培養學生的邏輯思維能力，促進深度學習

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：在數學教學中，問題是教學的出發點，也是驅動學生積極思考、推動課堂教學的有效載體。數學教學中有邏輯問題的提出有助于學生的深度學習，可讓學生通過問題構建一般的數學邏輯。這里的邏輯既是知識的邏輯，也是思維的邏輯。而建立清晰的有邏輯的知識體系，需要教師按“構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”的要求引導學生，讓學生充分感受數學知識發展的邏輯性，形成數學研究的基本思路，面對未知事物能夠有邏輯地思考，培養學生的核心素養。

下面以“平行四邊形的性質”進行說明。

一、教材、學情及重難點分析

從課程來看：平行四邊形既是平行線、三角形等知識和研究方法的延續和深化，也是后續學習矩形、菱形、正方形等知識和研究方法的堅實基礎。從學情來看：學生具有幾何研究的基礎經驗，初步掌握了幾何研究的方法，也初步感受了前后一致的研究思路。那么，本節課的地位毋庸置疑是承上啟下的。作為章節起始課，教師除了教學基礎知識，還應構建幾何研究思路，促進學生對知識內在邏輯聯系的理解，同時培養學生“學會學習”這一核心素養。

本節課的教學重點是：（1）構建幾何研究一般思路方法。（2）理解和掌握平行四邊形的性質。本節課的教學難點是探究和證明平行四邊形的性質。

二、教學過程

▲第一環節：學法回顧，建立體系

師：我們學習幾何是從簡單圖形的研究一步步上升到復雜圖形的研究。今天，我們將一起梳理幾何研究的一般思路，并用該方法研究新的基本圖形。（板書：研究思路）

師：初中研究幾何從一個點到多個點組成一條線再到有公共端點的兩條線組成角，我們之前研究了哪個平面圖形呢？

生：三角形。

師：學習了哪些三角形？

生1：直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形。

生2：等腰三角形、等邊三角形。

師：三角形和等腰三角形有什么關系呢？

生：等腰三角形是三角形的一種。

師：既然等腰三角形是三角形的一種，那么它就擁有三角形的所有性質，那我們還要研究等腰三角形的什么？

生：不同于一般三角形的地方。

教師引導：等腰三角形的特殊性就是區別于一般三角形之處。（板書：一般到特殊）

師：那么等腰三角形最特殊的地方在哪里呢？

生：兩邊相等。

師：所以我們將最突出等腰三角形的本質屬性作為它的定義，即兩邊相等的三角形叫作等腰三角形。（板書：定義）

師：這是從哪一方面研究了等腰三角形？

生1：邊。

生2：邊的數量關系。（板書：邊）

師：除了研究邊的數量關系，我們還可以從哪幾方面研究等腰三角形呢？

生：角的數量關系、三線合一性質。

教師引導：三線合一其實是對三角形中重要線段的研究。（板書：角、重要線段）

教師總結：我們研究邊之間、角之間、重要線段之間的關系，實際上就是在研究元素之間的關系，也就是我們所說的幾何性質。（板書：性質）

師：研究完性質，我們又研究了什么呢？

生：判定。（板書：判定）

師：研究性質判定的作用，是為了能夠應用。（板書：應用）

師：總結研究思路，我們今天就使用這些思路來研究新的基本圖形——四邊形。我們學習過四邊形的哪些知識？

生1：角：內角和360°，外角和360°。

生2：重要線段：有兩條對角線。

師：在研究完四邊形的基礎上，我們接下來要研究特殊的四邊形。

在建立幾何研究的一般思路體系中，教師需要幫助學生理順三大研究思路。首先，類比三角形與等腰三角形的關系，建立幾何概念的研究是從一般到特殊，明確特殊圖形要研究什么的問題。其次，類比等腰三角形的研究方法：知道什么樣的三角形是等腰三角形（定義），到等腰三角形有什么特殊性質，再研究如何判定一個圖形為等腰三角形（判定），得到研究的主線：研究特殊幾何圖形按定義—性質—判定的基本思路來進行。最后，類比等腰三角形的性質研究：從邊、角、重要線段三方面對幾何要素之間的關系進行研究，解決怎么研究的問題。基于此，教師采用了整體化的教學策略，引導學生從三角形研究中建立研究思路，進而讓知識邏輯結構化，對方法進行遷移運用，歸納總結學習方法，增強學生學習的主動性，從學會上升到樂學、善學。

▲第二環節：畫圖識別，理解概念

本環節采用辨析性教學策略。學生在小學已初步學習平行四邊形的概念：但未明確其本質屬性是對邊平行，因此教學時，在四邊形概念的基礎上，教師要引導學生發現其本質特征，讓學生在識別和畫出平行四邊形中發現定義的判定性，進而結合定義中蘊含的性質，理解定義。

