自由空間中時空復變量自減速艾里拉蓋爾高斯光束的相互作用

張霞萍

(南京曉莊學院物理系,南京 210017)

根據自由空間光束傳輸遵循的(3+1)維薛定諤方程,得到了兩束時空自減速艾里復變量拉蓋爾高斯(Airy elegent-Laguerre-Gaussian,AELG)光束共線傳輸時的解析解,并分析其共線傳輸時的傳輸特性.分析結果表明,雙光束各自的模式指數、組合光束強度的權重因子、初始相位差對光束的傳輸都會有影響.本文發現,通過選擇模式參數或者選擇它們的相對振幅,對于共線傳輸的兩束時空自減速AELG光束,可以有效控制疊加光束的波形形態以及橫向傳輸截面的光斑分布.特別是當兩束光束的模式參數不等于零時,波包將沿著傳輸軸發生螺旋形旋轉,其相位圖中心位置都會出現渦旋現象.若該參數值為正,則光束沿傳輸軸逆時針旋轉,否則,光束將沿傳輸軸呈螺旋形順時針方向旋轉.通過調整疊加光束的初始相位差,波包沿傳輸軸線也將發生旋轉,但這兩種旋轉特性的旋轉機理完全不同.如果選取兩束時空自減速 AELG 光束的角向模式參數m相同,則疊加光束在傳輸過程中呈現空心環形狀態,出現空心環形時空自減速 AELG 波包,且該波包在傳輸截面上隨著傳輸距離的增加,多環結構最終湮滅為單環,并向遠方推移,使得空心部分越來越大.

1 引 言

1979 年,Berry和Balazs[1]通過求解薛定諤方程獲得了艾里波粒子形式的解.Siviloglou等[2,3]于2007年首次通過實驗驗證了艾里光束的存在.由于艾里光束具有獨特的傳輸特性,比如可以實現自管理,具有弱色散和自加速等性質,因此,艾里光束自誕生以來吸引了科研工作者廣泛的研究熱情.不同尋常的傳輸特性使得它具有廣泛的使用價值,比如可以沿著彎曲路徑捕獲粒子[4]、產生自彎曲等離子通道[5]以及實現超快脈沖[6].由高斯光束對艾里光束進行調制可以獲得艾里高斯(AiG) 光束.這種調制可以通過將艾里光束通過具有有限功率高斯孔徑加以實現.Bandres和Gutiérrez-Vega[7]首次獲得了AiG 光束,并通過復變量ABCD 矩陣方法描述了艾里高斯光束通過該系統時的傳輸特性.不同介質中單束AiG光束的傳輸特性,比如在強非局部介質[8]或克爾介質中[9]以及自由空間中雙束AiG光束的相互作用最近也得到了廣泛研究[10,11].

光子3維 (3D)時空波包或光彈首次在文獻 [12]里提出.最近Mihalache[13]在其所作的報告中再次提到了時空光彈.隨后,Valtna-Lukner 等[14]測量了超短脈沖的時空場.Abdollahpour 等[15]通過將空間的艾里光束與時域的艾里脈沖相結合實現了時空艾里光彈.相繼各種3D波粒子概念被提出,比如三維有限能量的艾里自加速拋物型柱面光彈、自加速的Airy-Gauss-Kummer局部波粒子、三維局部艾里-拉蓋爾-高斯波粒子和自減速 Airy-Bessel光彈[16?19]、自由空間中自減速艾里拉蓋爾高斯光束以及可控自加速和自減速艾里拉蓋爾高斯光彈[20,21].迄今為止,關于共線時空自減速艾里復變量拉蓋爾高斯 (Airy elegent-Laguerre-Gaussian,AELG) 光束傳輸還沒有人涉及.

本文利用自由空間光束傳輸滿足的(3+1)D薛定諤方程構建了時空共線傳輸自減速復變量艾里拉蓋爾高斯型光束的解.基于共線解的形式,研究不同參數對時空波包傳輸特性的影響,其中包括雙光束的模式值、共線傳輸波束的相對振幅、傳輸距離以及初始相位差.研究發現特定的模式值和不同的初始相位差都可以導致共線傳輸光束的截面呈現螺旋形順時針或者逆時針旋轉趨勢.當疊加光場的角向分布模式指數相等時,時空共線傳輸自減速AELG光束呈現中空多環形形態.隨著傳輸距離的增加,截面多環形將演變為單環結構,中空部分尺寸增大,光束出現展寬的趨勢.這種特異傳輸形態的特點使得此類光束在誘導微粒子方面有其特殊的價值[22].

