不確定參數(shù)系統(tǒng)性能分析方法綜述

王 營(yíng)， 吳進(jìn)軍， 夏 青， 趙 曦， 文 武

（中機(jī)生產(chǎn)力促進(jìn)中心， 北京 100044）

0 引言

很多復(fù)雜系統(tǒng)（例如工程系統(tǒng)、環(huán)境系統(tǒng)、生物系統(tǒng)等）可以用代數(shù)方程、微分方程、微分代數(shù)方程以及各種控制方程組描述。在求解數(shù)學(xué)模型之前，一般先要通過(guò)實(shí)驗(yàn)或計(jì)算等方法獲得數(shù)學(xué)模型中的輸入?yún)?shù)值， 并通常認(rèn)為是其真實(shí)值。實(shí)際上，獲取的參數(shù)值只是名義值而不是真實(shí)值，由于各種不確定因素的影響，使得真實(shí)值在名義值附近波動(dòng)， 這種現(xiàn)象通常被稱為參數(shù)的不確定性，復(fù)雜系統(tǒng)中的輸入?yún)?shù)都存在或多或少的不確定性。

有些不確定性可以忽略，但有些不確定性必須加以考慮， 例如， 在設(shè)計(jì)零件時(shí)會(huì)給定尺寸公差帶以便于加工；在加工機(jī)械零部件時(shí)由于加工材料的不均勻性，可能導(dǎo)致許多力學(xué)參數(shù)的不確定， 包括材料密度不均勻引起的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的不確定、 彈性模量變化導(dǎo)致的剛度不確定、系統(tǒng)載荷變化導(dǎo)致的系統(tǒng)響應(yīng)的不確定、加工及裝配誤差引起的幾何不確定、 溫度和濕度等環(huán)境因素及磨損和疲勞等因素導(dǎo)致的參數(shù)不確定等等。

在許多復(fù)雜系統(tǒng)中，特別是在強(qiáng)非線性系統(tǒng)中，即使輸入?yún)?shù)的微小變化也可能導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的大變化，因此， 探索行之有效的不確定性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建模方法和數(shù)值計(jì)算技術(shù)， 根據(jù)系統(tǒng)輸入?yún)?shù)的不確定性給出系統(tǒng)輸出（系統(tǒng)響應(yīng)）的不確定性，對(duì)于提高復(fù)雜系統(tǒng)性能的預(yù)測(cè)精度是非常值得研究的基礎(chǔ)性問(wèn)題。

目前， 研究不確定性問(wèn)題主要有三種方法： 概率方法、模糊方法和區(qū)間分析方法。

1 概率和模糊分析方法

近幾十年來(lái)， 研究者對(duì)概率方法和模糊方法的研究較為深入，概率方法是將不確定參數(shù)看作隨機(jī)變量或隨機(jī)過(guò)程并且假設(shè)滿足某種概率分布，參數(shù)的不確定信息都用相應(yīng)的概率密度函數(shù)表示。 若不確定參數(shù)有統(tǒng)計(jì)特性并且能通過(guò)實(shí)驗(yàn)等手段獲得參數(shù)的大量統(tǒng)計(jì)信息，則概率模型是描述參數(shù)不確定性的常用方法，并建立了比較完善的隨機(jī)有限元理論[1-2]。

然而，實(shí)際問(wèn)題中的不確定參數(shù)是否真正滿足某一種概率分布假設(shè)一般很難驗(yàn)證或驗(yàn)證的成本較高。 再者， 有些問(wèn)題很難甚至無(wú)法獲取參數(shù)的概率分布信息，例如火箭、核電站、空間站等大型結(jié)構(gòu)，由于它們的生產(chǎn)件數(shù)很少而無(wú)法獲取參數(shù)的概率分布信息。 Kuntzevich[3]指出，“至少在以下兩種情況下使用隨機(jī)模型描述不確定性問(wèn)題是不能接受的：（1）有關(guān)不確定性參數(shù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)太少， 以致不能得到有效的統(tǒng)計(jì)特性；（2）有些情況下可預(yù)先斷定其不確定性不存在統(tǒng)計(jì)機(jī)理 （例如，單件生產(chǎn)的大型運(yùn)載火箭、空間站等參數(shù)的不確定性）。 ”

模糊方法是用隸屬度函數(shù)表征參數(shù)的不確定信息[4-5]，但程耿東院士[4]指出，在模糊分析中仍存在模糊統(tǒng)計(jì)誤差或不確定性。 因此，概率和模糊方法的這些缺陷在很大程度上阻礙了它們的工程應(yīng)用。

2 區(qū)間分析方法

區(qū)間分析方法是從20 世紀(jì)60 年代發(fā)展起來(lái)的計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支[6-7]，它使用區(qū)間數(shù)（由兩個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的有界閉區(qū)間）來(lái)描述那些有上、下界限的不確定量。區(qū)間方法的最大優(yōu)點(diǎn)是不需要獲取不確定參數(shù)的很多信息，只需確定不確定參數(shù)變化的上、下界限，獲取參數(shù)變化的上、下界限的難度通常不大，因此區(qū)間方法更容易被應(yīng)用。

