Parity-time對稱性對電注入半導體激光器的模式控制*

王學友 王宇飛 鄭婉華

1) (中國科學院半導體研究所,中國科學院固態光電信息技術重點實驗室,北京 100083)

2) (中國科學院大學材料科學與光電技術學院,北京 100049)

3) (中國科學院大學未來技術學院,北京 101408)

4) (中國科學院半導體研究所,集成光電子學國家重點實驗室,北京 100083)

非厄米的描述對于開放系統有重要意義,滿足parity-time對稱性的哈密頓量,其參數在一定范圍內可以使能量具有實的本征值.本文通過模擬,研究了損耗大小以及結構對稱性對條形波導中的parity-time對稱性的影響,并通過實驗發現了電注入條件下由parity-time對稱破缺導致的脊條波導模式間隔加倍、模式數減半的現象.

1 引 言

能量守恒對于一個閉合系統是很自然的要求,這就會導致系統所對應的本征能量為實數,這時所對應的算符就為厄米算符,描述這個系統的哈密頓量的厄米性可以確保系統能量為實數,相應的數學表達可寫為非厄米的哈密頓量會產生復的本征值,這意味著系統不再幺正,這是非厄米哈密頓量無法被人們接受的原因.但很多時候,人們關注的只是閉合系統中一個有限的子空間.為了唯象地描述這種開放系統,開始有科學家們引入非厄米的描述方式.1928 年,Gamow[1]使用復的能量本征值來描述粒子隧穿逃離原子核時的速度,通過量子力學的隧道效應解釋了α放射性衰變的隨機性.1943 年,Dirac[2]提出通過使用非厄米算符和自洽內積理論來解決場論中的發散問題.1954年,Feshbach等[3]通過引入非厄米的勢來描述中子和原子核的散射相互作用.此外還有許多通過非厄米理論來討論實際問題的工作[4?9].

早期的非厄米系統中,哈密頓量的虛部通常被用來描述系統的耗散,這只是對物理現象的一種非本質的唯象描述,因為這樣的描述并不具備幺正性.1998年,基于前人關于非厄米哈密頓量的研究,Bender和Boettcher[10]提出一類滿足PT對稱性的非厄米哈密頓量,PT對稱性中的P是parity,指的是空間反演變換;T是time,指的是時間反演變換,并證明在一定參數的取值范圍里,這類哈密頓量的本征能量為實數,哈密頓量形式為H=p2+x2(ix)ε(ε≥ 0),空間反演變換P的作用是:p → –p,x → –x;時間反演變換 T 的作用是:p → –p,i → –i.由此可以看出,空間反演算符P是線性算符,而時間反演算符T是反線性的.對于哈密頓量H,若其與PT算符滿足對易關系則稱這個哈密頓量具有PT對稱性,滿足PT對稱性的哈密頓量可以表達為當哈密頓量對應的本征函數ψ也滿足PT對稱性時,通過簡單的推導可以發現,這種情況下,能量E 的虛部為 0,滿足 E=E*,這樣的系統具有嚴格的PT對稱性.同理,當哈密頓量對應的本征函數不滿足PT對稱性時,通過簡單的推導可以證明,如果哈密頓量有本征能量E對應本征函數ψ,那么存在另一個本征函數ψ′,其能量本征值為E*,這意味著系統中的某能量會和它的復共軛同時成對地出現在能譜中.此時,哈密頓量依然滿足PT對稱性,但系統中仍可能出現復的本征能量,這種情況稱為PT對稱性的自發破缺.

2 實驗設計和模擬分析

首先采用金屬有機化學氣相沉積法(metal organic chemical vapor deposition,MOCVD)生長了外延晶片,其中波導層由Al(x)GaAs材料構成,其折射率n≈3.42,量子阱由GaAs和GaIn(x)As材料構成,外延片的詳細條件在我們之前的工作中有相應報道[23],結構如圖1所示.

圖1 外延片結構圖Fig.1.Epitaxy structure of wafers.

