基于近似多位姿的輪系式缽苗移栽機構運動綜合

孫 良 胡藝翔 邢子勤 俞高紅 俞亞新

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2.浙江省種植裝備技術重點實驗室， 杭州 310018)

0 引言

相比傳統水稻毯面的機插技術，水稻缽苗移栽具有不傷根、無緩苗期、可縮短生長期等優點，對促進我國水稻產量增長及擴大可適種面積具有重要意義[1-3]。移栽機構是水稻缽苗移栽的核心工作部件，移栽機構創新設計及其設計理論一直是眾多學者研究的重點。不等速輪系式機構具有結構對稱、運動平穩等特點，學者將其應用在移栽機構設計中。

目前，輪系式水稻缽苗移栽機構的設計方法主要有運動分析與運動綜合。運動分析是選定機構、建立機構運動學模型、確定機構關鍵參數，并優化機構參數，以獲得理想的軌跡和姿態。俞高紅等[4-5]在研究蔬菜缽苗取苗機構的基礎上，采用運動分析方法提出一種取栽一體式的水稻缽苗移栽機構。孫良等[6]建立了夾秧片姿態和尖點軌跡的目標函數，獲得一組滿足水稻缽苗移栽要求的結構參數。葉秉良等[7]提出一種包含1個不完全非圓齒輪的非圓齒輪行星輪系水稻缽苗移栽機構，得到一組實現水稻缽苗移栽較優工作軌跡和姿態的機構參數。左彥軍等[8]提出基于三次非均勻有理B樣條曲線的非圓齒輪行星輪系缽苗移栽機構，并通過運動學分析建立了夾秧片姿態和尖點軌跡的目標函數，得到一組滿足水稻缽苗移栽要求的結構參數。

在運動分析中對機構初始參數選擇的盲目性會影響軌跡形狀與姿態優化過程的收斂性，而運動綜合可以在保證軌跡形狀與移栽姿態的基礎上，通過優化傳動齒輪凸性來達到目標要求，便于初始參數的選取。趙雄等[9]采用封閉節曲線擬合技術，通過給定型值點確定機構作業要求的運動軌跡，建立機構逆運動學模型，求解非圓齒輪非勻速傳動比函數，設計了非圓齒輪節曲線。SUN等[10]提出一種基于球面曲線的空間行星輪系機構運動綜合方法，實現了非圓齒輪-非圓錐齒輪行星輪系寬窄行分插機構的參數反求。值得注意的是，現有輪系式移栽機構的運動綜合中主要針對給定形狀的軌跡求解機構參數，并獲得滿足凸性要求的傳動比，求解模型中未考慮移栽臂的姿態因素。

考慮若干位姿(位置與姿態)信息的機構運動綜合問題，即剛體導引問題，在連桿機構上已有許多研究。BURMESTER[11]從純幾何角度出發，研究了平面連桿的3、4、5個位姿的精確綜合方法。SUH等[12]使用矩陣法建立了一系列非線性方程，求解平面四桿以及平面五桿最多五位姿精確綜合，并對該連桿機構進行設計。SUBBIAN等[13]使用連續法對平面四桿6、7位置進行軌跡綜合求解。文獻[14-15]采用運動映射方法進行了平面四連桿機構的多位姿精確綜合研究。ZHAO等[16-18]進行了連桿機構的混合多位姿綜合研究，在五位姿無精確解的情況下，通過擴大誤差的方法獲得近似解。雖然目前基于多位姿的運動綜合在連桿機構中應用較多，但應用在輪系機構中卻鮮見相關報道。

本文基于運動學映射理論對不等速輪系機構進行運動綜合，提出一種可兼顧軌跡形狀和多位姿的水稻缽苗移栽機構設計方法。在求解非圓齒輪節曲線時采用遺傳算法優化其圓度性。

1 水稻缽苗移栽軌跡

水稻缽苗移栽機構根據缽苗的取出方式可分為頂出式和夾取式，而夾取式水稻缽苗移栽機構根據夾取對象又分為夾苗式和夾缽式兩種，其中夾苗式水稻缽苗移栽機構是主要研究對象[19-21]。夾苗式水稻缽苗移栽機構首先利用夾秧片在取苗點處夾取缽苗的底部莖稈，然后夾秧片沿著拔苗段軌跡將缽苗從穴盤中拔出，秧苗隨著機構調整姿態并運動到移栽軌跡的最低點(植苗點)，松開夾秧片并通過推秧器將缽苗推入水田中以完成一次移栽。如圖1所示，其軌跡是一條帶環口的封閉曲線，而曲線的形狀以及移栽臂的姿態影響秧苗的栽植效果[22]。

圖1 “8字”型移栽軌跡位姿點選取示意圖Fig.1 Schematic of selection of position points of “8-word” type transplanting trajectory

根據夾苗式水稻缽苗移栽機構的農藝要求以及機構運動特點，選取的軌跡姿態點一般要滿足以下要求[23]：①取苗角α1大于-5°且小于15°。②拔苗段距離l1大于40 mm。③軌跡與秧箱之間的距離l2大于20 mm。④推苗角α2大于55°且小于75°。⑤取苗角和推苗角的差為55°。⑥取苗段軌跡應與缽盤近乎垂直。⑦動軌跡允許的植苗高度h不小于10 cm。⑧移栽機構齒輪箱回轉最低點高于地面不小于2 cm。

