多自主體動態系統里二階共識的充分必要條件

楊召

摘 ?要：文章主要研究了多自主體動態系統里二階共識的一些充分必要條件，首先，進行了基本理論分析，二階動態系統的每個自主體是由位置和速度或者漸近速度描述的，給出一個充要條件是為了確保二階共識，發現相應網絡的拉普拉斯矩陣的特征值的實部和虛部在達到共識發揮了關鍵性的作用。基于這個結果，從有信息延遲的多自主體系統里我們獲取了一個二階共識算法，給出一個充要條件，說明包含一個有向生成樹的網絡構型的多自主體系統里的二階共識能被獲得當且僅當時間延遲是小于某個評定值。最后，給出模擬性的例子驗證理論分析。

關鍵詞：二階共識;多自主體;生成樹網絡;拉普拉斯矩陣

中圖分類號：TP11 文獻標志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2095-2945（2020）02-0045-02

Abstract： This paper mainly studies some necessary and sufficient conditions for the second-order consensus in multi-agent dynamic systems. Firstly， the basic theoretical analysis is carried out. Each self-agent of the second-order dynamic system is described by position and velocity or asymptotic velocity. A necessary and sufficient condition is given in order to ensure the second-order consensus， and it is found that the real and imaginary parts of the eigenvalues of the Laplace matrix of the corresponding network play a key role in reaching the consensus. Based on this result， a second-order consensus algorithm is obtained from multi-agent systems with information delay， and a necessary and sufficient condition is given. It is shown that the second-order consensus in a multi-agent system with a network configuration of a directed spanning tree can be obtained if and only if the time delay is less than a certain value. Finally， a simulation example is given to verify the theoretical analysis.

Keywords： second-order consensus; multi-agent; spanning tree network; Laplace matrix

引言

在近幾年，多自主體動態系統的模型已越來越廣泛應用在生物，社會和工程系統的學習，像動物群，高級網絡，機器組等等。研究者特別有興趣在多自主體動態系統里研究怎樣協調群行為和學習達到共識及其重要的作用。共識問題已經引起很多關注，部分因為來自于代數圖論的工具已被成功引進，構成通過和它們的鄰居分享信息而達到共識。已被證明帶有動態改變的構型的網絡里共識能被達到當且僅當隨時間變化的網絡構型包含了生成樹。

在關于共識問題的文章里，自主體通常被認為是由一階動力學所控制。同時，也可認為所有自主體由二階動力學控制的共識算法。本文考慮二階共識問題怎樣在由二階動力學控制的一階自動化的自主體達到共識。二階共識問題的研究可能導致更多現實的動力學系統被引用到多自主體系統的大概框架的每個自主體模型，它對工程網絡系統里合作控制策略的執行有特別的意義。已被說明，對比一階共識問題，盡管網絡構型有一個有向的生成樹，依然不能得到二階動力學的自主體的共識。盡管已得到達到二階共識的某些充分條件，它仍舊在一般條件驗證必要條件是一個難題。這篇文章的主要貢獻是獲得在包含有向生成樹的網絡里的二階共識的充要條件，我們發現在達到二階共識，網絡的拉普拉斯矩陣的特征值的實部和虛部起到了關鍵性的作用。

另一方面，在生物，物理，化學和電子系統里時間延遲無處不在，在生物和信息網絡里，由于自主體之間相互作用的緩慢致使時間延遲是不可避免的。從許多次的試驗中觀察到沒有考慮時間延遲的共識算法可能導致預料不到的不穩定性。這篇論文考慮了延遲對二階共識的影響。基于這一點，在有有向生成樹的延遲的多自主體系統的二階共識被獲得的充要條件是當且僅當時間延遲是少于某個評定值。

這篇論文的結構如下：在第二部分，給出關于圖論和模型公式的一些預備知識。在第三部分，討論了在有向網絡和延遲有向網絡里的多自主體系統的二階共識算法。最后給出了總結。

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