行星變速機(jī)構(gòu)換擋變胞與其構(gòu)態(tài)屬性自動(dòng)識(shí)別

符升平 羅 寧

(1.集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院， 廈門 361021； 2.中華大學(xué)工程科學(xué)博士學(xué)位學(xué)程， 新竹 30012；3.廈門理工學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 廈門 361024)

0 引言

行星變速機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于車輛動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)中，通過(guò)操縱離合器或制動(dòng)器改變功率傳遞路線，實(shí)現(xiàn)不同的擋位，具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)、傳遞功率大和易于實(shí)現(xiàn)動(dòng)力換擋等特點(diǎn)，滿足車輛變速器高速、高功率密度和多擋化的發(fā)展趨勢(shì)。但是，該機(jī)構(gòu)布置形式靈活，用多個(gè)行星排和操縱元件組成預(yù)定擋位數(shù)和傳動(dòng)比的可行傳動(dòng)方案繁多，通過(guò)手動(dòng)計(jì)算擋位傳動(dòng)特性進(jìn)行篩查的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法不能滿足要求。因此，結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法，自動(dòng)分析傳動(dòng)特性，識(shí)別擋位屬性，使性能分析和方案設(shè)計(jì)相統(tǒng)一，能夠提高車輛傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)效率。

目前，關(guān)于行星變速機(jī)構(gòu)傳動(dòng)特性自動(dòng)求解和分析的建模方法主要采用圖論[1-6]、鍵合圖理論[7-9]和經(jīng)典數(shù)學(xué)或力學(xué)法[10-13]。圖論模型適用于計(jì)算機(jī)建模和求解，實(shí)現(xiàn)方案設(shè)計(jì)和性能分析統(tǒng)一[4，14-16]，但不能描述運(yùn)動(dòng)副動(dòng)力學(xué)變化特征和表征換擋的構(gòu)態(tài)演變過(guò)程；鍵合圖理論用統(tǒng)一方法處理多能域并存的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模[17-18]，但不能充分表達(dá)構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副的空間特征，自動(dòng)識(shí)別擋位及其傳動(dòng)特性的功能不足；經(jīng)典數(shù)學(xué)或力學(xué)方法依賴于傳統(tǒng)的線圖分析綜合法、多自由度構(gòu)件分析綜合法或組合設(shè)計(jì)法，其效率較低，對(duì)空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的機(jī)構(gòu)學(xué)意義不明顯。因此，研究一種基于數(shù)學(xué)表征換擋變胞過(guò)程的擋位構(gòu)態(tài)屬性自動(dòng)識(shí)別方法對(duì)行星變速機(jī)構(gòu)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)具有重要意義。

行星變速機(jī)構(gòu)與變胞機(jī)構(gòu)在功能域和物理域上的變換原理相一致，屬于廣義的變胞過(guò)程。變胞機(jī)構(gòu)的相關(guān)理論目前已趨于成熟[19-21]，但應(yīng)用于齒輪變速機(jī)構(gòu)換擋的研究較少。針對(duì)數(shù)學(xué)表征行星變速機(jī)構(gòu)換擋變胞過(guò)程及自動(dòng)識(shí)別各擋位構(gòu)態(tài)屬性較難的問(wèn)題，本文基于約束函數(shù)構(gòu)建相對(duì)轉(zhuǎn)速意義下行星變速機(jī)構(gòu)的通用鄰接矩陣，推導(dǎo)行星變速機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)演變的變胞方程，揭示構(gòu)態(tài)演變機(jī)理，提出基于構(gòu)態(tài)變胞方程的構(gòu)態(tài)屬性自動(dòng)識(shí)別方法，以期為車輛傳動(dòng)系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)和性能分析的集成計(jì)算提供參考。

1 行星變速機(jī)構(gòu)變胞理論

行星變速機(jī)構(gòu)由操縱元件(離合器和制動(dòng)器)和行星齒輪傳動(dòng)組成。操縱元件的結(jié)合和分離，實(shí)現(xiàn)不同擋位，同時(shí)改變行星變速機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)，是一種構(gòu)態(tài)演變的變胞方式。

基于變拓?fù)錂C(jī)構(gòu)組成理論[22]，行星變速機(jī)構(gòu)某一擋位具備特有及固定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Tg，稱為行星變速機(jī)構(gòu)變拓?fù)錂C(jī)構(gòu)T的第g階構(gòu)態(tài)(1≤g≤ρ，ρ為擋位數(shù))，則

(1)

