基于復合蜂窩結構的寬帶周期與非周期聲拓撲絕緣體*

裴東亮 楊洮 陳猛? 劉宇 徐文帥 張滿弓 姜恒? 王育人

1) (中國科學院力學研究所微重力重點實驗室,北京 100190)

2) (中國科學院大學,北京 100049)

3) (武漢第二船舶設計研究院,武漢 430064)

具有良好可重構性、良好缺陷兼容性及緊湊型的聲學拓撲結構可能成為聲學發展中一個有前景的方向.本文設計了一種可調諧、應用于空氣聲的二維寬帶復合蜂窩形晶格結構,其元胞擁有兩個變量:一個是中心圓的縮放參數s,另一個是“花瓣”圖案圍繞其質心的旋轉角度θ.研究發現當s為1.2,θ為±33°時,在結構的布里淵區中心點出現四重簡并態.在±33°兩側,能帶會發生反轉,體系經歷拓撲相變;同時,結構的相對帶隙寬帶逐漸增加,其中θ為0°和60°時,相對帶寬分別為0.39和0.33.本研究還計算了由這兩種轉角的聲子晶體組成的拼合結構的投影能帶,發現在其體帶隙中存在著邊界態并驗證了此拓撲邊界的缺陷免疫特性.最后通過變化s,構建了一種非周期性雙狄拉克錐型的聲拓撲絕緣體并驗證了其缺陷免疫性.本研究的體系相對帶寬顯著超過已知體系,將為利用聲拓撲邊界的聲波器件微型化打下良好的基礎.

1 引 言

量子霍爾效應[1-4]與量子自旋霍爾效應[5-8]的發現引起了凝聚態物理研究的新高潮,同時也將數學中的“拓撲”概念引入到物理研究當中.2016年的諾貝爾物理學獎被授予“理論發現拓撲相變和拓撲相物質”方向[9,10],顯示出拓撲這一概念在當今物理學中的重要性.具有拓撲性質的材料有很多新穎的性質[11-14],比如邊界的背散射抑制與無損傳輸等使得其在電子學、聲學以及機械系統等領域存在巨大的應用潛力.

拓撲邊界態首先發現于電子系統中,此后通過與電子類比,學者發現此類現象也會出現于光子系統[15-24].聲系統屬于玻色子系統,其在本質上不同于電磁系統.所以對于聲學系統,無法通過磁場來打破時間反演對稱性.有學者通過引入旋轉的氣流或者引入聲學贗自旋的方式來模擬聲學系統中的“磁場”打破系統的對稱性,進而形成聲學邊界態[25-27].Ni等[25]提出了一種聲學拓撲結構,它通過在設計的聲環諧振器中使用循環流動的空氣為聲音創建有效的測量磁場,從而實現拓撲聲波晶體.Chen和Wu[27]提出了一種正方形聲子晶體,然后同時打破結構的時間反轉對稱性和單位晶胞的幾何尺寸形成了可以調節的拓撲能帶.也有學者利用調節超耦合環的耦合強度來實現受到拓撲保護的邊界態[28-30].Peng等[29]利用改進性能的Floquet拓撲絕緣體實現了聲波的低損耗、寬帶、單向傳播.此后,Peng等[30]通過調整波導晶格中的耦合強度來觸發拓撲相變,進而利用不同拓撲相的結構構建了受保護的邊界態.此外,有學者構造具有C3v對稱性聲學系統,從而在布里淵區的角點形成簡并的狄拉克錐,然后通過旋轉散射體[31-34]或者調整共振空腔的尺寸[35,36],降低結構的對稱性至C3,發現此時狄拉克錐會打開形成帶隙,進而利用不同谷陳數的結構實現了拓撲谷邊界.也有學者通過類比于電子系統中的石墨烯系統,構造聲學系統中具有C6v對稱性的二維結構,從而在布里淵區的中心點形成四重簡并的狄拉克錐,然后改變散射體的轉角、直徑等方式打開簡并態,最后構建具有拓撲保護的邊界[37-43].Zhang等[37]在一個簡單的無流動對稱破碎的超材料晶格中實現了聲贗自旋多極態,通過簡單地收縮或擴展超分子來調節分子間偶聯的強度可以誘導贗自旋偶極子和四極子之間的帶內轉換效應來引發拓撲相變.Deng等[38]增加或減少中心原子的半徑,同時保留結構整體的C6v對稱性來實現布里淵區中心點處四重簡并態的打開與拓撲相變的發生.Zhang等[39]改變結構的半徑和旋轉角度以實現贗自旋狀態之間的頻帶反轉.Zhang等[40]通過將散射體從普通的三角形結構調節到“三腿”結構,使帶寬大約增加到以前的1.5倍.接著作者利用此結構構建了寬帶的聲延遲線.Xia等[41]首次提出了基于蜂窩狀聲子晶體可編程聲拓撲絕緣體概念,通過改變單元圓柱的直徑實現了聲子晶體的能帶反轉,并將拓撲平庸與非平庸聲子晶體分別定義為數字單元“0”和“1”.與傳統的聲拓撲絕緣體不同,通過變換可編程聲拓撲絕緣體的編碼,可以靈活地實時調控拓撲絕緣體中的聲傳播路徑.最近,Han等[44]構造了由兩個或多個不同形狀的原始單元組成的各種配置,顯示了非周期谷拓撲絕緣體的實現,為聲拓撲絕緣體的實現提供了更多的可能性.然而現有的聲學拓撲結構的相對帶隙寬度還有提高的空間,這對于設計對制造缺陷具有良好兼容性、緊湊型的聲學拓撲結構比較重要;同時也沒有學者研究基于蜂窩結構的,在布里淵區中心具有四重簡并態的非周期雙狄拉克錐型拓撲絕緣體結構.

