借助數(shù)學(xué)圖形表征 發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力

謝建金 董榮森

【內(nèi)容摘要】將多元表征引入數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的課堂，讓學(xué)生表征能力在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中得到培養(yǎng)，獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與素養(yǎng)。落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力是當(dāng)下一線數(shù)學(xué)教師的教育任務(wù)與追求。借助數(shù)學(xué)圖形表征，如：利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用圖形刻畫(huà)數(shù)學(xué)問(wèn)題、利用圖形尋找解決問(wèn)題突破口建立數(shù)與形的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。

【關(guān)鍵詞】圖形表征關(guān)鍵能力數(shù)學(xué)表征核心素養(yǎng)

一、問(wèn)題提出

眾所周知，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的描述可以是多角度、多渠道、多維度的，可以用命題的陳述性語(yǔ)言描述，也可以用圖形的表象性語(yǔ)言描述;可以用命題的解析形式描述，也可以用命題的圖表形式描述;可以用現(xiàn)實(shí)世界中的原型描述，也可以用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)描述，但不同的呈現(xiàn)方式會(huì)給問(wèn)題的解決帶來(lái)不同的影響與效果。如果表征形式為學(xué)習(xí)者所熟悉的或?qū)W習(xí)者已有過(guò)的經(jīng)歷或經(jīng)驗(yàn)，那么更有利于學(xué)習(xí)者對(duì)問(wèn)題的解決;反之，如果表征的形式為學(xué)習(xí)者所陌生的或沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，則不利于學(xué)習(xí)者對(duì)問(wèn)題的解決。隨著現(xiàn)代教育技術(shù)在教育領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，多元表征的研究已經(jīng)成了認(rèn)知科學(xué)、教育等領(lǐng)域的熱門話題，南京師范大學(xué)喻平教授曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)是當(dāng)代教學(xué)中無(wú)法回避的問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，這種不可回避性顯得更加突出?！?/p>

通過(guò)平時(shí)的教學(xué)、聽(tīng)課研究和課堂觀察，促使筆者思考：如何應(yīng)用多元表征促進(jìn)或增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力;解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要對(duì)問(wèn)題表征進(jìn)行研究;培養(yǎng)學(xué)生表征能力需要設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)多元表征等，這些問(wèn)題一直縈繞在耳邊，也成了筆者研究的主要原因。

二、多元表征的涵義

在認(rèn)知心理學(xué)、教育心理學(xué)等研究領(lǐng)域中，多元表征（The multiple representation）是指一個(gè)概念或問(wèn)題以多種形式表征（通常指信息或知識(shí)在心理活動(dòng)中的表現(xiàn)和記載的方式）。與“單一表征”相比，“多元表征”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)心理表征的多元性，強(qiáng)調(diào)知識(shí)表征不同方式的相互滲透、聯(lián)結(jié)、互補(bǔ)與轉(zhuǎn)換。

數(shù)學(xué)多元表征是指數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象可以運(yùn)用“數(shù)”（數(shù)字、式子、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)定理等）、“形”（數(shù)學(xué)模型、圖象、幾何圖形等）等多種形式來(lái)加以表征。簡(jiǎn)單地說(shuō)數(shù)學(xué)多元表征是指同一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的多種表征形式。對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的描述可以是多渠道、多方位的，但不同的呈現(xiàn)方式會(huì)給問(wèn)題解決帶來(lái)不同的效果。

因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中要關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題的不同表征，通過(guò)對(duì)問(wèn)題表征進(jìn)行研究、設(shè)計(jì)合理的表征、把不熟悉的表征通過(guò)變化表征轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的表征;通過(guò)透過(guò)問(wèn)題的外在表征，領(lǐng)會(huì)并把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，揭示和理解問(wèn)題本質(zhì)，這樣才會(huì)使問(wèn)題迎刃而解，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。限于篇幅，筆者將圍繞數(shù)學(xué)圖形表征在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力等方面的運(yùn)用，并結(jié)合案例談?wù)勔恍┱J(rèn)識(shí)與實(shí)踐體會(huì)，以饗讀者。

三、借助數(shù)學(xué)圖形表征，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力

我們知道：數(shù)學(xué)具有邏輯性、抽象性和概括性，而數(shù)學(xué)圖形具有通俗性、直觀性和形象性。數(shù)學(xué)圖形表征是數(shù)學(xué)多元表征之一，它在中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中具有舉足輕重的作用，它能夠?qū)⒁恍┏橄蟮臄?shù)學(xué)問(wèn)題借助圖形進(jìn)行表征，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中直觀地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、進(jìn)而解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六大部分。直觀想象是指借助圖形和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用數(shù)學(xué)圖形表征來(lái)理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，主要包括利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用圖形刻畫(huà)數(shù)學(xué)問(wèn)題、利用圖形尋找解決問(wèn)題突破口，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的方法與途徑。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力。

1.運(yùn)用圖形表征描述數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象能力

華羅庚先生在《數(shù)形詩(shī)》中寫道：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！边@充分說(shuō)明了數(shù)與形之間的緊密關(guān)系，也表明了“形”的直觀表征對(duì)有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要性。

【案例1】（2015年北京卷）如圖1，函數(shù)f（x）的圖象為折線ABC，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是?（答案：[-1，1]）

【評(píng)析】這是一道非常典型的能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)多元表征知識(shí)應(yīng)用的好題，利用函數(shù)的圖象來(lái)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決的途徑有兩條：一是根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)f（x）的解析式（分段函數(shù)），即將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，再分段進(jìn)行解答求解;二是在已知的同一個(gè)坐標(biāo)系中再作出函數(shù)y=log2（x+1）的圖象，將數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，結(jié)合圖象求解不等式。如果學(xué)生不能夠?qū)D形語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言之間相互轉(zhuǎn)化，那么就很難順利地解答此題。

2.運(yùn)用圖形表征理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題、探索和形成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題思路的重要手段，是構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)和進(jìn)行邏輯推理的思維基礎(chǔ)。通過(guò)直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用圖形表征和空間想象思考問(wèn)題的習(xí)慣，建立良好的思維直覺(jué)，理解事物本質(zhì)和發(fā)展規(guī)律。一般來(lái)說(shuō)，二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇c，d]，則其圖象有如五種情形（如圖2），其實(shí)關(guān)鍵是二次函數(shù)的圖象（拋物線）的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系。