式中Ψc——不變運(yùn)動(dòng)鏈集合

Ψv——可變運(yùn)動(dòng)鏈集合

Eg——構(gòu)件集合

Jg——運(yùn)動(dòng)副集合

Fg——Jg到Eg的關(guān)聯(lián)函數(shù)集合，表示構(gòu)件與運(yùn)動(dòng)副的關(guān)聯(lián)關(guān)系

γ——構(gòu)態(tài)功能轉(zhuǎn)移圖[23]的有向邊數(shù)

運(yùn)動(dòng)副約束相鄰構(gòu)件表面的運(yùn)動(dòng)，減少自由度，隨機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)的變化產(chǎn)生、消失或改變性質(zhì)。在全局坐標(biāo)系下，定義運(yùn)動(dòng)副廣義作用力向量為

(2)

式中wj——全局坐標(biāo)系j方向廣義作用力

定義最大廣義作用力向量為

(3)

式中wjmax——全局坐標(biāo)系j方向最大廣義作用力，由運(yùn)動(dòng)副表面的加載條件和結(jié)構(gòu)形狀等決定

(4)

式中ωm、ωn——相鄰構(gòu)件m和n的轉(zhuǎn)速

關(guān)聯(lián)關(guān)系集合Fg表示構(gòu)件與運(yùn)動(dòng)副的拓?fù)溥\(yùn)動(dòng)學(xué)特征，定義關(guān)聯(lián)關(guān)系為相關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

(5)

單行星排包含3個(gè)基本元件，3元件的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(6)

其中

式中k——行星排傳統(tǒng)意義的特性參數(shù)

Z——齒數(shù)

下標(biāo)s表示太陽(yáng)輪，r表示齒圈，c為行星架。

為了采用二元關(guān)系描述單行星排拓?fù)潢P(guān)系，利用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換法將單行星排轉(zhuǎn)換為相對(duì)轉(zhuǎn)速意義下的定軸齒輪傳動(dòng)，如圖1所示。

圖1 單行星排等效拓?fù)淠Ｐ虵ig.1 Equivalent topology model of single planetary transmission

圖1中，黑圈表示構(gòu)件，有向?qū)嵕€表示運(yùn)動(dòng)副，反映相鄰構(gòu)件的相對(duì)轉(zhuǎn)速；虛線表示關(guān)聯(lián)關(guān)系，反映相關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系；有向?qū)嵕€方向表示動(dòng)力傳遞，關(guān)聯(lián)關(guān)系箭頭構(gòu)成閉環(huán)，為保證k>1，箭頭從太陽(yáng)輪指向齒圈。圖1對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為

(7)

定義絕對(duì)轉(zhuǎn)速為零的機(jī)架G、輸入構(gòu)件I和輸出構(gòu)件O，I和O分別與機(jī)架G相連。行星排構(gòu)件集合Eg包含基本構(gòu)件和機(jī)架，基本構(gòu)件包括輸入構(gòu)件、輸出構(gòu)件、制動(dòng)構(gòu)件和輔助構(gòu)件；運(yùn)動(dòng)副集合Jg元素為兩個(gè)相關(guān)聯(lián)構(gòu)件的相對(duì)轉(zhuǎn)速；關(guān)聯(lián)關(guān)系集合元素Fg為各行星排的特性參數(shù)。

在建立多行星排等效拓?fù)淠Ｐ蜁r(shí)，在合并相同構(gòu)件后，為反映每個(gè)行星排3個(gè)基本元件之間的拓?fù)潢P(guān)系，保留約束函數(shù)的數(shù)量，即不合并等效拓?fù)淠Ｐ椭?個(gè)相同構(gòu)件之間的不同名約束函數(shù)。用實(shí)線將行星變速機(jī)構(gòu)的胞源拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中具有剛性連接的兩構(gòu)件連接，得到剛性構(gòu)件分析圖。通過(guò)連通性分析，建立每個(gè)連通分支所關(guān)連構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩平衡方程，作為建立等效拓?fù)淠Ｐ偷募s束條件，即

(8)

式中T1,w2，T2,w2，…，Tn,w2——?jiǎng)傂詷?gòu)件分析圖中第w2個(gè)連通分支相關(guān)聯(lián)的1,2，…,n個(gè)構(gòu)件轉(zhuǎn)矩

β——連接分支數(shù)

(9)

2 行星變速機(jī)構(gòu)換擋變胞分析

2.1 制動(dòng)器制動(dòng)分析

操縱換擋制動(dòng)器，制動(dòng)第m構(gòu)件與機(jī)架G合并，該構(gòu)態(tài)演變過(guò)程屬于合并構(gòu)件式變胞：消除第m構(gòu)件及其運(yùn)動(dòng)副，所有運(yùn)動(dòng)副都轉(zhuǎn)移到機(jī)架G，并且機(jī)架G反映該制動(dòng)構(gòu)件后續(xù)所有的變胞過(guò)程。新構(gòu)態(tài)的構(gòu)件鄰接矩陣階數(shù)減少一階，推導(dǎo)此演變過(guò)程的變胞方程為

