把握相交與平行

孔凡哲

“相交線與平行線”是圖形與幾何的基本內(nèi)容.在本章中，我們將在已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，在學(xué)習(xí)中，我們不僅要了解補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角以及它們的性質(zhì)，而且要掌握平行線的特征以及判別兩直線平行的條件，同時(shí)，我們將進(jìn)一步探索相交與平行的秘密，積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)幾何直觀，提高推理能力。

一、生活中的平行線

我們的生活中處處可見相交線和平行線，諸如，棋盤上的橫線和豎線，道路上的斑馬線，文具盒的相鄰兩邊，操場(chǎng)上的雙杠等，

其實(shí)，生活中處處離不開平行線.窗戶上下邊框是平行的，保證玻璃窗能順利被推拉：拉緊的電線之間是相互平行的，這樣既美觀又能保證安全，

二、全面理解平行的含義

教科書中把“在平面內(nèi)，兩條不相交的直線”叫作平行線，這里的不相交是指永遠(yuǎn)不相交，這里的表述其實(shí)是說，在平面內(nèi)，兩條（不重合的）直線只有兩種位置關(guān)系，其中一種是相交，即兩條直線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，還有一種是平行，即兩條直線沒有任何交點(diǎn).兩條直線會(huì)不會(huì)有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的公共點(diǎn)呢？如果有，兩條直線一定重合！（兩點(diǎn)確定唯一的一條直線）

對(duì)于兩條直線之間的平行關(guān)系，其實(shí)有多種理解方式：

（1）木工師傅雖然不一定學(xué)過數(shù)學(xué)，卻能畫平行線，方法是通過“兩條垂直于同一直線的直線互相平行”的操作活動(dòng)，如圖1所示，

其中的道理就在于，在同一平面內(nèi)，只要兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，這樣的兩條直線就是相互平行的.

（2）兩條直線總是有相同的距離，這兩條直線是平行的，例如，圖2中的兩根柱子都是直立的，其長(zhǎng)度是一樣的，這時(shí)，橫著的木條平行于地面上對(duì)應(yīng)的直線.

三、在解決問題的活動(dòng)中積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

例1如下頁圖3所示，要在長(zhǎng)方形木板上截一個(gè)平行四邊形，使它的一組對(duì)邊在長(zhǎng)方形的邊緣上，另一組對(duì)邊中的一條為AB.只有一個(gè)圓規(guī)和一把沒有刻度的直尺.你能解決問題嗎？

分析：同位角相等，兩直線平行.過直線外一點(diǎn)C作已知直線的平行線，相當(dāng)于過點(diǎn)C作∠ECD等于已知的∠CAB.

解：以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)日，交AC于點(diǎn)G;再以點(diǎn)C為圓心，以同樣長(zhǎng)（AH）為半徑畫弧，交CE于點(diǎn)P：再以點(diǎn)P為圓心，以線段GH的長(zhǎng)為半徑畫弧，交前面所畫的弧于點(diǎn)D;連接CD并延長(zhǎng)交長(zhǎng)方形的邊于點(diǎn)F.這樣得到線段CF平行于AB于是，我們就得到了符合題意的平行四邊形ABFC（如圖4）.

進(jìn)一步的討論：

過直線外一點(diǎn)，還能有哪些方法可以畫出與這條直線相互平行的直線呢？

敏敏同學(xué)認(rèn)為：利用判定方法1“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”，需要沒有刻度的直尺和三角尺.首先把三角尺的斜邊放在直線a上，將直尺的一邊靠在三角尺的一條直角邊上;然后按住直尺不動(dòng)，將三角尺緊靠直尺移動(dòng)，使得三角尺的斜邊過已知點(diǎn);最后沿著三角尺的斜邊畫一條直線b，則b∥a.如圖5所示，

