基于支持度的橢球擬合微機械電子系統加速度計現場標定方法研究

周泉，姚敏立，沈曉衛

(火箭軍工程大學，陜西 西安 710025)

0 引言

隨著微機械電子系統(MEMS)加速度計的不斷發展，越來越多的慣性測量系統開始采用MEMS加速度計作為其主要部件，而MEMS加速度計的性能好壞直接影響著系統測量精度。因此，MEMS加速度計的測試標定已經成為系統投入使用前必不可少的環節。相比于傳統的加速度計，MEMS加速度計具有獨特的優勢，如體積小、質量輕、價格低等優點[1]，但是仍然有一些缺陷，存在其參數會隨著系統的使用或者存放時間的推移而變化的問題。最為明顯的就是MEMS加速度計的零位漂移，即標定相隔時間越長，加速度計的零漂變化就越明顯[2]。未來戰場錯綜復雜，不可能存在大量時間或者使用高精度設備去對需要重新標定的MEMS加速度計進行校正，因此，需要一種不依賴精密儀器、簡易高效的現場快速標定方法。

國內外已有很多學者對現場標定方法進行了深入研究。2017年，Nadeau等[3]提出使用靜態重力對系統中傳感器的加速度計進行現場標定的方法，該方法簡單易行，通用性較好，但沒有考慮到其他維空間，因此系統在復雜環境中工作時精度起伏較大。2018年，Kesaniemi等[4]提出了超橢圓體的直接最小二乘擬合法。該算法通過在適當的二次約束條件下最小化代數距離進行擬合，詳細地介紹了現有橢圓和三維橢球的特定擬合方法，但是其精度并沒有太大變化。同年，劉宇等[5]提出了一種基于橢球擬合的微慣性測量單元(MIMU)系統自標定方法，該方法通過多次擬合方式進行總體標定，雖然精度提高了3個數量級，但是用時較長，算法復雜，不適合工程實踐。

為了滿足現場標定快捷、高效的需求，本文提出一種改進的橢球擬合標定方法，即運用支持度的概念，使標定數據更加精細化，并結合橢球現場標定法實現了現場快速標定。

1 橢球擬合標定原理

在沒有誤差的理想狀態下，MEMS三軸加速度計測量值的矢量和等于其當地的重力加速度常量g.因此，理想相互垂直的三軸加速度計任意旋轉多個角度，其測得的數據點集合在直角坐標系中的軌跡是一個標準的圓球面。但是在實際的測量工作過程中，MEMS加速度計會存在零位漂移誤差、標度因數誤差和交叉耦合誤差等問題，在這些誤差的影響下，會使標準的理想圓球面產生一些微小的畸形而變成橢球面[6]。針對這些誤差特性需要建立數學模型來進行誤差補償[7]：

(1)

式中：G表示加速度計實際輸出值組成的矩陣；K表示誤差系數組成的矩陣；g0表示加速度計零位漂移組成的矩陣；G0為理想狀態下輸出值組成的矩陣。

對(1)式中G0取模的平方，可得

‖G0‖2=(G-g0)T(K-1)TK-1(G-g0).

(2)

因為橢球曲面是一種特殊的二次曲面，所以設該曲面方程為

F(ζ,ψ)=ζTψ=

ax2+by2+cy2+2dxy+2exz+

2fyz+2px+2qy+2rz+v=0，

(3)

式中：ζ=[a,b,c,d,e,f,p,q,r,v]T為橢球的曲面參數向量，a、b、c、d、e、f、p、q、r、v為曲面方程的參數變量；ψ=[x2,y2,z2,2xy,2yz,2x,2y,2z,1]為運算組合向量，x2、y2、z2、2xy、2yz、2x、2y、2z為該運算組合向量的參數變量。

橢球體現場標定算法的核心是通過采集大量的數據進行橢球擬合，從而計算出最優的一組橢球參數，使得采集的數據與橢球的中心距離達到最小值[8]。而最佳的擬合橢球曲面F(ζ,ψ)的矢量形式為

(X-X0)TA(X-X0)=1，

(4)

(5)

(6)

式中：X為擬合橢球曲面上的任意點；X0為理想橢球面中心點的坐標；A為擬合后橢球體的參數矩陣，其大小正負與橢球體的半徑和其旋轉的角度有關[9]。結合誤差模型和橢球最佳擬合曲面的矢量公式，可得

(7)

(8)

橢球擬合的基本原則就是使數據到橢球表面的平方和最小，但這個原則不能確保每一個數據組合都在橢球的曲面上，因為數據組合也有可能是在圓錐曲面上，所以需要引進橢球曲面的約束條件，確保曲面為橢球面，這個約束條件是基于最小二乘法的橢球擬合算法獲得。

令u=ab+bc+ac-f2-e2-d2，l=a+b+c，若4u-l2>0，則其形成的曲面必為橢球曲面[10]。結合橢球曲面的一般公式和橢球的約束條件，則有

(9)

又可以表示為

(10)

E=

(11)