(10)

(11)

2.2 離合器接合分析

操縱換擋離合器，離合器將第m和n構(gòu)件同步，該構(gòu)態(tài)演變過(guò)程也屬于合并構(gòu)件式變胞：消除被同步第m或n構(gòu)件及其之間的運(yùn)動(dòng)副，刪除被同步構(gòu)件，被保留構(gòu)件反映其后續(xù)所有的變胞過(guò)程。新構(gòu)態(tài)的構(gòu)件鄰接矩陣階數(shù)減少一階，以被同步的第m構(gòu)件為例，推導(dǎo)此演變過(guò)程的變胞方程為

(12)

(13)

2.3 特殊構(gòu)態(tài)識(shí)別

(1)行星排整體回轉(zhuǎn)構(gòu)態(tài)

(14)

(2)行星排空轉(zhuǎn)構(gòu)態(tài)

(15)

2.4 實(shí)例

以圖2所示行星變速機(jī)構(gòu)為例，建立其等效拓?fù)淠Ｐ停鐖D3所示。

圖2 某行星變速機(jī)構(gòu)Fig.2 Some planetary shifting transmission

圖3 某行星齒輪傳動(dòng)等效拓?fù)淠Ｐ虵ig.3 Equivalent topology model of some planetary gear transmission

式中 ∩——與運(yùn)算，同時(shí)滿足兩個(gè)約束函數(shù)

(1)離合器將構(gòu)件z3和輸出構(gòu)件O接合

根據(jù)式(13)得到新構(gòu)態(tài)的關(guān)聯(lián)關(guān)系鄰接矩陣為

圖4 新構(gòu)態(tài)等效拓?fù)淠Ｐ虵ig.4 Equivalent topology model of some new configuration

(2)離合器將構(gòu)件c和輸入構(gòu)件I接合，且z2和z3制動(dòng)

根據(jù)式(11)、(13)得到新構(gòu)態(tài)的關(guān)聯(lián)關(guān)系鄰接矩陣為

圖5 新構(gòu)態(tài)等效拓?fù)淠Ｐ虵ig.5 Equivalent topology model of some new configuration

3 行星變速機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)屬性自動(dòng)識(shí)別

行星變速機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)屬性指其傳動(dòng)參數(shù)，主要包括傳動(dòng)比和轉(zhuǎn)矩。目前一般采用解析法和圖解法求解行星變速機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)特性參數(shù)，較難實(shí)現(xiàn)行星變速機(jī)構(gòu)傳動(dòng)特性的自動(dòng)建模和求解。基于相對(duì)轉(zhuǎn)速意義下的行星變速機(jī)構(gòu)鄰接矩陣和換擋變胞方程，對(duì)傳動(dòng)比和轉(zhuǎn)矩進(jìn)行自動(dòng)求解。

3.1 傳動(dòng)比

3.1.1相對(duì)轉(zhuǎn)速方程

行星變速機(jī)構(gòu)基本構(gòu)態(tài)對(duì)應(yīng)某一擋位，自由度為1，表明在該構(gòu)態(tài)工作時(shí)，所有構(gòu)件中僅有1個(gè)轉(zhuǎn)速獨(dú)立的構(gòu)件。由此可以推出若不包括機(jī)架G在內(nèi)，對(duì)于i′個(gè)行星排參與工作的工況，對(duì)應(yīng)的工況圖模型必有i′+1個(gè)基本構(gòu)件和2i′+2條有向邊，且存在i′+1個(gè)基本回路。

定義基本回路為基本構(gòu)件組成的閉合空間。根據(jù)相對(duì)轉(zhuǎn)速的特點(diǎn)，基本回路中各構(gòu)件間的相對(duì)轉(zhuǎn)速代數(shù)之和必等于零，稱為相對(duì)轉(zhuǎn)速方程。對(duì)于i′個(gè)行星排參與工作的工況，由對(duì)應(yīng)的工況圖模型可以列出i′+1個(gè)相對(duì)轉(zhuǎn)速方程，則有

(16)