通過標準的光刻工藝制備條形激光器,為了滿足PT對稱條件,使其中一部分能夠通過電注入對激光器提供增益,作為增益區;另一部分為了避免載流子擴散帶來的影響,將這部分區域的高摻層通過電感耦合等離子體(inductively coupled plasma,ICP)工藝刻蝕掉,然后由SiO2覆蓋,起到絕緣層的效果,由于本征吸收的存在,這部分吸收區可以作為損耗區,結構如圖2所示.

圖2 器件結構圖,其中黃色部分為增益區,藍色部分為損耗區Fig.2.Device structure diagram,the yellow part is the gain region and the blue part is the loss region.

其中脊條總長l3=550 μm 的條形波導,增益區長度l1=450 μm,損耗區長度l2=100 μm,條寬w1=7 μm,襯底總寬度w2=300 μm,紅色區域為激光器有源區,脊條上黃色區域為增益區覆蓋電極,脊條上藍色部分為損耗區.

激光器測試時由夾具固定不動,通過控制注入電流來對增益區的增益進行調節,將產生的激光通過光纖導入光譜儀中,記錄不同電注入水平下,激光器的光譜特性,從而分析電注入條件下PT對稱對模式調控帶來的影響.

首先計算了條形波導有源腔和無源腔中共振模式的本征頻率,波導結構如圖3所示.其中黃色部分為增益區,藍色部分為損耗區,模擬區域的外圍通過完美匹配層對泄漏光進行吸收.通過對共振頻率的本征值求解,得到復數形式的特征頻率f=fR+ifI,其中 fR為特征頻率的實部,fI為特征頻率的虛部.波導的折射率 n=nR+inI,其中nR為折射率實部,nI為折射率虛部.可以通過對復折射率的設置,來構建一個滿足PT對稱性的勢,即要求 n (x)=n*(-x).分別設置增益區折射率為nl=nRl+inIl,損耗區折射率分布為 nr=nRr+inIr.由于在制備器件后,損耗往往較為固定,可以通過增益的調節來分析PT對稱的性質.因此,設另兩部分的折射率實部滿足 nRl=nRr=3.42,分別固定損耗區折射率虛部為 nIr=-0.01 以及 nIr=-0.05,調節 nIl的大小,計算模式的變化,結果如圖4、圖5所示.

圖3 條型波導模擬結構圖Fig.3.Simulation structure of stripe waveguide.

圖4 折射率虛部為 n Ir=-0.01和n Ir=-0.05 時,波長與 n Il 的關系圖Fig.4.Relationship between wavelength and nIl when nIr=-0.01 and n Ir=-0.05.

圖4和圖5為固定損耗區虛部為–0.01和–0.05時的模擬結果,其中圖4為 nIl和波長的關系曲線圖,圖5為 nIl和特征頻率虛部的關系曲線圖.可以看到,隨著 nIl的增大特征頻率的虛部數值首先增大,達到破缺點后分叉,其中一個模式的虛部迅速減小,演化為吸收模式 (absorption mode),另一個模式的虛部增大,作為發射模式(lasing mode).發射模式和吸收模式被主要限制在增益區和損耗區[18].圖中,黑線和紅線是固定虛部為–0.01時發射模式以及吸收模式曲線,藍線和綠線是固定虛部為–0.05時發射模式以及吸收曲線.根據圖4可以看出,隨著損耗區損耗的增加,PT對稱破缺發生時所對應的的 nIl的數值更小,且破缺點的模式簡并度更高.根據圖5還可以看出,特征頻率的虛部在破缺點時的數值還會明顯下降.

圖5 折射率虛部為 nIr=–0.01 以及 nIr=–0.05 時,特征頻率虛部與 n Il 的關系圖Fig.5.Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and nIl when n Ir=-0.01 and nIr=-0.05.

這個現象可以通過耦合模方程來理解[24]:

其中βc為耦合后的傳播常數,β1和β2表示兩種非耦合模式的無擾動解,κ 為耦合系數,當損耗腔和增益腔,除損耗外的參數全都相同時,可得

βr為傳播常數的實部,顯然在PT對稱破缺點時,增益損耗 (γ1-γ2)/2 與耦合系數 κ 之間要滿足一定的比例關系[25,26],使項帶來的虛部剛好為0,當固定損耗增加時,PT對稱破缺點對應的增益數值下降.并且破缺點處對應的虛部數值 (γ1+γ2)/2,由于 γ1數值減小以及 γ2的減小(固定損耗增大),也會明顯減小.

