基于似然比檢驗(yàn)的EWMA控制圖

李陽

摘要：似然比統(tǒng)計(jì)量是比較常用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。其基本假設(shè)是數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，基于極大似然估計(jì)得到統(tǒng)計(jì)量的基本形式。其對(duì)正態(tài)分布下數(shù)據(jù)位置參數(shù)和尺度參數(shù)的監(jiān)測效果較好，但對(duì)于非正態(tài)分布下的具體表現(xiàn)不得而知。在此將似然比統(tǒng)計(jì)量與EWMA結(jié)合，并比較分析似然比統(tǒng)計(jì)量在不同分布下檢測位置參數(shù)和尺度參數(shù)的表現(xiàn)。

Abstract： The likelihood ratio statistic is the most common test statistic. The basic assumption is that the data is obtained from the normal distribution and the basic form of the statistic is obtained based on the maximum likelihood estimation（MLE）. The monitoring effect of the data location parameters and scale parameters under normal distribution is good， but the concrete performance of the data under non-normal distribution is not known. In this paper， the likelihood ratio statistic is combined with EWMA， and the performances of the location parameters and the scale parameters of the likelihood ratio statistics under different distributions are compared and analyzed.

關(guān)鍵詞：似然比統(tǒng)計(jì)量;統(tǒng)計(jì)過程控制;指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均

Key words： likelihood ratio statistic;SPC;EWMA

中圖分類號(hào)：O212，O213.1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2020）03-0195-02

0? 引言

統(tǒng)計(jì)過程控制（statistic process control，SPC）被廣泛地用于各領(lǐng)域中，用于監(jiān)測產(chǎn)品生產(chǎn)或服務(wù)過程的狀態(tài)是否正常。現(xiàn)存的很多控制圖都假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，似然比統(tǒng)計(jì)量就是如此。然而在實(shí)際過程中數(shù)據(jù)并不一定服從正態(tài)分布，因此對(duì)控制圖在非正態(tài)分布下的表現(xiàn)進(jìn)行分析評(píng)估顯得尤為重要。

目前，基于似然比檢驗(yàn)提出的控制圖被用于各種情況下。Zhang[1]（2002）基于對(duì)數(shù)似然比提出了一個(gè)用參數(shù)化方法估計(jì)有效GOF檢驗(yàn)的控制圖。Zou[2]（2010）在Zhang的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了一個(gè)無分布EWMA控制圖。YEH[3]（2004）提出了一個(gè)基于似然比和EMWA的控制圖，用于監(jiān)測多元正態(tài)過程。代毅等[4]（2006）基于似然比統(tǒng)計(jì)量提出了一個(gè)預(yù)分析累積和控制圖。

似然比統(tǒng)計(jì)量在統(tǒng)計(jì)過程控制領(lǐng)域比較常用。然而，對(duì)于不同分布下使用似然比統(tǒng)計(jì)量監(jiān)測位置參數(shù)和尺度參數(shù)的分析沒有現(xiàn)成文獻(xiàn)。本文在此進(jìn)行了這一部分的工作。

1? 似然比檢驗(yàn)控制圖

似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（likelihood ratio test statistic，LRT）是基于極大似然估計(jì)得到的統(tǒng)計(jì)量形式。首先，假設(shè)第k個(gè)樣本大小為n，表示為Xk1…，Xkn，這些數(shù)值是來自于樣本X的隨機(jī)樣本，且X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)表示為 f（x，μ，σ2）。則樣本平均值可以表示為 。似然函數(shù)為：L（xk1…，xkn，μ，σ2）。在此假設(shè)X 服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=μ0，σ2=σ02? H1：μ≠μ0， σ2≠σ02。似然函數(shù)表示為：

2? 表現(xiàn)評(píng)估

通過仿真，受控平均運(yùn)行長度（IC ARL）設(shè)置為370。所有ARL的值是10000次仿真的平均值。本文采用隨機(jī)模擬法來計(jì)算ARL。通常控制限通過仿真實(shí)驗(yàn)得到，選取控制限時(shí)使用二分法可以較快的得到控制限的值。本部分列出了LRT控制圖在各種分布下的表現(xiàn)結(jié)果，包括：正態(tài)分布，x2（3）分布以及學(xué)生t（3）分布。

從表 1可以看出，似然比控制圖對(duì)于位置參數(shù)的監(jiān)測速度與其偏移方向沒有關(guān)系。位置參數(shù)或尺度參數(shù)偏移量些微的增加都會(huì)使得監(jiān)測速度提高很多。由表2中的結(jié)果對(duì)x2（3）分布下的表現(xiàn)進(jìn)行分析。LRT對(duì)x2（3）分布數(shù)據(jù)的監(jiān)測速度明顯低于正態(tài)分布下。表3中t（3）分布下的結(jié)果，相同位置參數(shù)和尺度參數(shù)偏移量下其監(jiān)測速度還要遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于x2（3）分布。

3? 結(jié)論

本文介紹了基于似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的似然比控制圖。此圖在正態(tài)分布下可用于同時(shí)監(jiān)測位置參數(shù)和尺度參數(shù)，且表現(xiàn)良好;在非正態(tài)分布下表現(xiàn)一般，需要特別注意的是，其非常不適用于學(xué)生t分布。

參考文獻(xiàn)：

[1]Zhang， J."Powerful Goodness-of-Fit Tests Based on Likelihood Ratio"[J]. Journal of the Rayal Statistical Society， Series B.2002，64：281-294.

[2]ZOU C L， Fugee Tsung. Likelihood Ratio-Based Distribution-Free EWMA Control Charts[J]. Journal of Quality Technology， 2010， 42（2）：174-196.

[3]ARTHUR B. YEH LONGCHEEN HUWANG and YU-FANG WU. A likelihood-ratio-based EWMA control chart for monitoring variability of multivariate normal processes[J]. IIE Transactions， 2004， 36（9）：865-879.

[4]代毅，王兆軍，鄒長亮.基于似然比統(tǒng)計(jì)量的預(yù)分析累積和控制圖[J].中國科學(xué)（A輯 數(shù)學(xué)），2006（9）：984-1000.