亮亮同學(xué)認(rèn)為：利用判定方法2“如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行”，需要圓規(guī)和沒有刻度的直尺.首先過點(diǎn)P畫任意一條直線b與直線a交于點(diǎn)A;其次以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線6于點(diǎn)日，交直線a于點(diǎn)G;再以點(diǎn)P為圓心，以相同長(zhǎng)度（AH）為半徑畫弧，交直線b于點(diǎn)C;然后以點(diǎn)C為圓心，以線段GH的長(zhǎng)為半徑畫弧，交前面所畫弧于點(diǎn)D;最后連接PD并延長(zhǎng)得到與直線口平行的直線c.如圖6所示，

小小同學(xué)認(rèn)為：利用“平行線之間距離處處相等”，需要三角尺和圓規(guī).首先，將三角尺的一條短直角邊放在直線口上，移動(dòng)三角尺的另一長(zhǎng)直角邊，使其過點(diǎn)P，沿著三角尺的長(zhǎng)直角邊畫直線與直線a交于點(diǎn)A;然后繼續(xù)移動(dòng)三角尺，使其過直線a上任意點(diǎn)B，再次沿著長(zhǎng)直角邊畫直線a的垂線;再以點(diǎn)B為圓心，以線段PA的長(zhǎng)為半徑畫弧，與垂線交于點(diǎn)C;最后連接點(diǎn)P，C并延長(zhǎng)得到直線b，它是與直線a互相平行的直線，如圖7所示，

樂樂同學(xué)認(rèn)為：只要一張紙就能找到這條平行線.先折出直線a的過點(diǎn)P的垂線m.再折出垂直于直線m的另一條直線b即可，兩個(gè)交點(diǎn)處的角都是直角，由“同位角相等，兩直線平行”，可得直線b是與直線a相互平行的直線.如圖8所示.

對(duì)于上面四位同學(xué)的不同思路，你認(rèn)為誰的思路更好呢？

四、探究圖形性質(zhì)，培養(yǎng)幾何直觀

1.（與同學(xué)一起合作完成）將兩把直尺交叉放在一起（如下頁圖9），一位同學(xué)按住交叉處，另一位同學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)其中一把直尺，觀察隨著直尺的轉(zhuǎn)動(dòng)，兩把直尺的夾角之間的關(guān)系.

可以發(fā)現(xiàn)，相鄰的角相加等于1800.相對(duì)的兩個(gè)角，一個(gè)角隨著另一個(gè)角的增大（減小）而增大（減小），對(duì)頂角相等.

2.一位同學(xué)在白紙上，固定三角尺ABC的AC邊，并延長(zhǎng)AC.另一位同學(xué)將三角尺CDE的直角頂點(diǎn)與三角尺ABC的直角頂點(diǎn)重合，并延長(zhǎng)DC，如圖10. ∠DCP與∠ACF就是一組對(duì)頂角.你能說出其中的原理嗎？

請(qǐng)同學(xué)們自己思考.

五、發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)推理能力

例2如圖11所示，要把角鋼彎成120°的鋼架，則在角鋼上截去的缺口是____°.

分析：這道題主要考查了同學(xué)們的空間想象能力，

解：因?yàn)榘呀卿搹澇?20°的鋼架，在截之前的角是平角180°，所以缺口的角等于180°-120°=60°.故答案為60.

例3 （2019年甘肅）如圖12，將一塊含有30°角的三角尺的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若∠1=48°，則∠2的度數(shù)為（? ）.

A.48°

B.78°

C.92°

D.102°

分析：如圖13所示，直接利用已知角的度數(shù)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案.此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出∠3的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

解：如圖13所示，將一塊含有30°角的三角尺的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=48°，∠ 2=∠3=180°-48°-30°=102°，故應(yīng)選D.

1.（2019年濟(jì)寧）如圖14，直線。，6被直線c，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，則∠4的度數(shù)是（? ）.

A.65°

B.60°

C.55°

D.75°

2.（2019年衡陽）如圖15，已知AB∥CD，AF交CD于點(diǎn)E，且BE⊥AF，∠BED=40°，則∠A的度數(shù)是（? ）.

A.40°

B.50°

C.80°

D.90°

3.如圖16，若直線a//b，∠1=45°，∠2=30°.則∠FPE=____

_____________________.

參考答案：1.C 2.B 3.75。