本文還對器件結構對稱性的影響進行了模擬分析,分別模擬了增益區與損耗區長度比例為5∶5,7∶3以及8∶2時的結果,如圖6—圖8所示.

圖6為增益區與損耗區長度比例分別為5∶5,7∶3以及8∶2時的結構圖,圖7和圖8為固定損耗區虛部為–0.05時模擬結果.其中圖7為 nIl和波長的關系曲線,圖8為 nIl和特征頻率虛部的關系曲線.圖中,黑線和紅線、藍線和綠線、紫線和棕線分別對應增益區與損耗區長度比例為 5∶5,7∶3 以及8∶2時的發射模式以及吸收模式.由于模擬結構的總長度不變,非對稱性的增加,在這里可以理解為損耗腔損耗的減小,增益腔帶來的增益與損耗腔帶來的損耗 (γ1-γ2)/2 與耦合系數 κ 之間仍然要滿足耦合模方程中PT對稱破缺點時對應的關系,損耗的減小會導致PT對稱破缺點處對應增益的變大,且破缺點處對應的特征頻率虛部數值變大.

圖6 增益區和損耗區長度比為 5∶5,7∶3 以及 8∶2 時的結構圖Fig.6.Simulation structure of ridged waveguide when length ratio of gain region and loss region is 5∶5,7∶3,and 8∶2.

圖7 長度比為 5∶5,7∶3 以及 8∶2 時,波長與 nIl 的關系圖Fig.7.Relationship between wavelength and nIl when the length ratio is 5∶5,7∶3,and 8∶2.

圖8 長度比為 5∶5,7∶3 以及 8∶2 時,特征頻率虛部與nIl的關系圖Fig.8.Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and nIl when the length ratio is 5∶5,7∶3,and 8∶2.

3 實驗結果

在激射條件下,通過對注入電流的控制來實現增益的調制,將激光器的輸出在熱電制冷器(thermoelectric cooler,TEC)制冷的條件下由光纖導入光譜儀中,測試了其腔模(非激射模)與注入電流大小的關系,發現當電流達到PT對稱破缺 (約 320 mA) 后,發生模式簡并現象,測試結果如圖9所示.

圖9 腔模強度與波長關系(a)注入電流為100 mA;(b)注入電流分別為310mA(黑 線)、320 mA(紅 線)以及330 mA(藍線)Fig.9.Relationship between the normalized intensity and wavelength of cavity modes:(a) The injection current is 100 mA;(b) the injection current is 310 mA (black line),320 mA (red line) and 330 mA (blue line),respectively.

由圖9(a)可以看到,模式間隔0.24 nm與理論計算數值(Δ λ ≈ λ2/(2nL)=0.25nm)基本匹配.由圖9(b)可以明顯地發現,在發生PT對稱破缺后,腔模模式簡并,模式間隔加倍,并且模式數減半.這是因為實驗制備器件和模擬都是兩個腔(gain腔和loss腔),是兩個腔內模式的耦合,PT對稱破缺點其實就是傳播常數中項虛部剛好為0的點,這就是兩個模式簡并為一個模式的原因,表現出來的現象就是模式數減半,相應地,模式間隔就會加倍.當腔的個數改變時,有可能實現更高階的模式簡并,比如模式數變為1/3,模式間隔變為3倍或更多的現象[26].

4 結 論

通過模擬分別分析了損耗的大小和非對稱性對于PT對稱性的影響,發現損耗區固定損耗的增加會導致PT對稱破缺點所對應的 nIl數值變小,并且會使破缺點對應特征頻率的虛部減小;激光器總腔長不變的情況下,非對稱性的增加會導致PT對稱破缺點所對應的 nIl數值變大,并且會使破缺點對應特征頻率的虛部變大.本文還通過電注入脊條波導實驗,觀察到了激射條件下,腔模發生PT對稱破缺的現象,即腔模的模式間隔加倍以及模式數減半.電注入條件下PT對稱性的引入有利于對半導體激光器實現更好的模式調控,并且使PT對稱性在小尺寸、復雜結構器件中的實現更為容易.