趣說相交線與平行線

林革

提起相交線和平行線，相信大家早已屢見不鮮.

相交線和平行線在生活中的應用俯拾皆是、數不勝數.

我國北宋科學家沈括在其著作《夢溪筆談》中，記載了唐代著名科學家一行法師思考過的一個問題：圍棋棋局千變萬化，究竟有多少種變化呢？這得從圍棋盤的具體構造說起，圍棋盤上有互相平行的橫線19條，互相平行的縱線19條，橫線和縱線相交構成361個交叉點用于落子.一行法師認為：對于每一個交叉點，不外乎黑子、白子或空著三種可能情況，因此，361個交叉點就有3361種可能的變化，這是叫人嘆為觀止的天文數字，即便每一秒鐘下一棋子，不停地下，要完成如此多的變化，也大約需要5.52x10¹⁶⁴年.難怪有人感嘆：紋枰十九路，千古無重局，

而下面這則“圍棋盤上的直線”趣題也很耐人尋味：相交的19條橫縱線把整個圍棋盤分成324個小方格，那么，在棋盤上任意畫一條直線，最多可以穿過多少個小方格？

要解答這個問題，許多人的直覺反應是實踐操作一一畫出圍棋盤，然后在上面畫直線，通過數數，得到穿過小方格的最多數目.這種想法看起來可行，可實際操作起來難免令人生疑：需要畫幾條直線才能保證穿過小方格數目最多的情形包含其中？如何確保最終確定的那條直線符合要求？即便是符合要求的直線，穿過的最多方格數也是操作的表面結果，其中蘊涵的數學原理是什么？因此，這種帶有隨機性的操作并不靠譜，而采用轉化策略則顯得科學合理.也就是說，把一個相對復雜的問題進行簡化處理，從中找出規律后順勢解答.這是數學家在研究問題時常用的一種轉化策略，下面就用這種思路進行分析.

先畫一個簡單的2x2田字格（如圖1），然后畫一條直線嘗試判斷，很快就能斷定，一條直線最多可以穿過3個小方格.

接下來，再畫一個3x3九宮格（如圖2），然后畫一條直線，不難發現，無論直線如何畫.一條直線最多可以穿過5個小方格.

由此，我們尋找蘊涵的規律.在圖2中，直線與田字格的交點記為A，B，C，D，這4個交點在田字格內把直線截成3段：AB，BC，CD.分別穿過3個小方格.在圖4中，直線與九宮格的交點分別記為A1，A2，A3，A4，As，A6，這6個交點在九宮格內把直線截成5段：A1A2，A2A4，A3A4，A4A5，A5A6.分別穿過5個小方格，據此我們進行分析，

通過觀察圖1和圖2，不論是田字格還是九宮格，畫上去的直線與每條橫線和縱線都只有1個交點，而與四周的4條邊線只有2個交點.因此，總的交點數不能超過“橫線數+縱線數-2”.對于田字格而言，3+3-2=4，4個交點在田字格內把直線截成3段，所畫直線最多穿過3個小方格，對于九官格而言.4+4-2=6，6個交點在九宮格內把直線截成5段，所畫直線最多穿過5個小方格，

由此可知，在圍棋盤上任意畫一條直線，可以斷定：它與棋盤上的橫線和縱線的交點個數最多是19+19-2=36.這36個交點在19x19網格內把直線截成35段，所畫直線最多穿過35個小方格.

接下來，再來說說平行線.基本可以肯定的是，只要提及平行線的實際應用，街道上隨處可見的斑馬線（如圖3）就會浮現在大多數人的腦海中.