2 (3+1)D 模型及其光束的解析解

(3+1)D 共線時空自減速AELG波包在自由空間傳輸時遵循薛定諤方程.對于沿 Z 方向傳輸,振幅為 ψ 的光束,滿足的歸一化方程形式為[2,3,6,23]

為了獲得方程(1)的解析解,設其解的形式為

這里 ψG=exp(-C(Z)r2) 為具有復數波前曲率的光束,其中 C (Z)=-i/(2Z-2i)[24].將方程 (2)代入方程(1)可以得到如下低維的兩個方程:

方程(3a)最典型的解為自加速艾里形式[1].為了探討自減速艾里光束傳輸情況,構建自減速艾里形式解.對于自減速艾里光束,其初始狀態的形式為 A (Z=0,T)=Ai(-T)exp(-aT),其中 A i(·) 為艾里函數,a 為耗散常數[2,3].本文所有圖中的耗散常數a均為0.1.

則滿足初始條件的單束時空自減速艾里光束的解為[24]

圖1分別給出了通過改變初始入射速度實現的自加速艾里光束(圖1(a)和圖1(b))和 自減速艾里光束(圖1(c)).圖1(a)和圖1(b)分別對應的艾里光束初始入射速度為 v0=+3,v0=0.圖1(c)和圖1(d)中光束初始入射速度為 v0=-3,此時 艾里光速初始入射速度和自加速方向成鈍角,表現為光束呈現自減速趨勢,產生自減速艾里光束.圖1(c)對應自減速艾里光束的 光強隨傳輸距離的變化,圖1(d)為圖1(c)的光強隨傳輸距離的截面演化圖.

其中 p,m 為任意整數.

顯而易見,方程(5c)的解為

這里 m 代表角向分布參量[25?27].方程 (5b)的解為 ξ (z)=(z-i)[-(p+2)/2].

方程(5a)具有廣義拉蓋爾形式的解析解[28],

圖1 不同初始入射速度的斜入射有限能量艾里光束的光場演化圖 (a) v 0=+3 ;(b) v 0=0 ;(c) v 0=-3 ;(d) 圖 (c) 的截面光強分布圖Fig.1.Intensity distribution of the Airy pulses with different initial incident velocity in free space:(a) v 0=+3 ;(b) v 0=0 ;(c) v 0=-3 ;(d) the intensity profiles of the self-decelerating Airy pulses at different distances.

n 為表征徑向分布的非負整數參量,n=p/4-|m|/2.則方程(3b)的解可以表達為

綜合方程(4)—(8),方程(1)的完整形式解可以表達為

方程(9)描述的是單束自減速AELG在自由空間傳輸時的解析解.對于模式參數分別為(n1,m1)和(n2,m2) 的兩束自減速AELG共線傳輸時,疊加光束可以表述為[29?31]θ 代表其疊加光束光強的權重因子,其相對強度滿足這里 I1和I2為共線傳輸光束的光強大小,參數 σ 為其初始相位差.

3 自由空間共線時空自減速 AELG光束的傳輸

方程(10)表明,共線傳輸的自減速AELG光束的解析解受疊加光束的模式指數 m,n 、傳播距離Z 、及其強度權重因子 θ 和初始相位差 δ 的影響.圖2顯示了兩束不同模式指數的時空自減速AELG波包共線傳輸時在不同傳輸距離上的面強度分布圖,其中各自的模式指數分別為 n1=2,n2=1,m1=-1.圖中的 x,y 對應位置坐標,T 為時間坐標.圖2 的第一行對應于 m2=1,第二行對應于 m2=3.顯然,自由空間兩束共線傳輸的時空自減速 AELG 光束,在傳輸過程中光束結構會發生復雜的變化,當模式指數 m2增加時,疊加光束的角向節點數會相應增加.另外,共線傳輸光束的截面會隨著傳輸距離的增加呈現展寬的趨勢.

圖2 兩束時空自減速 AELG 光束共線傳輸時隨傳輸距離的面強度演化圖 (a1),(b1) 傳輸距離 Z=0 ;(a2),(b2) 傳輸距離Z=0.5;(a3),(b3) 傳輸距離 Z=1.雙光束的模式指數分別為 (a1)—(a3) m 2=1,(b1)—(b3) m 2=3.其他參數值分別為n1=2,n2=1,m1=-1,σ=0,θ=π/4Fig.2.Iso-surface intensity plots of self-decelerating collinear AELG wave packets at (a1),(b1) Z=0,(a2),(b2) Z=0.5,(a3),(b3) Z=1.(a1)?(a3) m 2=1,(b1)?(b3) m 2=3.Other parameters are chosen as n 1=2,n2=1,m1=-1,σ=0,θ=π/4.

