電子和負離子的反射運動對碰撞電負性磁鞘的影響*

劉惠平 鄒秀

(大連交通大學理學院,大連 116028)

研究了鞘層中電子和負離子的反射運動對碰撞電負性磁鞘玻姆判據和鞘層結構的影響.通過理論推導得到了考慮鞘層中電子和負離子的反射運動時鞘層玻姆判據表達式,并通過數值模擬得到了電子和負離子采用玻爾茲曼模型和反射運動模型時離子馬赫數的下限隨參數的變化曲線以及鞘層中帶電粒子密度的分布曲線.結果表明,電子和負離子的反射運動模型和玻爾茲曼模型離子馬赫數的上限完全相同,下限表達式不同,反射運動模型中下限還與基板電勢有關,且隨著基板電勢值的增加而增大,達到與玻爾茲曼分布中相同值后保持不變,隨著鞘邊負離子濃度和溫度的不同達到最大值的速度不同;離子馬赫數的下限在玻爾茲曼和反射運動模型中都隨鞘邊負離子濃度的增加和溫度的降低而減小,只是在反射運動模型中的最大值要小;兩種模型中離子馬赫數的下限都隨鞘邊電場的增加而增加,但在玻爾茲曼模型中增加得更快最終值更大;兩種模型離子馬赫數的下限都隨碰撞參數或磁場角度的增加而降低,但在玻爾茲曼模型中降低更快,隨著碰撞參數或者磁場角度的增加兩種模型中離子馬赫數的下限趨于一致;當基板電勢值較小時,電子和負離子的反射運動對鞘層結構影響較大,當基板電勢值較大時電子和負離子反射運動對鞘層中帶電粒子密度分布的影響很小.

1 引 言

在工業中,經常采用含負離子和碳氟化合物(如 H2,F2,O2,C12,SF6) 的等離子體來進行新材料加工.在這種等離子體加工過程中,由于電子的吸附作用或發生化學反應便會在鞘層中出現負離子,如等,其密度可能大大超過電子密度,電負性等離子體也因此成為國內外學者們研究的熱點[1?26].等離子體的電負性(等離子體中負離子與正離子的密度比)由于作業條件和氣體組成的不同可能在 10–3—1 范圍內變化[5?7].含有負離子的等離子體鞘層稱為電負性等離子體鞘層.

外加磁場作用下的等離子體鞘層在等離子體探針和材料加工等方面都有很重要的應用,比如用磁化的等離子體進行超音速流的控制,尤其用來減輕超音速飛行中的極熱問題[27].再比如利用外磁場也可以很好地控制等離子體的放電特征[7].以往對電負性等離子體磁鞘的研究工作中,電子和負離子均被假設遵循玻爾茲曼分布,正離子遵循流體方程.但是近幾年的研究發現,在磁鞘中若磁場嚴格平行于基板,電子不再遵循玻爾茲曼分布,而是同正離子一樣遵循流體分布[28?32].在斜磁場作用的鞘層中,電子和負離子在沿磁場線向基板運動的過程中,有一部分將會被鞘層中負的電勢反射,因此電子和負離子的運動并不是嚴格地遵從玻爾茲曼分布.對非磁化的鞘層中電子的反射運動也有研究[33,34],結果表明電子的反射運動對鞘層結構有明顯的影響,比如能夠引起基板電勢的降低.文獻[35]較系統地研究了斜磁場作用下電子離子鞘層中電子的反射運動對玻姆判據和鞘層的影響,結果表明當基板電勢值較小時,電子的反射運動使離子馬赫數最小值降低,對鞘層結構也有明顯的影響.然而對于碰撞電負性磁鞘中,電子和負離子的反射運動對玻姆判據和鞘層結構的影響,還沒有被系統地研究.

本文首先完整地推導了包含電子、負離子和正離子的碰撞磁鞘中,考慮電子和負離子的反射運動情況下的玻姆判據,然后數值研究了電子和負離子的反射運動對鞘層玻姆判據和鞘層結構的影響,重點比較了電子和負離子采用反射運動模型和玻爾茲曼模型時鞘層玻姆判據和鞘層結構的異同,得到的結果對理論和實驗研究均有一定的價值.

2 鞘層模型和基本方程

在考慮電子和負離子的反射運動的情況下,等離子體磁鞘層模型如圖1所示.假設鞘層為平面鞘層,恒定的外磁場位于x-z平面并與x方向成θ角.假設鞘層中包含三種帶電粒子:負離子和電子溫度分別為 T–和 Te,帶電量均為–e,冷的正離子帶電量為e.負離子和電子分別滿足方程[28?35]:

式中,mi,ni和vi分別為正離子的質量、數密度和速度,νin=nnτvi為傳遞動量的正離子與中性粒子碰撞的頻率,nn為中性氣體數密度,τ=τs(vi/cis)β是動量傳遞截面(τs為以正離子聲速測量的橫截面,cis=(Te/mi)1/2為正離子聲速,β 為無量綱化參數,其取值范圍為–1—0,其中 β=-1 對應恒定的碰撞頻率,β=0 對應恒定的平均自由程).