基于此,本文設計了一種二維的應用于空氣聲的復合蜂窩形晶格結構(CHL),其元胞具有縮放參數s (x方向擴大為原來的倍,y方向縮小為原來的倍)與位于晶格頂點的散射體圍繞形心的轉角θ兩個變量.首先研究s=1.2、相對帶寬(帶隙寬度與帶隙中間頻率之比)為0.33的一種由不同θ的CHL拼接組成的寬帶拓撲絕緣體的性質,然后使用s為0.8,1.0,1.2的三種CHL構造了一個由“45×5”個混合聲子晶體構成的非周期聲拓撲絕緣體,研究了這種混合邊界的拓撲性質.研究發現s為1.2時,轉角θ為0°與60°兩種聲子晶體構成的邊界對直角、“Z”形角、亂序、缺失等缺陷有很好的魯棒性;s為0.8,1.0,1.2的三種結構的混合邊界依然是受到拓撲保護的,入射聲波能繞過亂序、缺失這些缺陷繼續無反射地傳播.

2 研究體系

2.1 體系的設計

CHL的元胞如圖1(a)所示,其最簡布里淵區如圖1(b)中的綠色區域Γ-M-K所示.晶格常數a=43 mm,晶格基矢本文首先構建一個六角形基本結構,然后在晶格中心取一半徑r1=6 mm的圓,再將此圓進行s=1.2的縮放,即形成一個橢圓結構.然后將橢圓繞著自己的中心旋轉30°使得橢圓的水平軸指向六角形的一個角點b.再將此旋轉后的橢圓沿著頂點b與六角形中心o的連線移動,移動距離為ob線段長度的0.8倍.由于移動的距離沒有達到ob的長度,因此橢圓的中心并沒有與b點重合.再將橢圓繞著b點旋轉120°,240°,將三個相交的橢圓組合成一個整體,形成一個“類三角”的花瓣圖形.然后將“花瓣”繞著o點旋轉到六邊形的六個頂點.然后在o點重新放置一個半徑r2=10 mm的圓,即可得到本體系的晶格元胞.此元胞“花瓣”的頂點朝向均與晶格的高對稱方向重合,結構整體具有C6v對稱性.元胞中的“花瓣”形與位于中心的圓柱形結構使用的是硬質散射體,其與空氣的阻抗失配很大,因此在使用有限元軟件Comsol進行模擬仿真的時候可以忽略結構中剪切波的影響,研究結構中的縱波傳播特性.

