思想立意：賦予數學核心素養自然生長的力量

朱茵頤 （江蘇張家港市乘航小學）

課堂是師生生命相遇、成長的場域。提升學生數學學習力、發展學生數學核心素養，是小學數學課堂教學的至真追求。教學中，學生不僅要獲得數學知識、習得數學技能，更為重要的是積淀數學活動經驗、滲透數學的思想方法。從根本上說，數學思想方法是數學的靈魂，也是學生數學核心素養的內核。以“數學思想”立意，能賦予學生數學核心素養自然生長的力量。在思想課堂上，學生能相互信任、接納，能彼此分享、共融，能相互激蕩、建構。以思維為準繩，使學生數學學習潛質充分釋放。

一、立意“形式化”思想，發展學生“抽象素養”

數學思想是數學知識的靈魂，具有統攝性、駕馭性、抽象性、概括性等普適意義的特性。在數學教學中，教師要有意識地立意“形式化”思想，引導學生從具體背景、具體情境中抽象出數學的一般規律、結構。正如荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾所說：“與其說是學習數學，毋寧說是學習數學化；與其說是學習公理，毋寧說是學習公理化；與其說是學習形式，毋寧說是學習形式化”。

如“運算律”這一部分的內容，是比較抽象的，尤其是用符號概括運算律顯得尤為重要。如何讓學生把握運算律，理解運算律？教學中，一方面教師可以創設情境，讓運算律富有背景、意義；另一方面通過情境抽象、概括運算律，是一個從“特殊”到“一般”的過程。這個過程，既需要學生大膽猜測，也需要學生的小心求證。以“乘法分配律”為例，通過教材中的具體情境：四年級有6 個班，五年級有4 個班，每個班領24 根跳繩。四五年級一共要領多少根跳繩。通過情境，學生形成不同的解決問題思路，有學生先算四五年級一共有多少個班，再算一共要領多少根跳繩，有學生先算四年級、五年級分別領多少根跳繩，再算四五年級一共要領多少根跳繩。在不同的問題解決中，學生初步感知到乘法分配律的形式。圍繞計算結果相同的兩種不同的列式形式，學生提出了關于乘法分配律的數學猜想，并通過自主舉例，驗證數學猜想。由此，學生概括一般性的乘法分配律的內涵，即兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分別與這個數相乘，再相加。這是一個從“特殊”到“一般”的過程。為此，筆者引導學生用符號進行概括，從而建構乘法分配律的符號模型。借助這個符號模型，學生能更好地舉例驗證，更好地將乘法分配律放到情境中。

立意“形式化”思想，有助于發展學生“抽象素養”。同時，學生的抽象素養發展了，也有利于學生將實際情境問題進行概括，形成數學模型并進行解釋和應用。這種“形式化”的抽象思想，不是一種具體的數學思想方法，而是一種具有普遍意義、普適意義的思想，這種思想對于指導學生的數學學習大有裨益。

二、立意“轉化性”思想，發展學生“推理素養”

除了抽象思想具有普適意義外，“轉化性”思想也是學生數學思考、探究、學習的基本思想。立“轉化性”思想，有助于發展學生的“推理素養”。因為，從根本上說，“轉化”就是將數學的未知轉化為已知、將陌生轉化為熟悉、將復雜轉化為簡單的過程。這個過程，一定離不開學生的邏輯推理。邏輯推理，分為演繹推理和合情推理。其中，合情推理分為類比推理和歸納推理，歸納推理又分為完全歸納推理和不完全歸納推理等。可見，轉化性思想與一般性思想是相關的。形式化思想，強調抽象；而轉化性思想，強調推理。