式中P——該構(gòu)態(tài)對(duì)應(yīng)的基本回路矩陣

3.1.2特性參數(shù)識(shí)別

在各構(gòu)態(tài)構(gòu)件鄰接矩陣中關(guān)聯(lián)相同兩構(gòu)件的約束函數(shù)所表示的相對(duì)轉(zhuǎn)速是不同的，而在各構(gòu)態(tài)下參與工作的同一行星排相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性是相同的，即在所有構(gòu)態(tài)中同一行星排對(duì)應(yīng)的聯(lián)接關(guān)系鄰接矩陣所表示的廣義特性參數(shù)相同，建立行星排廣義特性參數(shù)kg計(jì)算式為

(17)

p——行星排數(shù)

行星變速機(jī)構(gòu)的行星排包括普通單星和雙星行星排，建立普通單星和雙星行星排k(傳統(tǒng)意義上的特性參數(shù))與廣義特性參數(shù)kg之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，實(shí)現(xiàn)特性參數(shù)識(shí)別。

(1)普通單星行星排：根據(jù)各構(gòu)件的拓?fù)潢P(guān)系，得到圖6所示的6種情況，且分別給出kg與k之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式和構(gòu)件對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)普通單星行星排內(nèi)傳動(dòng)比(即傳統(tǒng)意義上特性參數(shù)k)的確定。

圖6 普通單星排k值識(shí)別Fig.6 Recognition of k aiming at single planet transmission

(2)雙星行星排：解析單星排與雙星排之間運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，以增大行星排特性參數(shù)的幅值為原則，推導(dǎo)雙星排方案的特性參數(shù)。雙星排的三元件用s′、c′、r′來(lái)表示，其特性參數(shù)用k′表示。

將單星排的齒圈r作為雙星排的行星架c′，行星架c作為雙星排的齒圈r′，則它們關(guān)系為

(18)

3.1.3傳動(dòng)比計(jì)算

傳動(dòng)比ic計(jì)算流程為：

(1)已知行星排特性參數(shù)和構(gòu)件屬性，并由式(17)可得出p個(gè)聯(lián)接關(guān)系對(duì)應(yīng)的方程為

(19)

通過(guò)關(guān)聯(lián)關(guān)系鄰接矩陣識(shí)別出參與工作的行星排，則從p個(gè)方程中選出參與工作的行星排對(duì)應(yīng)的方程。

(2)設(shè)輸入構(gòu)件I轉(zhuǎn)速為單位值，即

(20)

ωI、ωO、ωG——輸入構(gòu)件、輸出構(gòu)件和機(jī)架的轉(zhuǎn)速

(3)推導(dǎo)該構(gòu)態(tài)的基本回路矩陣，由式(16)列出對(duì)應(yīng)的相對(duì)轉(zhuǎn)速方程。

聯(lián)立式(16)、(19)、(20)，數(shù)值求解線性代數(shù)方程組，在獲取構(gòu)件鄰接矩陣中約束函數(shù)的基礎(chǔ)上，得到該擋位傳動(dòng)比為

3.1.4實(shí)例

以圖7所示某拖拉機(jī)用3排行星變速機(jī)構(gòu)為例，根據(jù)上述傳動(dòng)比計(jì)算方法，完成第1擋(L2、z2和z3結(jié)合)和第6擋(L1、L3和z2結(jié)合)傳動(dòng)比的自動(dòng)建模和求解。

圖7 某行星變速機(jī)構(gòu)Fig.7 Some planetary shifting transmission

根據(jù)圖6所示k值識(shí)別方法，可知圖7行星變速機(jī)構(gòu)的第1、2、3行星排分別對(duì)應(yīng)圖6d～6f 3種轉(zhuǎn)換關(guān)系，分別求得kg1=-0.66，kg2=-1.59，kg3=-0.35。

第1擋構(gòu)態(tài)拓?fù)淠Ｐ腿鐖D8a所示，對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系矩陣為

(21)

由于z1對(duì)應(yīng)行只有1個(gè)元素為1，根據(jù)特殊構(gòu)態(tài)判定方法，表明第1行星排空轉(zhuǎn)，不參與工作。因此，刪除構(gòu)件z1及對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，得到第1擋等效構(gòu)態(tài)拓?fù)淠Ｐ停鐖D8b所示，推導(dǎo)其基本回路如圖9所示。

圖8 第1擋等效構(gòu)態(tài)拓?fù)淠Ｐ虵ig.8 Equivalent topology model of the 1st gear-shift configuration

圖9 第1擋工況等效構(gòu)態(tài)的基本回路Fig.9 Fundamental loop of configuration under the 1st shift

根據(jù)圖9所示的基本回路，結(jié)合式(16)，建立相對(duì)轉(zhuǎn)速方程為

(22)

根據(jù)式(19)建立聯(lián)接關(guān)系對(duì)應(yīng)方程

(23)

歸一化輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)速

(24)