▲第三環節：大膽猜想，小心求證

1.建構平行四邊形性質的研究方向

師：研究完平行四邊形的定義，我們接下來應該研究什么？

生：性質。

師：從哪幾方面進行研究呢？

生：邊、角、重要線段。（板書：邊、角、重要線段）

師：平行四邊形的重要線段中，哪一條是最重要的呢？為什么呢？

生1：對角線，三角形沒有，四邊形有，所以最重要。

生2：對角線在解決求四邊形內角和時起到了轉化的作用，所以很重要。（板書：對角線）

學生通過類比三角形的研究方法，對平行四邊形的性質研究有了大致的方向。教師進一步引導學生認識平行四邊形的重要線段，讓學生體會對角線作為平行四邊形最重要線段的合理性，同時在此過程中體會到有邏輯的研究思維過程。

2.建構平行四邊形性質的研究邏輯

師：那么我們先從哪方面研究性質？

生：邊。

師：觀察平行四邊形圖片，它的邊除了平行的位置關系，還存在哪些特殊關系？

生1：從數量關系上，我發現對邊相等。

生2：我覺得要強調對邊是兩組，并且它們分別相等。

（板書：平行四邊形兩組對邊分別相等）

師：請你利用手上的工具：三角板、直尺、量角器、圓規，選擇最快的方式驗證一下你的猜想，請組長收集小組同學的結論并進行匯報。

師：你們小組的結論是什么？通過什么來驗證？

生1：我們小組通過測量發現對邊長度的數據顯示相等，剛剛的猜測可能是成立的。

生2：我們小組通過測量發現大部分同學的對邊長度數據也顯示相等，一位同學的數據雖然不相等，但是長度相差很小。

生3：我們小組通過用圓規定長來比較，對邊是相等的。

師：大家認為怎樣比較邊的大小更快呢？

生：用圓規定長比較線段長短速度快。

師：現在我們能夠說猜想成立了嗎？

生：不行，還需要推理驗證。

師：請結合圖形寫出我們猜想的已知和求證。

生：如圖1，已知四邊形ABCD為平行四邊形，求證AB=CD，AD=BC。

師：請論證我們的猜想成立。

學生活動：在探究報告中完成推理，并展示自己的推理過程。

師：你們為什么會想到添加輔助線呢？

生：連完對角線，可以得到兩個三角形，證明兩個三角形全等。

師：為什么要證明三角形全等呢？

生：因為要證明邊相等，可以轉化為證明邊所在的兩個三角形全等。

（板書：通過連接對角線，將四邊形問題轉化為三角形問題）

師：很好，現在我們能夠說明猜想成立了嗎？

生：可以了。

師：請用符號語言表示性質1。

教師總結：研究幾何性質，我們一般要經歷觀察、猜想、驗證、證明的過程。

（板書：觀察、猜想、驗證、證明）

師生活動：類比平行四邊形邊的研究方法，各小組開展研究平行四邊形的角并展示交流。

師：現在我們已經知道了關于平行四邊形邊、角的性質。我們下一步應該研究什么？

生：對角線。

師：請同學們在手中的平行四邊形中畫出對角線，并觀察它們具有什么關系。

生：從位置上來看，它們相交。

師：還有其他的關系嗎？

生1：相等。

生2：不正確，通過測量，BD比AC長。

生3：對角線互相平分。

師：你能結合圖形解釋下對角線互相平分嗎？

生：如圖2，AO=CO=1/2AC，BO=DO=1/2BD。

師：你是怎么猜想到對角線互相平分的呢？

生：我是先看到點O，它是AC和BD的交點，在位置上感覺它很特殊，可能是中點的位置，所以進行猜測。

師：很好，在幾何關系探索中，我們不妨借助點的特殊性來研究線段的特殊性。

師生活動：通過邏輯推理驗證平行四邊形對角線互相平分的性質，并用規范的數學語言進行表述。

三、教學反思

在一般教學中，教師對該節課的設計拘泥于創設一般問題情境，給予學生生活中涉及的平行四邊形，抽象出平行四邊形的基本圖形，讓學生通過測量、比較、歸納、驗證的方式研究基本元素邊、角、對角線，最后得出性質。這樣的教學設計無法讓學生體會到知識發展的邏輯性，一切探究都是由教師設置好的，不能發揮學生的主觀能動性。在性質的探究中，學生由于在小學已經接觸了平行四邊形，所以采用測量邊、角的方式進行探究就稍顯多余。學生通過幾何直觀可以觀察猜測，對角的研究可以從邊性質的證明中進行邏輯推理得出。

在本次教學中，基于學生理性思維的發展水平，教師挖掘幾何研究的一般思路方法，側重建構知識邏輯的前后一致，思維邏輯的一以貫之，讓學生根據知識間的邏輯（一般研究思路）以及知識本身內在的邏輯（性質）掌握研究方法與方向，主動思考，發現、歸納與驗證思路，掌握數學的本質。學生能在后續平行四邊形的判定和特殊平行四邊形的研究中遷移與應用已梳理的知識邏輯體系，自發根據研究體系探求思路，發現和驗證性質與判定，解決問題。

（作者單位：廈門外國語學校湖里分校）

編輯：張俐麗