近年來(lái)， 區(qū)間分析方法已被較多地應(yīng)用于工程技術(shù)問(wèn)題[6-15]，例如，Rao 等[10]探討了計(jì)算簡(jiǎn)單線性結(jié)構(gòu)靜態(tài)響應(yīng)變化范圍的區(qū)間截?cái)喾椒ǎ籇imarogonas[11]討論了不確定性振動(dòng)系統(tǒng)的區(qū)間分析問(wèn)題；Papegay 等[12]運(yùn)用區(qū)間分析方法對(duì)車輛懸架系統(tǒng)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；Wu等[13，14]用區(qū)間分析方法對(duì)機(jī)器人操縱臂的誤差和可靠性進(jìn)行了不確定性分析。 國(guó)內(nèi)學(xué)者：北京航空航天大學(xué)的邱志平等[15]基于矩陣攝動(dòng)法對(duì)簡(jiǎn)單力學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)響應(yīng)的區(qū)間分析。 在公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)中，絕大多數(shù)是針對(duì)桁架、 梁結(jié)構(gòu)等簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)及區(qū)間參數(shù)變化范圍比較小的情況，采用Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)法、區(qū)間截?cái)喾╗10]、攝動(dòng)法[15]等方法進(jìn)行區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的靜、動(dòng)態(tài)響應(yīng)的區(qū)間分析。

區(qū)間方法的主要缺點(diǎn)是由計(jì)算誤差導(dǎo)致的 “包裹效應(yīng)”， 即計(jì)算得到的系統(tǒng)響應(yīng)的變化區(qū)間包含了系統(tǒng)響應(yīng)的真實(shí)變化區(qū)間，這使得預(yù)測(cè)結(jié)果過(guò)于保守而失去了實(shí)際意義。 因此，提出有效控制區(qū)間方法“包裹效應(yīng)”的高精度計(jì)算方法 （尤其是不確定參數(shù)變化區(qū)間較大時(shí)）是區(qū)間方法用于解決實(shí)際問(wèn)題的難點(diǎn)之一。

3 證據(jù)理論方法

近年來(lái)， 有學(xué)者應(yīng)用證據(jù)理論研究不確定系統(tǒng)的建模問(wèn)題[16-17]，證據(jù)理論是古典概率論的延伸，其中概率邊界被用來(lái)反映對(duì)所有可能結(jié)果的集合力的置信程度。 證據(jù)理論符合人類的思維習(xí)慣，能夠合理地描述和處理各種不完整的信息、不確定的信息、不可靠的信息甚至沖突信息，因而被應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域。 但是基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)可靠性分析和系統(tǒng)穩(wěn)健性分析在整體上仍處于初步階段。 在證據(jù)理論中，變量信息的不確定性和不完整性使其無(wú)法使用類似于概率密度函數(shù)或模糊隸屬度函數(shù)等連續(xù)函數(shù)進(jìn)行描述，而只能使用一系列不連續(xù)的集合表示，從而造成多維問(wèn)題可靠性和穩(wěn)健性分析中的組合爆炸，最終導(dǎo)致大規(guī)模計(jì)算問(wèn)題。

4 隨機(jī)-模糊-區(qū)間混合分析方法

復(fù)雜系統(tǒng)中往往同時(shí)含有不同類型的不確定參數(shù)（例如同時(shí)含有隨機(jī)參數(shù)、模糊參數(shù)和區(qū)間參數(shù)）。 針對(duì)同時(shí)含有隨機(jī)參數(shù)、模糊參數(shù)、區(qū)間參數(shù)的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行分析的文獻(xiàn)很少，然而該類復(fù)雜系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)中是大量存在的。 根據(jù)參數(shù)不確定信息獲取的難易程度，提出含有多種類不確定參數(shù)的耦合數(shù)學(xué)計(jì)算模型，探索復(fù)雜系統(tǒng)性能預(yù)測(cè)及性能穩(wěn)健性分析的普適方法具有重要的基礎(chǔ)理論研究意義和工程實(shí)用價(jià)值。

目前， 國(guó)內(nèi)外已有學(xué)者對(duì)同時(shí)含有不同類型的不確定系統(tǒng)進(jìn)行了混合模型的初步研究，并運(yùn)用于結(jié)構(gòu)的可靠性分析。 例如，文獻(xiàn)[18]中提出了一種處理區(qū)間和概率混合情況下的可靠性優(yōu)化方法；文獻(xiàn)[19]中提出了概率和非概率混合模型的結(jié)構(gòu)魯棒性設(shè)計(jì)方法。

總之， 關(guān)于概率與非概率混合模型的研究仍處于初步階段， 現(xiàn)有方法在求解效率和精度方面還存在一系列技術(shù)難點(diǎn)需要解決。 尤其是混合模型可靠性分析或穩(wěn)健性分析通常涉及多層嵌套優(yōu)化， 其計(jì)算效率對(duì)于較復(fù)雜的工程問(wèn)題已構(gòu)成主要瓶頸。 如何建立含有不同類型不確定參數(shù)并且具有較高計(jì)算精度和計(jì)算效率的系統(tǒng)靜、動(dòng)態(tài)特性的不確定性分析模型，進(jìn)而應(yīng)用于系統(tǒng)可靠性或穩(wěn)健性分析， 是推廣不確定性問(wèn)題分析方法應(yīng)用于實(shí)際工程問(wèn)題中需要解決的關(guān)鍵基礎(chǔ)問(wèn)題之一。

5 結(jié)束語(yǔ)

不確定參數(shù)系統(tǒng)的建模及性能分析得到了越來(lái)越多的重視，文中較為全面的闡述和分析了不確定參數(shù)系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀、主要研究方法及研究難點(diǎn)。 對(duì)不確定參數(shù)系統(tǒng)的不確定數(shù)學(xué)建模、性能數(shù)值計(jì)算、試驗(yàn)驗(yàn)證等有較為重要的理論指導(dǎo)意義。