基于G-H Copula函數的惠州市龍門縣留洞水庫洪水設計研究

劉立新

(龍門縣水利水電勘測設計室,廣東 龍門 516800)

設計洪水過程線是水庫防洪調度標準、防洪設計的基礎[1]。當前，研究洪水過程的主要方法為同頻倍比放大法，僅考慮其中某一特征變量作為設計洪水標準[2-3]。近年來，Copula函數以其聯合概率分布模擬優勢在水文研究中取得良好應用，本文用該方法對惠州市龍門縣留洞水庫洪水安全進行聯合分布設計，以期為洪水調配與工程建設提供參考依據。

1 研究方法

1.1 邊緣分布函數

邊緣分布是基于概率統計理論發展起來用以度量多維隨機變量中只符合特定條件下部分變量概率分布情況。概率分布如下：

P(x，y)

(1)

則其在該特定條件下的邊緣分布密度為特定條件下的概率分布：

(2)

洪水事件中洪峰、洪量是在時間尺度上具有密切關聯性，采用邊緣分布函數模擬二者之間的概率分布。

皮爾遜Ⅲ型(P-Ⅲ)頻率分布函數概率密度為：

(3)

式中α、a0、β為形狀尺度特征參數，一般應用概率權重法進行計算，通過對樣本序列的前3階距進行估計[4-5]。

1.2 G-H Copula函數

Copula函數是數學家Sklar[8]提出來用以描述變量相依存的表達函式，后經Nelsen.2006等人改進多元分布、零基面N維遞增理論后，被廣泛應用于確定隨機變量之間的相依性的非參數度量方面。假設有一n維分布函數H，H函數的邊緣分布依次為F1，F2，…，Fn，則有n-Copula函數C，滿足x∈R， 有:

H(x1，x2，…，xn)=C[F1(x1)，F2(x2)，…，Fn(xn)]

(4)

Copula作為構造二維分布族的起點，其優勢在于不損失隨機變量所有的相依信息實現多元模型分布和隨機模擬，并且在傳統線性相關統計不明確的情況下依然不受影響。通常有Clayton Copula(式2)、Gumbel-Hougaard(G-H)Copula(式3) 、Ali-Mikhail-Haq (AMH)Copula(式4)、Frank Copula(式5)，等類型，其中G-H類型表達式如下：

(5)

參數θ的估計通常采用秩相關性指標進行推求[3-6]。

2 工程區及其洪水設計

2.1 工程區概況

留洞水庫位于龍門縣藍田瑤族鄉東北面，離藍田鄉府所在地約10 km。壩址位于藍田河支流矮陂河中游的留洞(地名)處，屬增江水系。工程始建于20世紀90年代末，屬小(1)型水庫。水庫庫區集雨面積為10.99 km2，河長為6.6 km，河床比降為0.066。水庫設計洪水位為379.02 m，相應庫容為380.5萬m3，校核洪水位為379.59 m，總庫容為401.6萬m3。正常水位為377.0 m，正常庫容為310萬m3，死水位為353.00 m，死庫容為0.3萬m3。庫區主要功能為防洪、灌溉、養殖和生態觀光。該區雨熱同季、降水集中，6—9月降水量可占全年的65%以上，是洪澇災害易發期。

2.2 邊緣分布函數參數估計與洪水設計

庫區為典型的季風性氣候，降水歷史短、集中性強，采用我國水文界標定的P-III分布函數進行多元分布模擬與概率計算。先通過最大似然法對正態分布函數參數進行求解，得到水庫洪峰歷時統計特征值(見圖1)，洪水峰量集中于6～15 t時段內。結合歷史經驗值，采用Q均值為752 m3/s，Cv為62.16%，Cs為1.072，頻率累積值雙尾漸漸顯著性檢驗sig分別為0.523、0.421，表明其符合正態分布，可進行洪水歷時估計，得到特征量μ=1.186，σ=0.203。

以該地區歷年洪水資料為基礎，采用Copula函數推求水庫洪峰流量理論頻率值。擬合的理論頻率值如圖1所示， 經驗值與理論值相關系數為0.995 2，說明模擬效果良好。計算得到3 d的kendall秩相關系數τ、Hougaard Copula函數θ分別為0.235 1、0.182 4，而6 d的則為0.198 5、0.1618。誤差統計結果表明，各項參數設計值與復核值之間誤差介于0.5%～3%之間，說明設計洪水參數相對安全。

圖1 水庫洪水歷時累積曲線與理論經驗頻率示意

2.3 洪峰洪量聯合分布

先基于最大似然法進行參數估計，利用G-H Copula函數得到洪峰洪量之間的二維相依結構的特征參數，分別為1.3215、1.053、1.107 2。選取特征年作為主變量，結合聯合分布公式進行模擬二維相依分布結構(見圖2)。可知洪峰、洪量之間存在密切相依存關系，洪水分布概率較小，采用該標準進行校核洪水設計有利于確保防洪安全。

2.4 洪水調度設計

調洪設計以某年特征洪水事件為典型洪、水過程，由臺風氣旋與高壓冷氣團相遇后長時靜止、滯留引起的強對流造成。本文給出了基于單變量同倍比放大與雙變量聯合分布設計洪水(見圖3)。該水庫設計洪水主要特征為峰型，存在多個微小褶皺波動，洪峰流量峰值在12 h左右，歷史較短。其中單變量設計值洪水過程性略低于雙變量，雙變量聯合設計考慮的是峰量組合特征，更能體現徑流匯聚的滯后性，其設計值略高。雙變量設計考慮了峰量相關性情況下的洪水過程，更能達到防洪安全水平。

圖2 水庫洪水峰量聯合重現及其概率密度示意

圖3 水庫洪水過程設計示意

3 結語

通過對惠州市龍門縣留洞水庫運用G-H類型Copula函數從洪峰、洪量二維特征出發進行聯合設計。結果表明二維聯合設計方案安全可行，有利于最大程度上防御汛限洪水。G-H Copula函數考慮了洪水事件過程峰量聯合分布特征，是基于洪水過程與形態的設計方案，可為庫區洪水調度提供參考。