式中：E為橢球二次曲面k組數據組成的系數矩陣。為通過結合橢球約束條件，把橢球擬合問題轉化成為約束條件下求極值問題，先對ETE進行奇異值分解，再計算求解ETE的特征值和特征向量，最后對特征值和特征向量進行反歸一化處理，轉化成橢球的標準形式，求解出橢球參數矩陣和橢球的幾何中心[11]。

2 基于支持度的橢球體法

第1節方法在對MEMS加速度計進行現場標定時，由于現場環境復雜多樣，在采集各軸加速度計的輸出值時，會采集到存在其他方向較大的加速度計數據值，而傳統的橢球擬合算法受其影響較大，擬合后得到的橢球參數向量誤差較大，導致標定精度較低[11-12]。

為了解決這個問題，本文創新性地引入支持度的概念，通過定義觀測值間的相互支持程度，把數據之間的關系和自身有用性程度量化，根據數據的關系及其有用程度進行數據融合。對于那些誤差較大的采集值，經算法計算得到它相應的支持度會很小，支持度小意味著在數據融合時所占比例就會很小，這樣就能有效地解決這個問題。實驗表明，融合后的觀測值較原來觀測值精度提升了一倍，證明了經過改進后的算法，提高了橢球擬合的參數向量和校正矩陣的精度。

引入支持度的概念，對于兩個觀測值φ1和φ2：若φ1和φ2相差較大，則表明這兩個觀測值的相互支持程度很低，甚至相互背離；若φ1和φ2很接近，則表明這兩個觀測值相互支持程度較高，定義數據間的這種支持程度為支持度。本文采用分段支持的方法，即把采集的數據點進行分段，每段再采用支持度融合方法。這樣就可以充分利用數據之間支持程度的關系去抑制誤差較大數據，從而提高精度。將數據組分為n組，每組包含m個數據，則第i組可以表示為

(12)

式中：Hi為第i組數據的支持度矩陣。

(13)

dij=|gi-gj|，i=1,2,3,…,m,j=1,2,3,…,m，

(14)

若i=j，則稱其為自支持度，若i≠j，則稱其為互支持度。

為解決觀測值量綱的影響，方便之后的數據處理，對觀測值之間的距離進行標準化，取

j=1,2,3,…,m,i≠j.

(15)

根據高斯誤差理論[13-14]，當測量值服從正態分布時，殘差落在3倍方差即[-3σ,3σ]區間的概率超過99.7%，落在此區間外的概率只有不到0.3%.因此，若是某個數據與其他數據是近似的，則此數據的殘差和應落到這個區間，反之，若某數據與其他數據不近似，則該數據的殘差不在這個區間內[15]。對第i行的支持度求均值為

(16)

每行的標準差為σi，則有

(17)

則該行的數據殘差為

(18)

現場標定的原則是在保證一定精度的情況下，盡量節省時間。為了高效地進行數據融合來減少融合時間，在數據處理上，盡可能使運算簡單，而階躍型支持度函數比一般支持度函數運算都要簡單快捷。如表1所示，階躍型函數可以節省1倍時間，因此選取階躍型支持度函數。將支持度函數列出為

(19)

(20)

(21)

式中：rij(1)和rij(2)為一般支持度函數；rij為階躍型支持度函數。

表1 處理時間統計

根據(21)式可得支持度矩陣為

(22)

根據(22)式可得觀測值的總支持度為

(23)

根據支持度的概念，支持度函數的第i行元素是第i個數據與其他數據相近程度的量化值。因此，第i行每個元素的量化值之和即為該數據總的支持度。其值越大，表示該觀測值與其他觀測值的相似程度就越大；相反，若量化值的和越小，表示該觀測值相似程度越差，背離了其他觀測值。對第i行的總支持度求均值得：

(24)

用判斷函數F(i)對第i行的支持度進行判別：

(25)

式中：μ為調節系數。若F(i)為1則保留該數據，若F(i)為0則去除該數據。通過F(i)判斷函數保留的數據重新組成一組數據，進行橢球擬合，其橢球系數為

E=

(26)

3 實驗驗證

為了驗證所提算法的可行性和有效性，本文對實驗室自主研發的MEMS加速度計進行標定，其性能指標如表2所示。圖1為實驗設備圖，數據采集軟件是使用美國微軟公司的Visual Studio 2013集成開發環境，結合美國國家儀器公司的Measurement Studio插件設計的，接口采用串口數據輸出的模式。MEMS加速度計的標定具體步驟為：

1)將安裝有MEMS加速度計的慣性導航系統緩慢以任意角度轉動，盡量使采集的數據點均勻分布在橢球面上。

2)打開MEMS加速度計采集軟件，設置20 Hz的采集頻率，對MEMS加速度計進行數據采集，再通過串口將采集數據上傳到上位機。

3)根據第2節的算法，利用數學計算軟件MATLAB對數據進行處理，計算出橢球的誤差系數矩陣和零位漂移，對加速度計進行誤差補償。

表2 加速度計的性能指標

圖1 MEMS加速度計標定

3.1 橢球擬合實驗比較

為了深入分析擬合情況，通過與傳統橢球標定法的性能比較，驗證本文提出基于支持度的橢球標定法性能的優劣。首先用兩種算法對同一組MEMS加速度計采集的數據進行MATLAB軟件擬合實驗，再建立擬合橢球面圖和殘差分析圖，如圖2、圖3、圖4所示。分析對原觀測值的擬合情況，最后通過表3記錄標定后的均值及均方差，分析其性能的優劣。