圖3 兩束自減速時空AELG光束共線傳輸時傳輸截面的強度和相位分布圖 第一行和第二行相對應模式指數為 m 2=1,第三行和第四行相對于 m 2=3.第一行和第三行為強度分布圖,第二行和第四行為相位分布圖,其中第四行對應于傳輸距離為Z=1.5.T=0,其他參數的選擇同圖2Fig.3.The intensity and phase distributions of the self-decelerating collinear AELG wave packets at the profile during propagation.the first and second rows correspond to m 2=1,and the third and forth rows correspond to m 2=3.The first and third rows show the intensity distribution,and the second and forth rows show the phase distribution.the forth column corresponds to Z=1.5.Other parameters are the same as Fig.2 except T=0.

圖4 兩束自減速時空AELG光束共線傳輸不同權重時的面強度演化圖 (a1)?(a3) 傳輸距離 Z=0 ;(b1)?(b3)傳輸距離Z=1.(a1),(b1) 對應于權重為 θ=π/4 ;(a2),(b2) 對應于權重為 θ=π/2 ;(a3),(b3)對應于權重為 θ=3π/4.其他的參數值分別是 n1=2,n2=1,m1=0,m2=-2,σ=0Fig.4.Iso-surface intensity plots of self-decelerating collinear AELG wave packets at (a1)?(a3) Z=0 ;(b1)?(b3) Z=1.(a1),(b1) θ=π/4 ;(a2),(b2) θ=π/2 ;(a3),(b3) θ=3π/4.Other parameters are chosen as n 1=2,n2=1,m1=0,m2=-2,σ=0.

圖5?兩束自減速時空AELG光束共線傳輸不同初始相位差時的面強度演化圖 (a1)?(a3)模式指數為 m 2=1 ;(b1)(b3) 模式指數為 m 2=3.其中 (a1),(b1) 對應于初始相位差 σ=0 ;(a2),(b2) 對應于 σ=π/2 ;(a3),(b3) 對應于 σ=π.其他參數值分別為 n1=2,n2=1,m1=-1,θ=π/4Fig.5.Iso-surface intensity plots of self-decelerating collinear AELG wave packets at (a1)?(a3) m 2=1 ;(b1)?(b3) m 2=3.(a1),(b1) σ=π/4 ;(a2),(b2) σ=π/2 ;(a3),(b3) σ=π.Other parameters are chosen as n 1=2,n2=1,m1=-1,m2=1,θ=π/4.

為了進一步探討模式指數對傳輸光束的影響,對于不同的模式指數的兩束光束,我們繪制了其共線傳輸時在不同傳輸截面上的光強和相位分布圖.圖3第一行和第三行分別對應模式指數為n1=2,n2=1,m1=–1,m2=1;n1=2,n2=1,m1=–1,m2=3 的強度分布,第二和第四行對應其相位分布.圖3的最后一列對應傳輸距離為 Z=1.5,其他的參數值和 圖2相同.由截面強度分布圖可以很明顯看到對于不同的模式指數 m2,疊加光束截面的光束節點數也不同.顯而易見,在相位圖的中心都有一個渦旋[31,32].眾所周知,對于模式指數分別為 (n1,m1)和(n2,m2) 的雙光束,若滿足模式參數[33]:

圖6?兩束自減速時空 AELG 光束共線傳輸時產生中空時空光束 (a1)?(a3) 模式指數為 m1=m2=1,n1 = 4,n2=2;(b1)(b3)模式指數為 m 1=m2=-1,n1=n2=4.其截面上的光強分布對應于第三行.其中 σ=π/4,θ=π/4Fig.6.The hollow Self-decelerating AELG wave packets.The first row corresponds to m1=m2=1,n1=4,n2=2,and the second row is m 1=m2=-1,n1=n2=4.The third row is the distribution of intensity corresponding to the second row at the section during propagation.Other parameters are σ=π/4,θ=π/4.

疊加光束將會以角速度 Ω=A/(Z2+1) 大小繞傳輸中心軸發生旋轉.由圖2的第一行可知,共線傳輸的光束隨著傳輸距離的增加,其橫向強度分布呈現出展寬的趨勢,并且光強繞著傳輸中心旋轉.由于第二行中對應的模式參數 A=0,疊加光束在傳輸過程中盡管有展寬的趨勢,但光束不再圍繞傳輸軸發生旋轉.