圖1 (a)正六邊形表示晶格的元胞,其中a1,a2是晶格基矢.在六邊形頂點的藍色“花瓣”形結構與位于中心的圓形結構表示位于空氣中的硬質散射體;(b)晶格的最簡布里淵區Γ-M-K;(c)晶格結構的示意圖Fig.1.(a) The hexagon represents the cell of the lattice,where a1,a2 is the lattice basis vector,the blue “petal” shape at the apex of the hexagon and the circular structure at the center represent the hard scatterers surrounded by air;(b) the irreducible Brillouin zone Γ-M-K;(c) schematic diagram of crystal structure.

2.2 能帶反轉

根據量子系統中的規則,對于具有C6v對稱性的晶格結構,在布里淵區的中心Γ點的本征態有2個二維不可約表示:E1和E2.二重簡并的偶極子態,對應于 E1不可約表示,具有奇宇稱,簡稱為p態,如圖2(a)中上面兩個插圖所示.二重簡并的四極子態,對應于 E2不可約表示,具有偶宇稱,簡稱為d態,如圖2(a)中下面兩個插圖所示.對于本文的聲子晶體,通過將每個“花瓣”繞著自己的中心旋轉一定的角度θ,發現在θ為±33°時Γ處的第2—5能帶發生簡并,形成一個四重簡并態,即此時p態與d態形成簡并.改變θ發現p態與d態在特定角度會發生反轉,如圖2(c)所示.體系的p態與d態只是在θ為±33°時偶然地發生簡并.其他角度時p態與d態分開,但是p態與d態仍然保持為雙重簡并的狀態.在 0—33°(—33°—0)的范圍內d態所對應的頻率低(高)于p態所對應的頻率.在 33°—60° (—60°——33°)的范圍內 d 態所對應的頻率高(低)于p態所對應的頻率.也就是說體系在±33°兩側,經歷了p,d態互換的能帶反轉過程.這種能帶反轉現象意味著拓撲相變的發生.

圖2 CHL不同轉角時的頻帶圖與其拓撲相變 (a) θ=0°,其中下面兩幅插圖表示d態的聲壓場分布,上面兩幅插圖表示p態的聲壓場分布;(b) θ=60°,插圖表示p,d態的聲壓場分布;(c)結構的拓撲相圖,表示隨著轉角變化,頻帶發生反轉;(d)不同轉角下帶隙的相對帶寬Fig.2.The band structures with different θ and its topological phase transition of the CHL:(a) θ=0°,in which the lower two illustrations show the sound pressure field distribution of the d state,and the upper two illustrations show the sound pressure field distribution of the p state;(b) θ=60°,in which the upper and lower illustrations show the sound pressure field distribution of the d and p states,respectively;(c) the topological phase diagram of the structure,indicating that the frequency band is reversed as the rotation angle changes;(d) the relative bandwidth of the band gap at different θ.

2.3 寬帶邊界態的選擇與構建

對于CHL,當轉角位于0—33°時,d態的頻率位于p態的頻率之下(fd＜fp),導致(fd— fp)/2=M＜0,Cs=±[sgn(M)+sgn(B)]/2=±1 (B來自體系有效哈密頓量的二階微擾項的對角項,且小于零[42]),屬于非平庸拓撲帶隙[13];當轉角位于33°—60°時,d態頻率位于p態頻率之上(fd＞fp),導致M＞0,Cs=0,屬于平庸拓撲帶隙.從結構的拓撲相圖圖2(c)可知,轉角變化時結構的帶隙寬帶也在變化,通過計算可以得到不同轉角所對應的相對帶寬如圖2(d)所示.其中,θ=0°時,Γ 點存在兩個二重簡并態,而且在它們之間存在很寬的帶隙(5284—7866 Hz),相對帶寬為39.3%.從圖2(a)的聲壓場分布圖中可以看出,位于較低頻率處的是雙重簡并的d態,較高頻率的是p態,因此這個帶隙是非平庸的.分析θ=60°時元胞的聲壓場圖2(b)發現,位于較低頻率處的是雙重簡并的p態,較高頻率的是d態,因此這個帶隙是平庸的,其相對帶寬為33.4%.本文選擇相對帶寬為39.3%、θ=60°的CHL與相對帶寬為33.4%、θ=0°的CHL兩種聲子晶體構成的邊界進行研究.