圖1 電負性等離子體磁鞘模型示意圖Fig.1.Geometry of the electronegative magnetized plasma sheath model.

采用三維速度和一維空間坐標,鞘層電勢滿足泊松方程:

用 α=n-0/ni0表示鞘邊負離子與正離子密度比,σ=Te/T-表示電子與負離子溫度比.為簡化方程,引入下列無量綱化參數η=-eφ/Te,ξ=x/λD,和 ν=λDnnτs,其中 ne0,ni0和n-0分別為鞘邊電子數密度,正離子數密度和負離子數密度,λD=為電子德拜長度,ν 為凈碰撞參數.

式中,M ai=vix0/cis是離子馬赫數,γi是正離子回旋頻率 ωic=eB/(mic) 與正離子等離子體頻率之 比,即利用鞘層邊界條件:在鞘邊x=0 處,和由 (6)—(14)式及文獻 [15,23]可以得到考慮電子和負離子反射運動時的電負性等離子體磁鞘的玻姆判據:

當 β=0 時,

當 β=-1 時,

3 數值結果和討論

(15)式和(16)式即為考慮電子和負離子反射運動時的碰撞電負性等離子體磁鞘的玻姆判據.考慮正離子在預鞘區的E×B漂移運動,將正離子進入鞘層時y方向初速度和z方向初速度代入(15)式和(16)式可以得到:

當 β=0 時,

當 β=-1 時,

考慮電子和負離子反射運動以及正離子在的預鞘區的E×B漂移運動時的碰撞電負性等離子體磁鞘的玻姆判據由(17)式和(18)式決定.從(17)式和(18)式可以看出,無論鞘層碰撞模型為恒定的離子自由程(β=0)還是為恒定的離子遷移率(β=-1),離子馬赫數 M ai的上限和下限的值都與碰撞參數、鞘邊負離子的濃度、磁場的角度以及鞘邊電場有關,但僅僅下限的值與基板電勢和負離子溫度有關,上限與基板電勢和負離子溫度均無關;兩種碰撞模型不同的是前者的離子馬赫數Mai的取值范圍還與磁場強度有關,后者離子馬赫數 M ai的取值范圍卻與磁場強度無關.可以對(17)式和(18)式進行如下討論:當取基板電勢ηw→ ∞時,由(17)式和(18)式可以得到電子和負離子為玻爾茲曼分布時的碰撞電負性等離子體磁鞘的玻姆判據[23],同時還可以看到對于碰撞電負性等離子體磁鞘,無論電子和負離子是采用玻爾茲曼分布還是考慮電子和負離子的反射運動,離子馬赫數 M ai的上限都相同,不同的是下限;當取鞘邊負離子濃度和碰撞參數均為零(α=0,ν=0)時,由(17)式和(18)式可以得到與文獻[35]完全相同的結果.

為了比較電子和負離子采用玻爾茲曼分布模型和反射運動模型對離子馬赫數 M ai下限的影響,根據文獻 [5?10,13,19,20,35]選取參數,對β=-1時離子馬赫數 M ai的下限隨參數的變化進行了數值模擬,結果如圖2—圖6所示.從圖2可以看出,離子馬赫數 M ai的下限在玻爾茲曼模型和反射模型中均隨鞘邊負離子濃度的增加(α 值增大)和負離子溫度的降低(σ 值增大)單調遞減,只是在反射模型中的最大值要小一些.圖3中離子馬赫數Mai的下限在玻爾茲曼模型中不隨基板電勢變化,但在反射運動模型中開始隨基板電勢值的增加而增大,增大到與玻爾茲曼模型中相同的值后不再變化;當鞘邊負離子濃度較高(α 值較大)或者溫度較低(σ值較大)時,反射運動模型中離子馬赫數 M ai的下限會很快增加到與玻爾茲曼模型中相同的值.圖4顯示的是兩種模型中離子馬赫數 M ai的下限都隨鞘邊電場的增加而增大,但在玻爾茲曼模型中增加得更快最終值更大.從圖5和圖6可以看出,兩種模型的離子馬赫數 M ai的下限都隨著碰撞參數或者磁場角度的增加而降低,但玻爾茲曼模型中降低得更快,隨著碰撞參數或者磁場角度的增加兩種模型中離子馬赫數 M ai的下限值趨于一致.

圖2 負離子濃度和溫度對離子馬赫數下限的影響 (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E 0=0.05,η w=0.3) (a) 玻爾茲曼模型;(b)反射模型Fig.2.The effects of negative ions concentration and temperature on the lower limit of ion Mach number (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E 0=0.05,η w=0.3):(a) Boltzmannian model;(b) reflection model.

圖3 基板電勢對離子馬赫數下限的影響 (a) 整體;(b) 局部 (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E 0=0.05)Fig.3.The effect of wall potential on the lower limit of ion Mach number:(a) Whole;(b) part (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,E0=0.05).

圖4 鞘邊電場對離子馬赫數下限的影響 (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3)Fig.4.The effect of the sheath edge electric field on the lower limit of ion Mach number (ν=0.1,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3).

