(·)∈R3×1,sat(·)∈R3×1 為

其中η∈R3×1,令輸出誤差e,為

引入滑模變量s∈R3×1為

設計有限維輸入受限重復學習控制器為

其中,K0,K1,K2,Q0和Qk(k=1,2,···,N)是3×3的常正定對角矩陣,N為諧振子數量.為重復學習控制器(repetitive learning controller,RC),sat(·)為重復項飽和函數,其元素為

考慮雙曲正切函數,符號函數,飽和函數的性質,由式(46)得輸入力矩滿足關系式

其中,τoj,i表示τoj的第i個元素,k0,i,k1,i,k2,i分別為K0,K1,K2對角線上第i個元素.假設τoj,i,max為空間機器人基座或關節(jié)最大控制力矩,合理選擇控制器參數,可使系統(tǒng)滿足輸入受限條件,即k0,i+k1,i+k2,i+γiτoj,i,max.

現求閉環(huán)系統(tǒng)方程,式(45)對時間求導,結果式兩邊同乘M(δ,q),并代入式(26)得

將式(31)、式(44)、式(45)代入X表達式得

對式(51)求范數,并利用特性1 與2 得

其中,h=[tanhTe,sT]T.

定理1對于剛性子系統(tǒng)式(26),在滿足如式k0,i+k1,i+k2,i+γiτoj,i,max所示的輸入受限條件下,若控制器增益滿足如下條件

將式(41)、式(46)、式(55)代入式(50),得閉環(huán)系統(tǒng)誤差方程,為

合理選擇α0,使?jié)M足以下關系式

式(60)沿閉環(huán)軌跡式(57)～式(59)求微分,并代入特性3 與式(45)得

將式(52)、式(53)、式(61)代入式(62),并在結果式中代入式得

將式(46)代入式(50)得閉環(huán)系統(tǒng)誤差方程為

其中,Γ=diag(γ1,γ2,γ3).

構造李雅普諾夫函數V2為

式(65)沿閉環(huán)軌跡式(64)求微分得

由于τd∈l∞,結合范數性質得

將式(52)、式(53)、式(61)、式(67)代入式(66)得

3.2 慢變子系統(tǒng)控制器設計

由于上節(jié)設計的輸入受限重復學習控制器僅能保證慢變系統(tǒng)中剛性運動對期望軌跡的漸進跟蹤,而不能對兩桿柔性振動主動抑制,因此,本節(jié)使用虛擬控制力原理,對原有的期望軌跡進行修正,生成同時反映臂柔性振動和剛性期望軌跡的混合軌跡qh.然后設計基于虛擬力概念的輸入受限重復學習控制器,實現運動跟蹤與兩桿振動主動抑制雙重功能.引入虛擬力F∈R3×1,期望軌跡與混合軌跡誤差為eh=qd?qh,由如下二階指令發(fā)生器生成

其中,a,b∈R3×3為正定常值對角矩陣.

定義混合誤差er=qh?q,混合滑模變量為sr=+tanher,將控制器式(46),式(47)中qd,e分別替換為qh與er,得基于虛擬力的輸入受限重復學習控制器為

將控制器式(70),式(71)代入剛性系統(tǒng)式(26)得

式(69)與式(72)相加得

定理2對于狀態(tài)方程當Ls=014×1或滿足以下條件式(76),取F=則系統(tǒng)穩(wěn)定.

證明:當Ls=014×1時,對于系統(tǒng)構造性能指標函數為

其中,對稱權陣Qs0,Rs>0,于任意矩陣?s,有若如下黎卡提方程式(78)的解Ps對稱正定,則陣對完全可觀.

又因為陣對{As,Bs}完全可控,所以系統(tǒng)存在最優(yōu)控制

當Ls014×1時,將式(79)代入式(75)得

構造李雅普諾夫函數V(qs)=V(qs)對時間求導,并代入式(80)及Ns得

根據條件式(76)得

將式(82)代入式(81)得

所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的,證畢.

3.3 快變子系統(tǒng)控制器設計

同上文分析,快變子系統(tǒng)中,qf在快變時標tf下的狀態(tài)方程如式(29).構造性能指標函數

其中,對稱權陣Qf0,Rf>0.