2.4 自旋依賴的拓撲邊界態

選擇θ=60°的5層平庸型聲子晶體與θ=0°的5層非平庸型聲子晶體沿著ky方向拼接起來,將其構成的邊界稱為Ⅰ型邊界,并計算了該結構沿kx的投影帶結構,如圖3(a)所示;選擇θ=60°的10層平庸型聲子晶體與θ=0°的10層非平庸型聲子晶體沿著kx方向拼接起來,將其構成的邊界稱為Ⅱ型邊界,如圖3(b)所示.從兩個不同方向的投影能帶圖中都發現了存在于體帶隙范圍內的邊界態,而且從邊界處的能流分布中可以發現其存在“自旋與動量鎖定”的特性.從邊界態中可以看出:1)由于邊界上C6v對稱性被破壞,導致邊界態并沒有完全占據體態的帶隙范圍,Ⅰ型邊界中6278—6448 Hz范圍依然存在禁帶,Ⅱ型邊界中6181—6612 Hz是禁帶;2)圖中青色箭頭大小和方向代表聲波能流的大小和方向(黑色箭頭是能流方向的示意圖),可以看出對于Ⅰ型邊界在kx為—0.04π/a的位置低頻點處的能流是逆時針向右傳播的,高頻點處的能流是順時針向左傳播的.而其能流的方向與0.04π/a處的能流的方向剛好相反.對于Ⅱ型邊界,在ky為的位置低頻點處的能流是順時針向左傳播,高頻點處的能流是逆時針向右傳播,與處的能流的方向剛好相反.所以,本研究利用不同轉角的CHL構造了一種類似于電子系統中QSHE的螺旋邊界態.而且,由于此兩種聲子晶體具有較大的相對寬帶,所以使用較少的本體系即可觀察到受到拓撲保護的邊界態.

2.5 拓撲邊界的免疫缺陷特性

拓撲邊界的一個重要特點就是其對缺陷具有免疫性.拓撲邊界對直角、“Z”形角與存在于邊界的缺失、亂序等具有免疫性,使得受到拓撲保護的邊界態能繞過這些缺陷幾乎沒有反射地進行傳播.圖4(a)模擬的是使用幅值為1、f=6900 Hz的平面波從左側入射到一個具有直角與Z形角的邊界上的情況,從聲壓分布圖中發現聲波能沿著θ=60°與θ=0°的聲子晶體構成的邊界順利地傳播過去.圖4(b)接著在圖4(a)的傳播路徑上引入亂序與缺失的缺陷,發現聲波也可以繞過這這些缺陷繼續向下傳播.圖4(c)是對比實驗,其表示的是聲波入射到單獨由θ=60°的聲子晶體構成的與圖4(a)、圖4(b)相同大小的結構上時,聲壓的分布情況.圖4(d)是圖4(a)和圖4(c)結構的聲強透射譜.聲強的探測位置選在邊界的出口附近,如圖4(b)中黃色區域內黑線(output)所示,具體位置為灰色區域下0.081a,寬度為1.5a.從圖4(d)可以看出:對于圖4(c)結構,其聲強透射率在體態與帶隙范圍相差比較大,特別是在其帶隙內聲能幾乎不能透過去;在圖4(a)和圖4(b)中,聲波依然能夠沿著邊界傳播到出口;不同頻率的透射聲波能量略有不同.由于圖4(a)和圖4(b)中的缺陷不同,導致兩者的透射率存在差異.本文所設計的邊界態是具有相對帶寬33.4%的寬帶結構,所以邊界態十分穩定,能夠免疫文中的那些缺陷.這種寬帶結構無論是在聲波隔離還是在聲波操控方面都具有很大的優勢,為實現聲波的靈活控制打下了良好的基礎.