為了分析雙光束權重參數對光束傳輸特性的影響,我們考察權重因子 θ 取不同值時光束的傳輸情況.由方程 (10) 可知,當 θ=0,π,2π 時,組合光束中只有 ψn2,m2;當 θ=π/2,3π/2 時,組合光束中只有 ψn1,m1.當 θ 在 0— π 間連續變化時,組合光束將呈現多姿多彩的形態變化.圖4(a1)和圖4(b1)對應于權重因子 θ=π/4 時不同傳輸距離上光束的面強度分布圖.圖4(a2)和圖4(b2)對應于θ=π/2,圖4(a3)和圖4(b3)對應于 θ=3π/4.雙光束的模式指數分別是 n1=2,n2=1,m1=0,和 m2=-2,其中第一行傳輸距離為 Z=0,第二行為 Z=1.顯而易見,對應于兩束共線傳輸光束,其相對權重值不同,疊加光束的橫向強度截面 結構也出現多樣性的特點.由于 在圖4中疊加光束對應的模式常數 A=0,與圖2 相比,圖4 中的共線傳輸光束在傳輸過程中盡管有展寬的趨勢,但光束不會發生旋轉.

接下來探討不同初始相位差對共線傳輸光束的影響.由表達式(9)式可知,光束的初始定位依賴于疊加光束的初始相位差 σ.圖5給出了模式指數分別為 n1=2,n2=1,m1=-1,m2=1 (第一行),和n1=2,n2=1,m1=-1,m2=3 (第 二行)的共線傳輸光束在 Z=0 時對應于不同初始相位差的面強度分布圖.圖5的每一列分別對應不同的 σ 值,從左到右分別是 0,π/2,π.由圖可知,兩束時空自減速AELG光束共線傳輸時當 初始相位差σ變化時,光束會沿著傳輸軸線發生旋轉.對于初始相位差 σ 每變化一個 2π,共線光束在空間上也完成了旋轉一周[31].然而,圖5中光束的旋轉機制完全不同于圖2[34].

4 中空環形時空自減速 AELG 光束

由第 3節可知,共線傳輸的時空自減速AELG光束在傳輸截面上呈現出多樣性的結構特點,并表現出光束會沿著傳輸軸旋轉和展寬的特性.當兩束模式指數 m 相同的時空自減速AELG光束共線傳輸時,疊加光場出現了中空結構[35].圖6給出了模式指數 m 相同的兩束時空自減速AELG光束共線傳輸時的面強度圖和傳輸截面強度圖.圖6(a1)—圖6(a3) 呈現的是模式指數分別為m1=m2=1,n1=4,n2=2 的兩束自減速時空AELG光束共線傳輸時的面強度隨著傳輸距離的變化情況.圖6(b1)—圖6(b3)對應的兩束光束的模式指數分別為 m1=m2=-1,n1=n2=4 時的共線傳輸情況.圖6第三行為圖6(b1)—圖6(b3)在傳輸過程中沿傳輸光軸方向的截面光強分布圖.其中圖6的每一列從左到右對應的傳輸距離分別為 Z=0,0.5,1.0.圖6呈現了時空自減速中空環形光束,并且該光束隨著傳輸距離的增加,中空尺寸不斷擴大,截面光強的多環結構不斷融合,最終演變成中空單環光束.

5 結 論

時空自減速復變量艾里拉蓋爾高斯(AELG)光束由有限能量時空自減速艾里光束被廣義空間復變量拉蓋爾高斯函數調制而成.論文利用自由空間中時空自減速復變量拉蓋爾高斯光束解析解,探討了兩束時空共線傳輸自減速AELG光束在自由空間中的傳輸特性.研究發現,疊加光束的模式指數、相對權重因子、初始相位差都會使得光束傳播過程中具有不尋常的特性.當模式參數 A＞0 或者模式指數 m1=m2＞0,光束在傳輸過程中會圍繞傳輸軸呈現螺旋順時針旋轉.反之,當模式參數A＜0 或者模式指數 m1=m2＜0,光束將呈現逆時針旋轉的趨勢.特別地 當模式指數 m1=m2時,共線傳輸的光束呈現中空狀態,出現了中空自減速AELG 波束,隨著傳輸距離的增加,多環結構將會演變為單環,并且空心部分有展寬趨勢.