聯(lián)立方程(22)～(24)，采用Newton法對(duì)其進(jìn)行迭代求解，得到該構(gòu)態(tài)下傳動(dòng)比ic1=7.2。

根據(jù)換擋操作方式，同理可得到第6擋工況對(duì)應(yīng)的等效構(gòu)態(tài)拓?fù)淠Ｐ图捌浠净芈?圖10)，第1、2行星排參與工作。

根據(jù)圖10所示的基本回路，結(jié)合式(16)，建立相對(duì)轉(zhuǎn)速方程

(25)

圖10 第6擋工況等效構(gòu)態(tài)的基本回路Fig.10 Fundamental loop of configuration under the 6th shift

同理聯(lián)合聯(lián)接關(guān)系對(duì)應(yīng)方程和輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)速歸一化方程，數(shù)值求解得到該構(gòu)態(tài)下傳動(dòng)比ic6=1.58

通過(guò)相關(guān)數(shù)學(xué)模型的建立和傳動(dòng)比求解通用程序的編制，完成行星齒輪變速機(jī)構(gòu)換擋各構(gòu)態(tài)傳動(dòng)比的自動(dòng)求解。該方法基于機(jī)構(gòu)拓?fù)涿枋觯鶕?jù)換擋變胞表征方法，自動(dòng)生成等效構(gòu)態(tài)拓?fù)淠Ｐ偷幕净芈肪仃嚕?jiǎn)明高效，同時(shí)為篩選設(shè)計(jì)方案提供支撐。

3.2 轉(zhuǎn)矩

3.2.1轉(zhuǎn)矩推導(dǎo)

(1)建立行星排3個(gè)基本構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩關(guān)系為

Ts,α∶Tr,α∶Tc,α=1∶kα∶-(1+kα) (α=1,2,…,p)

式中kα——第α個(gè)行星排的特性參數(shù)

Ts,α、Tr,α、Tc,α——第α個(gè)行星排的太陽(yáng)輪、齒圈和行星架傳遞的轉(zhuǎn)矩

(2)根據(jù)離合器動(dòng)力傳遞特性，接合狀態(tài)下離合器主被動(dòng)件的轉(zhuǎn)矩關(guān)系為TL1+TL2=0，分離狀態(tài)下離合器主被動(dòng)件的轉(zhuǎn)矩關(guān)系為TL1=TL2=0。

(3)聯(lián)合建立等效拓?fù)淠Ｐ蜁r(shí)提出的約束條件，并且歸一化輸入構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩TI，即TI=1。

(4)根據(jù)上述步驟，自動(dòng)建立行星變速機(jī)構(gòu)的完備性轉(zhuǎn)矩方程組，求解得到各構(gòu)件的操縱力矩和轉(zhuǎn)矩。

3.2.2實(shí)例

根據(jù)上述流程，自動(dòng)建立1擋構(gòu)態(tài)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)矩方程組，得到各構(gòu)件的轉(zhuǎn)矩對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(26)

基于行星變速機(jī)構(gòu)變胞構(gòu)態(tài)分析自動(dòng)建立的系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩方程與傳統(tǒng)分析結(jié)果一致，表明了該方法的有效性。

4 結(jié)論

(1)解析了行星變速機(jī)構(gòu)的構(gòu)件、運(yùn)動(dòng)副、關(guān)聯(lián)關(guān)系等集合論的概念，定義相對(duì)轉(zhuǎn)速意義下行星排構(gòu)件之間的約束函數(shù)，推導(dǎo)的行星變速機(jī)構(gòu)穩(wěn)定構(gòu)態(tài)下的鄰接矩陣能夠反映行星變速機(jī)構(gòu)各構(gòu)態(tài)的拓?fù)涮卣骱蛡鲃?dòng)特性。

(2)建立了換擋操縱元件變胞器，推導(dǎo)了行星變速機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)演變的變胞方程，揭示了構(gòu)態(tài)演變機(jī)理，不僅直觀、準(zhǔn)確地描述了變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的換擋過(guò)程，而且實(shí)現(xiàn)特殊構(gòu)態(tài)的自動(dòng)識(shí)別。

(3)提出的基于構(gòu)態(tài)變胞方程的傳動(dòng)比和轉(zhuǎn)矩自動(dòng)求解方法能夠完成不同擋位傳動(dòng)比和轉(zhuǎn)矩的自動(dòng)求解，實(shí)現(xiàn)行星變速機(jī)構(gòu)變胞構(gòu)態(tài)屬性的自動(dòng)識(shí)別，通過(guò)某拖拉機(jī)行星變速器實(shí)例證明了該方法的可行性和有效性，為智能設(shè)計(jì)車輛動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)提供了參考。