圖2 傳統橢球標定法

圖3 本文的橢球擬合標定法

對比圖2和圖3可以發現，改進后橢球擬合標定法橢球上的點分布得更加均勻。從表3中可以看出，雖然改進后橢球球面上的點數減少了，但是橢球面上點數的比例卻提高了8%左右，說明改進后的算法橢球擬合程度更好。

圖4 兩種方法殘差的比較

表3 點數統計

為了進一步分析擬合穩定程度，對兩種方法標定后輸出殘差進行比較，結果如圖4所示。殘差的具體計算方法為：連接數據點到橢球幾何中心，設這條連接線穿過橢球面的交點為M(xM,yM,zM)，定義數據點P(xP,yP,zP)與M點的距離為橢球擬合殘差f(P,M)，則

(27)

分析圖4，可以發現改進后橢球擬合標定法的殘差要比傳統方法波動的幅度小，說明改進后橢球體法擬合的情況要比傳統橢球體法更加穩定。

標定誤差gv是指加速度計補償后的輸出gx(以x軸為例)與當地加速度計重力值的差值，即

gv=gx-g.

(28)

圖5為同一組數據分別采用傳統方法和改進方法得出的標定誤差曲線，可以看出改進后的方法要比傳統方法的精度更高。表4為兩種方法得出的標定誤差均值及均方差統計結果，可以發現改進后的方法求得的數據更接近理論值，且精度提升了一倍。

3.2 時間累積標定實驗比較

由于MEMS加速度計的標定參數會隨著時間發生一定的變化，為了分析其參數變化大小程度，需要進行一個時間累積的標定比較實驗。首先把慣性導航系統放置在轉臺上的六面體中，再通過6位置高精度轉臺標定法對慣性導航系統進行標定，得到其標定參數(見表5)。

圖5 兩種方法標定誤差的比較

表4 兩種方法標定誤差的均值及均方差統計

表5 前期轉臺的標定參數

把慣性導航系統放置20 d后，將安裝加速度計的各軸分別垂直靜置在高精度轉臺上，通過采集軟件采集其重力加速度數據，并上傳到上位機中，繼而再通過改進后橢球擬合標定法對其進行現場標定，得到其標定參數。標定完成后，用同樣方法獲得其他各軸的標定參數(見表6)。

采集改進后橢球擬合標定法標定的靜態數據后，對MEMS加速度計的標定參數重置，再通過6位置高精度轉臺標定法對MEMS加速度計進行重新標定，繼而獲得其各軸標定參數(見表7)。

表6 20 d后本文方法的標定參數

表7 20 d后轉臺的標定參數

通過MATLAB軟件對3組采集的數據進行處理(以x軸為例)，如圖6所示。

圖6 標定后輸出比較

通過表8記錄6位置高精度轉臺標定方法與本文標定方法在標定加速度計時使用的時間，為了時間記錄的準確性，將3個加速度計按照1～3的序號進行標號，記錄每種方法對這3個加速度計進行標定的時間。

表8 標定時間

綜合分析表5、表6、表7和表8，隨著時間的推移，加速度計的零位漂移波動較大，標度因數次之，而軸間交叉耦合因數變化最小。通過觀察圖6，可以清晰看出靜置20 d后MEMS加速度計的輸出精度明顯降低。本文標定的加速度計與20 d后6位置高精度轉臺標定的加速度計相比，精度雖然有所下降，但是精度下降幅度較小。此外，本文方法標定的時間要比6位置高精度轉臺標定的時間縮短7倍多。盡管本文方法比高精度轉臺標定精度略有下降，但是本文方法的標定精度比加速度計原始輸出的精度要高得多，并且有著其他方法無法比擬的優勢，如在任意環境下皆可進行標定，且標定方法簡單可靠。

4 結論

本文主要針對戰時或者復雜條件下高精度轉臺無法對裝備進行標定的情況下，創新性地提出一種便捷式現場標定。采取基于支持度的橢球現場標定，既能夠完成高精度轉臺在復雜環境下無法完成的標定任務，又能夠滿足這些設備的精度要求。通過兩組實驗證實了其有效性和優越性。主要得到如下結論：

1)通過擬合實驗表明，改進后橢球擬合標定法能夠解決傳統橢球擬合標定法異常值點的問題，其擬合結果較傳統方法效果更好，且又能進一步提高標定精度。

2)通過時間累積標定實驗看出，本文提出的改進后橢球擬合標定法，既可以繼承原傳統方法的現場可操作性，又能夠解決該方法精度不足的問題。實驗表明，其標定精度與高精度轉臺標定相差不大，完全可以滿足設備需要的精度要求。綜上所述，改進后橢球擬合標定法的標定時間較短、精度較高，在未來戰爭中具有一定的價值。