圖3 (a) Ⅰ型邊界沿kx方向的投影帶結構,圖中的灰色區域表示體態,紅色點線表示邊界態,兩側插圖表示θ=60°的5層平庸型聲子晶體與θ=0°的5層非平庸型聲子晶體沿著ky方向拼接起來,構成的超胞及a1,a2,b1,b2點的聲壓分布;(b) Ⅱ型邊界沿ky方向的投影帶結構,兩側插圖表示θ=60°的10層平庸型聲子晶體與θ=0°的10層非平庸型聲子晶體沿著kx方向拼接起來,構成的超胞及c1,c2,d1,d2點的聲壓分布,插圖中的黑色弧形箭頭表示邊界處的能流方向Fig.3.(a) The projection band structure of the type I edge along the kx direction.The gray area in the figure represents the bulk state,and the red dotted line represents the edge state.The illustrations on both sides indicate that the five-layer trivial phononic crystal with θ=60° and the five-layer nontrivial phononic crystal with θ=0° are spliced along the ky direction to form the supercell and the sound pressure distribution at a1,a2, b1,b2;(b) the projection band structure of the type II edge along the ky direction.The illustrations on both sides indicate that a 10-layer trivial phononic crystal with θ=60° and a 10-layer nontrivial phononic crystal with θ=0° are spliced together in the kx direction to form the supercell and the sound pressure distribution at points c1, c2,d1,d2.The black curved arrow in the illustration indicates the energy flow direction at the edge.

2.6 非周期雙狄拉克錐型拓撲絕緣體

保持“花瓣”形整體結構不變,改變 r1=6 mm圓的縮放參數s,并使用不同s的結構構造非周期雙狄拉克錐型拓撲絕緣體.首先研究在保持角度θ=0°不變,s從0.7增加到1.7的情況下,元胞布里淵區中心點Γ處d,p態的頻率變化,結果如圖5(a)所示.隨著s的增加d,p態之間的帶隙寬度逐漸增加,并且沒有相變發生.此時,計算可知,s為1.5,1.6時,相對帶寬達到了0.52,0.56,超過了0.5.然后保持s不變,改變θ,發現這些結構在θ為±33°兩側發生相變,與s=1.2時的拓撲變化相似.s=0.8與s=1.0的相圖如圖5(b)和圖5(c)所示.

圖4 幅值為1,f=6900 Hz的平面波從左側入時結構的聲壓分布及透射譜 (a)由θ=60°與θ=0°的聲子晶體的拼接結構組成的混合聲子晶體,兩種聲子晶體的相接觸的邊界稱為拓撲邊界,左側的青色箭頭表示平面波入射,從圖中聲壓分布可以看出:聲波能夠繞過直角與Z形角沿著邊界進行傳播;(b)在圖(a)的基礎上繼續引入亂序與缺失的缺陷,聲波依然能夠繞過這些缺陷傳播;(c)由θ=60°聲子晶體單獨構成的結構,聲波不能傳播;(d)圖(a)—圖(c)結構的聲強透射譜Fig.4.The sound pressure distribution and transmission spectrum of the structure when a plane wave is incident from the left side with amplitude 1 Pa and f=6900 Hz:(a) A mixed phononic crystal composed of a spliced structure of phononic crystals with θ=60° and θ=0°,and the edge between the two phononic crystals is called the topological edge.The cyan arrow on the left side indicates the plane wave incidence.It can be seen from the sound pressure distribution that the sound wave can propagate around the right angle and the Z-angle along the edge;(b) introduce disorder and cavity on the basis of Fig.(a),sound waves can still propagate around these defects;(c) a structure consisted of phononic crystals with θ=60° alone where sound waves cannot propagate;(d) sound intensity transmission spectra of the structures of Fig.(a)—Fig.(c).

使用s為0.8,1.0,1.2三種結構構造一個由“45×5”個混合聲子晶體構成的非周期聲拓撲絕緣體.其結構如圖6(a)所示,右下角的插圖表示組成,其中A,B,C分別表示s為0.8,1.0,1.2三種不同的聲子晶體,數字 1,2分別代表 θ為 0°,60°兩種不同的轉角.研究中使用f=6900 Hz的平面波從右側入射,圖6(a)表示聲壓幅值的分布,從圖中可以看出聲壓主要分布在不同s參數聲子晶體的水平拼接位置附近,離開此位置聲壓迅速衰減,這點從圖6(b)中也能得到.由此得出此處構造的非周期性結構能夠限制特定頻率的聲波沿著邊界傳播;圖6(b)表示x=20a處沿著y方向的聲壓幅值分布,其值經過最大值歸一化;圖6(c)是在圖6(a)的基礎上進一步引入缺失與亂序的缺陷時結構聲壓幅值的分布,從中可以看出聲波能夠繞過缺陷繼續向前傳播.在先前的工作中,由于使用相同原始單位單元的限制,并未實現非周期雙狄拉克錐型拓撲絕緣體的構建.本節使用不同s參數這種靈活簡便、易于設計的方式實現了非周期的聲拓撲絕緣體的設計,為聲拓撲絕緣體的構建提供了新穎、多變的“原材料”.