圖5 碰撞參數對離子馬赫數下限的影響 (E 0=0.05,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3)Fig.5.The effect of collision parameter on the lower limit of ion Mach number (E 0=0.05,B=0.1T,θ=30°,α=0.2,σ=50,η w=0.3).

圖6 磁場角度對離子馬赫數下限的影響 (E 0=0.05,B=0.1T,ν=0.1,α=0.2,σ=50,η w=0.3)Fig.6.The effect of magnetic field angle on the lower limit of ion Mach number (E 0=0.05,B=0.1T,ν=0.1,α=0.2,σ=50,η w=0.3).

為了比較電子和負離子采用玻爾茲曼分布模型和反射運動模型對鞘層中帶電粒子密度分布的影響,根據相關文獻[5?10,13,18,19,20,35?37]可選取如下參數進行數值模擬:等離子體密度n0=5.0×1014/m3,電子溫度為 Te=3.48×104K,碰撞參數ν=0.1,磁場強度 B=0.2 T,磁場與 x 軸正向的夾角 θ=30°,鞘邊負離子與正離子密度比 α=0.25,電子與負離子溫度比 σ=7,鞘邊電場 E0=0.11,正離子進入鞘層時x軸方向初速度取滿足玻姆判據的值 uix0=Mai=0.7,y軸和z軸方向初速度分別為 uiy0=-E0sinθ/γi和uiz0=Maitanθ,無量綱化參數 β=-1,模擬結果如圖7和圖8所示.圖7基板電勢 ηw=0.7,圖8基板電勢 ηw=10.從圖7和圖8可以看出,無論基板電勢值較大還是較小,兩種模型中的負離子密度都是在鞘邊很快減小到零,其次是電子密度緩慢減小到零,最后是正離子密度更緩慢地減小,負離子密度減小很快是因為其密度隨 σ 值增大按指數形式減小((7)式);同時還可以看到,當基板電勢值較小時,反射運動模型中帶電粒子密度比在玻爾茲曼模型中下降得快,而當基板電勢值較大時,兩種模型中同種帶電粒子密度分布并沒有明顯的不同,這是因為(7)式和(9)式,在這兩式中取基板電勢 ηw→ ∞,便可得到負離子和電子在玻爾茲曼模型下的密度表達式,并得到

式中,N-B和NeB分別為玻爾茲曼模型中鞘層區負離子和電子的密度.從(19)式和(20)式可以看出,基板電勢值越小,兩種模型中負離子和電子的密度分布差異越大.因此當基板電勢值較小時,電子和負離子的反射運動對鞘層結構影響較大,當基板電勢值較大時電子和負離子反射運動對鞘層中帶電粒子密度分布的影響很小.

圖7 鞘層中帶電粒子密度分布 (η w=0.7)Fig.7.The normalized charged particle density (η w=0.7).

圖8 鞘層中帶電粒子密度分布 (η w=10)Fig.8.The normalized charged particle density (η w=10).

4 結 論

建立了考慮電子和負離子反射運動的磁化碰撞電負性鞘層結構模型,理論推導了鞘層的玻姆判據,并采用數值模擬的方法討論了鞘層中電子和負離子的反射運動對離子馬赫數的取值范圍和鞘層結構的影響,得到以下結論.

1)無論電子和負離子是采用玻爾茲曼分布還是考慮電子和負離子的反射運動,離子馬赫數Mai的上限都相同,不同的是下限;在考慮電子和負離子反射運動的情況下,無論鞘層碰撞模型為恒定的離子自由程(β=0)還是為恒定的離子遷移率(β=–1),離子馬赫數 M ai的上限和下限的值都與碰撞參數、鞘邊負離子的濃度、磁場的角度以及鞘邊電場有關,但僅僅下限與基板電勢和負離子溫度有關,上限與基板電勢和負離子溫度均無關;兩種碰撞模型不同的是前者的離子馬赫數 M ai的取值范圍還與磁場強度有關,后者離子馬赫數 M ai的取值范圍卻與磁場強度無關.

2)離子馬赫數 M ai的下限在玻爾茲曼模型和反射模型中均隨鞘邊負離子濃度的增加和負離子溫度的降低單調遞減,只是在反射模型中的最大值要小一些.

3)離子馬赫數的下限在玻爾茲曼模型中不隨基板電勢變化,但在反射運動模型中開始隨基板電勢值的增加而增大,增大到與玻爾茲曼模型中相同的值后不再變化;當鞘邊負離子濃度較高或者溫度較低時,反射運動模型中離子馬赫數 M ai的下限會很快增加到與玻爾茲曼模型中相同的值.

4)玻爾茲曼和反射運動模型中離子馬赫數的下限都隨鞘邊電場的增加而增大,但在玻爾茲曼模型中增加得更快最終值更大.

5)玻爾茲曼和反射運動模型的離子馬赫數的下限都隨碰撞參數或者磁場角度的增加而降低,但玻爾茲曼模型中降低得更快,隨著碰撞參數或者磁場角度的增加兩種模型中離子馬赫數的下限值趨于一致.

6)當基板電勢值較小時,電子和負離子的反射運動對鞘層結構影響較大,當基板電勢值較大時電子和負離子反射運動對鞘層中帶電粒子密度分布的影響很小.