則快變子系統(tǒng)最優(yōu)控制為

其中Pf為如下黎卡提方程的解

4 仿真算例分析

為了驗證式(13)、式(14)、式(70)、式(71)、式(85)構成的運動振動一體化輸入受限重復學習控制器(an input limited repetitive learning controller with integration of motion and vibration,ILRCI)的有效性,對圖1 所示的系統(tǒng)進行仿真分析.全柔性空間機器人參數選取為:m0=40 kg,l0=l1=l2=1.5 m,J0=30 kg·m2,ρ1=3.5 kg·m,ρ2=1.1 kg·m,Jm1=Jm2=0.1 kg·m2,EI1=EI2=100 N/m2,km1=km2=50 N·m/rad,kb=500 N/m.取控制參數:K0=dig(200,40,20),K1=dig(10,5,1),K2=dig(10,10,2),KC=dig(104,88),Q0=dig(15,40,25),Qk=dig(20,20,20),k=1,2,···,N,N=3,a=b=dig(5,5,5).

廣義坐標初值為qbojδ(0)=[0 m,1.9 rad,0.7 rad,0.5 rad,0 m,0 m,0 m,0 m]T,qm(0)=[0.7 rad,0.5 rad]T,

圖2 ILRCI 控制下基座姿態(tài)與關節(jié)角的軌跡追蹤曲線Fig.2 Trajectory tracking curve of base attitude and joint angle under ILRCI

周期性期望軌跡為qd=[1 rad,0.8 rad,1.2 rad]T,仿真步長取0.01 s.圖2 給出了全柔性空間機器人基座姿態(tài)、關節(jié)在ILRCI 控制下的軌跡追蹤曲線.圖3 為開啟或關閉ILRCI 控制中RC 時,基座姿態(tài)、關節(jié)的跟蹤誤差收斂曲線.圖4 為開啟或關閉ILRCI控制中τnf時基座與關節(jié)的柔性抑振曲線.為了對比驗證虛擬力對桿的抑振效果,采用式(13)、式(14)、式(46)、式(47)、式(85)構成的關閉虛擬力的ILRCI控制重新仿真.圖5 為ILRCI 控制中虛擬力對柔性桿Bi的抑振效果圖.

圖3 ILRCI 控制與關閉RC 后ILRCI 控制的誤差收斂曲線(單位:rad 以10 為底取對數)Fig.3 Error convergence curve of ILRCI and ILRCI without RC

圖3 表明,RC 可以提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度.圖4 表明,快變子系統(tǒng)控制器τnf能實現對系統(tǒng)基座、關節(jié)柔性振動的有效抑制.圖2、圖5 表明,所提的ILRCI 能確保軌跡精確追蹤的同時,實現對柔性桿振動的有效抑制.本文機器人關節(jié)柔性大,所以采用關節(jié)柔性補償間接增大其等效剛度.關閉柔性補償,重新對系統(tǒng)進行仿真運算,圖6 為前1 s 的仿真結果,系統(tǒng)發(fā)散,可見奇異攝動法僅適用于弱柔性非線性系統(tǒng).而本文設計的關節(jié)柔性補償器,可實現對一般柔性非線性系統(tǒng)的奇異攝動分解與有效控制.

圖4 ILRCI 控制與關閉τnf后ILRCI 控制的仿真結果Fig.4 Simulation results of ILRCI and ILRCI without τnf

圖5 ILRCI 控制與關閉虛擬力F 后ILRCI 控制的仿真結果Fig.5 Simulation results of ILRCI and ILRCI without virtual force F

圖6 關閉關節(jié)柔性補償后ILRCI 控制的仿真結果Fig.6 Simulation results of ILRCI after closing joint flexible compensation controller

更進一步,為了驗證所提算法的力矩受限情況,分析ILRCI 控制所需的驅動力矩,仿真結果如圖7 所示.可以看出,實時力矩的最大上界[150,40,23]T,根據式k0,i+k1,i+k2,i+γiτoj,i,max得,仿真運算中式中,是矢量對應的元素,i=1,2,3,所以力矩受限.

圖7 ILRCI 控制的驅動力矩Fig.7 Torques of ILRCI

5 結論

利用假設模態(tài)法與拉格朗日第二類方程,建立基座、臂、關節(jié)同時存在柔性的空間機器人動力學模型.根據奇異攝動法,將模型解耦為雙時標下的慢變子系統(tǒng)與快變子系統(tǒng).對子系統(tǒng)分別設計控制器.提出基于虛擬力概念的慢變子控制器,具有如下優(yōu)點:第一,控制器不基于模型信息設計;第二,適用于驅動力矩飽和情況;第三,能補償周期重復出現的誤差,精確追蹤周期信號;第四,可以有效抑制臂桿的柔性振動.基于線性最優(yōu)控制設計的快變子控制器,可同時抑制基座與關節(jié)的柔性振動.上述兩種算法組成的一體化控制器中引入關節(jié)柔性補償,使系統(tǒng)動力學模擬與控制適用于一般柔性非線性系統(tǒng).仿真算例,驗證了算法的有效性.