圖5 (a) Γ處d,p態對應的頻率值隨s的變化情況;(b) s=0.8時結構的拓撲相圖;(c) s=1.2時結構的拓撲相圖Fig.5.(a) The frequency corresponding to the d and p states with the changes of the parameter s at Γ;(b) the topological phase diagram of the structure at s=0.8;(c) the topological phase diagram of the structure at s=1.2.

圖6 非周期拓撲絕緣體結構的聲壓分布 (a)為由s為0.8,1.0,1.2三種聲子晶體構造的非周期聲拓撲絕緣體組成及其在右側f=6900 Hz聲波入射下的聲壓幅值分布.中間的橫虛線表示水平拼接位置,豎虛線表示豎直拼接位置,第一、二幅插圖代表θ為0°,s為0.8,1.0時,晶格的元胞.三種聲子晶體的具體位置如第三幅插圖所示,其中A,B,C分別表示s為0.8,1.0,1.2三種結構,數字1,2分別代表θ為0°,60°兩種不同的轉角,右側的青色箭頭代表平面波入射;(b)表示x=20a處沿著y方向的聲壓幅值分布,其值經過最大值歸一化;(c)在圖(a)的基礎上進一步引入亂序與缺失的缺陷時結構聲壓幅值的分布Fig.6.Sound pressure distribution of aperiodic topological insulator structure:(a) A periodic acoustic topological insulator composed of three phononic crystal structures with s=0.8,1.0,and 1.2 and its sound pressure amplitude distribution when sound wave with f=6900 Hz is incident from the right side.The horizontal dashed line in the middle indicates the horizontal stitching position,and the vertical dashed line indicates the vertical stitching position.The first and second insets represent the lattice cells with θ=0° and s of 0.8 and 1.0,respectively.The specific positions of the three phononic crystals are shown in the third illustration,where A,B,and C respectively represent s=0.8,1.0,and 1.2,and the numbers 1 and 2 represent θ=0° and 60°,respectively.The cyan arrow on the right indicates the incident plane wave;(b) the sound pressure amplitude distribution along the y direction at x=20a,and its value is normalized by the maximum value;(c) the distribution of the sound pressure amplitude when introducing disorder and cavity on the basis of Fig.(a).

3 結 論

設計了可以應用于空氣聲的復合、寬帶蜂窩形周期聲拓撲絕緣體及非周期雙狄拉克錐型拓撲絕緣體.此結構可以調節的參數為半徑r1=6 mm的圓的縮放參數s與位于六邊形頂點的散射體的轉角θ.首先固定s為1.2,改變散射體的旋轉角度θ進行研究.通過計算發現θ為±33°時,在結構的最簡布里淵區中心點Γ點出現四重簡并態;在此θ兩側,能帶會發生p,d態的反轉,體系經歷拓撲相變.研究發現體系的相對帶寬在±33°兩側從0逐漸增大,其中θ為 0°與60°時,相對帶寬分別為0.39與0.33.接著使用θ為0°的非平庸型聲子晶體與60°的平庸型聲子晶體構建了兩種邊界,并計算了它們的投影帶結構.研究發現在體帶隙的頻率范圍內存在自旋-動量鎖定的單向傳輸邊界態,而且此種邊界具有對直角、亂序、缺失等缺陷的魯棒性.接著本文改變s,發現元胞布里淵區中心點Γ處d,p態的頻率隨著s的增大逐漸增加,s增加到1.5時帶寬達到了0.52.接著使用s為0.8,1.0,1.2三種結構構造了一個由“45×5”個混合聲子晶體構成的非周期雙狄拉克錐型拓撲絕緣體,并發現其對亂序、缺失具有免疫性.綜上所述,本文在仿真時使用的是相對于空氣聲的硬質散射體,其與空氣具有較大的阻抗失配,所以在選材方面比較寬泛.同時本體系具有寬帶、結構簡單、易于設計的優點,使用較少的CHL即可觀察到受到拓撲保護的邊界態,為利用聲拓撲邊界的聲波器件的小型化提供了一種方便、靈活的選擇.