在小學數學教材中，轉化性思想貫穿始終，而且是螺旋上升的。在教材中，“轉化”有兩種脈絡：一種是在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”以及“綜合與實踐”之間的橫向轉化；另一種是在“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”之內的縱向轉化。無論是橫向轉化還是縱向轉化，都是轉化性思想在小學教材中的凸顯、強化。在教學中，教師不僅要展開內容梳理，更要展開具體的實踐。如教學“圓柱的體積”，筆者通過原型——“圓的面積”推導，啟發學生推導“圓柱的體積”，因為圓可以分為若干個扇形，拼成近似的長方形，所有圓柱就可以沿著底面分為若干個“楔子”，拼接成一個近似的長方體，從中滲透類比思想、極限思想等；有學生以圓形為底面，將圓形垂直平移，轉化成圓柱，從而得出直柱體的體積是底面積乘高，從中滲透無限累積思想等；有學生根據長方體、正方體的統一公式，類比推理出圓柱的體積公式，從中滲透類比思想，等等。其中，對于轉化前后的圓柱與長方體，學生能展開邏輯性較強的推理，因為長方體的長相當于圓柱底面周長的一半、長方體的寬相當于圓柱的底面半徑、長方體的高相當于圓柱的高、長方體的體積相當于圓柱的體積，所以，圓柱的體積是圓柱的底面積乘高。在數學教學中，無論是演繹推理還是合情推理（類比與歸納），都是對所學的未知知識的一種轉化。這種轉化，不僅解決了新知的認知問題，更讓新知與舊知融為一體，構建了完善的知識結構。正是通過轉化性思想，數學知識建立起了廣泛的關聯，數學的具體的思想方法也建立起廣泛的關聯。

借助“轉化性思想”，數學知識不再處于散點狀態，而是構成了一個整體。轉化，構筑了學生數學學習的一個全景的空間，形成了學生數學思維、數學認知、數學學習的一個多維的、立體的、全視域狀態。在這種學習狀態下，學生能學得“一生有用的數學”。當學生對數學思想的認識越來越豐富、越來越清晰之后，學生的數學學習就會越來越自覺。

三、立意“變量性思想”，發展學生的“建模素養”

在某種意義上，“數學就是研究千變萬化中不變的關系”。研究數量的“變”與“不變”，發展學生的“變量性思想”，有助于發展學生的建模素養。一切的數學定理、規律、法則等都可以看成是一個“數學模型”。在數學教學中，借助抽象、推理，引導學生積極建模。什么是數學模型？數學模型就是一種“以不變應萬變”的范式，這種“變與不變”的變量性思想，也貫穿于學生數學學習的始終。

如教學“間隔排列”，筆者出示了多種多樣的素材（變），比如“手帕與夾子”，“兔子與蘑菇”，“木樁與籬笆”等。學生通過不同情境中對不同素材的觀察，能夠直觀地發現這些素材的共同點（不變），即都是“一個物體間隔一個物體排列的”“兩端物體都是相同的”“兩端的物體都比中間的物體多一個”“中間的物體都比兩端的物體少一個”，等等。這種對多元素材進行去粗取精、去偽存真的表征，能讓學生舍棄素材的非本質屬性（變化屬性），而聚焦于素材的本質屬性（不變屬性）。由此，學生嘗試用符號字母來進行抽象、概括，形成了“ABA……A”的符號模型。當然，對于這種模型的認知，學生還是比較膚淺的，他們“知其然”，卻“不知其所以然”。教學中，筆者追問學生：為什么當兩端物體相同時，兩端物體比中間物體多一個？為什么當兩端物體不同時，兩種物體的個數相等？通過學生的深度思考，學生發現，間隔排列的物體是以兩個物體為一個周期的，當兩端物體不同時，這些物體就是完整周期；當兩端物體相同時，這些物體就不是完整周期。教學中，筆者不斷“破模”，不僅通過“兩端相同”“兩端不同”，而且通過“封閉圖形”“不封閉圖形”，不斷提升學生的數學認知，讓學生建構起數學模型。

“變量性”思想應當貫穿于學生數學學習的始終。通過“變與不變”，讓學生明辨數學的本質屬性，舍棄非本質屬性，也就是讓學生能科學鑒別，從而通過非本質的素材建構本質的數學模型。作為教師，要引導學生比較，因為“有比較才有鑒別”。立意于“變量性思想”，能有效地發展學生的“建模素養”。

以數學思想立意，能有效地發展學生的數學核心素養。著名數學教育家張天孝認為，“數學思想是現代數學教學目標的主要標志”。以“形式化思想”“轉化性思想”“變量性思想”為指引，能讓學生展開積極的抽象、推理和建模。在數學教學中，如果教師立“數學思想”，學生的數學核心素養必然能養成，當然，這是一個長期的、潛移默化的過程。