關于圓錐曲線中的中點弦的一點遐想

潘貴強

在教學中我發現圓錐曲線中的中點弦所在直線的方程與過圓錐曲線上一點的切線方程有緊密的關系;現將探究與發現的結果展示如下，請各位專家及同仁批評指正。

設點? ? ? ?，? ? ? ?是曲線C：

的任意兩點，? ? ? ?是P1P2的中點。求過曲線C上一點的切線方程。

1. 若曲線C為圓其方程：? ? ? ? ?（或? ? ? ? ? ? ? ? ?）

由? ? ? ? ? ? ? ?兩式相減可得

，當? ? ? ?時

變形為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因為? ? ? ? ? ，

所以? ? ? ? ，由點斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……①;方程①為過P1P2的中點P的弦所在直線方程（即中點弦直線方程）。

當中點P在圓上時，此時P1，P2，P三點重合說明，而此時直線P1P2也成為了圓的切線且過點P，于是? ? ? ? ? ? ?，故由方程①可得過點P的切線方程為：

2. 若曲線C為橢圓其方程：

由? ? ? ? ? ? ? 兩式相減可得

，當? ? ? 時

變形為

因為? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ?，所以

由點斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……②;方程②為過P1P2的中點P的弦所在直線方程（即中點弦直線方程）。

當中點P在橢圓上時，此時P1，P2，P三點重合說明，而此時直線P1P2也成為了橢圓的切線且過點P，于是? ? ? ? ? ?，故由方程②

可得過點P的切線方程為：

若曲線C為橢圓其方程：? ? ? ? ? ? ? ? ?時，同理可得過點P的切線方程為：

3.若曲線C為雙曲線其方程：

由? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩式相減可得

，當? ? ? 時

變形為：

因為? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ?，所以

由點斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……③;方程③為過P1P2的中點P的弦所在直線方程（即中點弦直線方程）。

當中點P在雙曲線上時，此時P1，P2，P三點重合說明，而此時直線P1P2也成為了雙曲線的切線且過點P，于是? ? ? ? ? 故由方程③可得過點P的切線方程為：

若曲線C為雙曲線其方程：? ? ? ? ? 時，同理可得過點P的切線方程為：

綜上所述可知過曲線：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上一點? ? ? ? 的? ? ? ?切線方程為：

對于拋物線也滿足

4.若曲線C為拋物線其方程：

由? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩式相減可得

，當? ? ? 時，變形為：

因為? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ?，所以

由點斜式可得直線P1P2的方程為：

整理為：? ? ? ? ? ? ? ? ?……④;方程④為過P1P2的中點P的弦所在直線方程（即中點弦直線方程）。

當中點P在拋線上時，此時P1，P2，P三點重合說明，而此時直線P1P2也成為了拋線的切線且過點P，于是? ? ? ? ? ?故由方程④可得過點P的切線方程為：

若曲線C為雙曲線其方程：? ? ? ? ? ? 時，同理可得過點P的切線方程為：

以下給予證明

求證：過曲線：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上一點? ? ? ? 的切線方程為：

【分析】要證明直線? ? ? ? ? ? 是曲線

的切線，即要證明直線與曲線只有一個公共點? ? ? ?，即將直線方程與曲線方程聯立，方程組只有一組解;即消去? ? 得到一個關于

的一元二次方程，即證明一元二次方程只有一解，只需證明? ? ? ?要滿足即可。

證明：由? ? ? ? ? ? ? ?消去? 可得，，又由

可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，易知? ? ?且方程的解為：

易知當切點? ? ? ? 為曲線與坐標軸的交點時仍然成立。

故由此可知命題是成立的。