除了斑馬線，許多人對于平行線的聯想應該少不了那筆直伸向遠方的鐵軌，不僅兩條鐵軌平行，甚至連下面的枕木也有平行的特征.由于平行線之間的距離處處相等，所以細究鐵軌間距就自然可行了.數據很明確，現代鐵路的鐵軌間距是4英尺8.5英寸，這個間距采用了電車輪距的標準，而電車輪距的標準則沿襲了馬車的輪距標準.那馬車的輪距為何是4英尺8.5英寸呢？原來，英國的馬路轍的寬度是4英尺8.5英寸.如果馬車改用其他尺寸的輪距，輪子很快就會在英國的老馬路上撞壞.那英國的馬路轍的寬度又從何而來？這必須上溯到古羅馬時期，整個歐洲（包括英國）的老路都是羅馬人為其軍隊鋪設的，4英尺8.5英寸正是羅馬戰車的寬度，那羅馬戰車的寬度又是怎么來的？答案非常現實也非常簡單，它是牽引一輛戰車的兩匹馬的屁股的總寬度.

是不是有點意外？這一環套一環的“制約鏈”，闡述了一個令人啼笑皆非的事實：現代鐵路的鐵軌間距竟然由兩匹馬的屁股的總寬度所決定，由此就不難理解，代表尖端科技的火箭助推器的寬度為何也是4英尺8.5英寸.火箭助推器必須由鐵路運送且會經過隧道，隧道的寬度又由鐵軌的寬度而來，為了順利安全地運輸，所以火箭助推器的寬度只能為4英尺8.5英寸.

在19世紀的一次國際數學會議期間，一位法國數學家柳卡向在場的同行提出了一個問題：“輪船公司每天中午有一艘輪船從法國巴黎的勒阿佛爾港開往美國的紐約港，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約港開往勒阿佛爾港.輪船在途中都需要7天7夜.假定所有的輪船同速勻速且沿同一航線行駛，某艘從勒阿佛爾港開出的輪船，在到達紐約港時，能遇到幾艘從紐約港開來的輪船？”據說這個問題立刻引起了與會者的濃厚興趣，來自各國的數學家為此問題展開了廣泛的探討，以至于這個問題成為中心話題，甚至沖淡了數學會議的主題.因此，這則趣題在數學史上被稱為“柳卡問題”.

如果你想當然認為“柳卡問題”極具難度，那可大錯特錯.事實上，即便是小學生也能順利解決這個問題，而且解答方法并不唯一，極具開放性且讓人耳目一新，其中柳卡提出的“平行線相交法”堪稱最為簡捷、最具意趣，也最為巧妙.

柳卡只是畫出了如圖4的“航線一日期”示意圖，結果就一目了然.圖中那條從左上往右下的斜線段，表示某艘輪船8號從勒阿佛爾港開出.15號到達紐約港的航線，而另外的一組平行線則表示從1號至15號從紐約港開出的若干艘輪船的航線，

不難看出，要判斷這艘輪船遇到幾艘從紐約港開來的輪船，實際上就是要數出這艘輪船的航線與其反方向的航線有多少個交點.顯然共有15個，其中第一個交點表示這艘輪船8號剛從勒阿佛爾港開出時，與一艘1號從紐約港出發剛好進港的輪船相遇，最后一個交點則表示這艘輪船15號到達紐約港（8號從勒阿佛爾港出發）時，與一艘15號從紐約港出港的輪船相遇.其他13個交點表示這艘輪船途中相遇13艘從紐約港開出的輪船，因此，這艘輪船總共會碰上15艘從紐約港開來的輪船.

怎么樣？行家一出手，就知有沒有.柳卡借助平行線和相交線的直觀圖形巧解問題的數學智慧，果然叫人心悅誠服、嘖嘖稱奇，

耐人尋味的是，相交線和平行線看上去界限分明，非此即彼，但在繪畫、攝影作品中卻移形換位.比如圖5中平行的街道、路沿等，在作品上卻是事實上的相交線，延伸后必相交于一點，這反而符合視覺上平行線的要求，恰到好處地反映出真實生動的遠近透視效果.

另外，兩條直線不平行就相交的判斷，隱含的前提是：兩條直線在同一個平面內，這跟大家學習的三角形、平行四邊形和梯形等一樣，圖形都在同一個平面內，所以統稱平面圖形，如果沒有這個前提和限制，那么，兩條直線的位置關系，除了相交、平行，其實還有一種叫“異面”，那是大家以后要學習的數學概念，但你在生活實際中可以輕易發現許多“異面直線”，有興趣的同學不妨觀察判斷一番喲！