結合上述要求，在軌跡的規劃中考慮取苗環扣處移栽臂的位置和姿態對取苗成功率以及秧苗損傷率的影響[24]，故取苗環口處預設5個位姿點以約束取苗環扣的軌跡形狀和相應的取苗姿態；持苗段的約束條件主要是控制軌跡與秧箱的合理間距，避免干涉，預設1個位姿點；植苗段的位姿點影響立苗效果，預設2個位姿點以控制植苗角以及軌跡的整體高度。即，共用8個位姿點約束整個軌跡的各關鍵部位(圖1)。合理的移栽軌跡形狀和姿態是指滿足移栽要求的一個特定的數據區間[25]，并非是嚴格約束，為此，本文利用運動學映射理論開展近似8位姿的移栽機構運動綜合。

2 多位姿近似綜合方法

單行星架的輪系式移栽機構若不考慮齒輪約束，可以簡化為如圖2a所示的開鏈2R機構。開鏈2R移栽機構中移栽臂末端點的位置和姿態即為移動坐標系下的剛體在固定坐標系下的運動關系，如圖2b所示。

圖2 剛體位移在兩個坐標系間的轉換Fig.2 Transformation of planar displacement between two different coordinate systems

將剛體的位姿信息表示為(L1,L2,θ)，M表示與剛體相連的動坐標系，F表示固定坐標系，運動剛體內點P的位移可以表示為點坐標或線坐標從M到F的轉換[26]，即

(1)

式中 (L1,L2)——動坐標系M的原點在固定坐標系F下的坐標

(x,y)——點P在動坐標系M下的坐標

(X,Y)——點P在固定坐標系F下的坐標

θ——動坐標系M相對于固定坐標系F的旋轉角度，逆時針為正向

給定一組笛卡爾空間的平面位姿參數(L1,L2,θ)，用平面運動學映射理論可以將其轉換為圖像空間坐標B=(B1,B2,B3,B4)表示，其中

(2)

將式(1)代入式(2)，可得

(3)

如圖2所示，兩個平面剛體之間的相對運動關系可以看成是一個平面開鏈2R機構運動模型，動坐標系xy下的點P滿足固定坐標系XY下圓方程的一般形式，即參數(X,Y)滿足圓方程

2b1X+2b2Y+b3=b0(X2+Y2)

(4)

將式(3)代入式(4)可得

(5)

其中，p1=-b0,p2=b0y,p3=b0y,p4=b1,p5=b2,p6=-b1y+b2x,p7=-0.5(b1x+b2y),p8=0.25[b3-b0(x2+y2)]，(b0,b1,b2,b3)是約束圓的齊次坐標。另外，p1～p88個系數須滿足附加方程組

(6)

根據給定的8位姿條件，式(5)可轉換為

(7)

其中

通過對矩陣BTB進行奇異值分解，得到8個奇異向量，一般對于精確位姿求解可以選取3個對應的特征向量vα、vβ和vγ構成解空間。在解空間中，向量可以表示為

p=αvα+βvβ+γvγ

(8)

式中α、β、γ——解空間系數

然而，在許多實際應用等式中往往無法找到精確解，故允許使用更多近似解決方案進一步求解，即一種逐漸提高誤差容忍度并擴展解空間的策略。如式(8)，這個近似的零空間是具有最小二乘代數擬合誤差的局部最優解空間，為了允許更大的容錯能力，可使用更高維度的解空間，即用4個奇異向量來構造一般解空間，以將一般解空間擴展到四維，表達式為

p=αvα+βvβ+γvγ+μvμ

(9)

式中μ——解空間系數

在四維解空間中，它包含4個要確定的齊次變量α、β、γ和μ，以及2個齊次二次方程。由于通解中有一個未知數沒有確定，通?？梢垣@得無窮多個解。為了滿足實際的工程要求，還可施加其他具體的限制，如，可以將p第一個元素設置為0，以便獲得圓柱副連接來提供更好的支撐性，但是最終的二桿組會落入RR或者RP類型中。因此，可以考慮使固定鉸鏈點位于某一條直線上，即固定鉸鏈點(Xf，Yf)在直線L1Xf+L2Yf+L3=0上。根據式(5)還可以得到

(10)

由式(10)可得

-L1p4-L2p5+L3p1=0

(11)

將式(11)代入式(9)可得

Cαα+Cββ+Cγγ+Cμμ=0

(12)

其中

(13)

式(13)是(α，β，γ，μ)的線性約束方程，它定義了所得的RR型二桿組固定鉸鏈點所在的直線。該附加的線性約束方程可以與方程式(6)中的2個二次約束方程組合，可得

(14)

其中Kij是vα、vβ、vγ和vμ組成的表達式，其中8個約束移栽軌跡的位姿點見表1，求解得到解空間的4個特征向量見表2，最后利用求解二元二次方程組通法解得向量p的4種結果見表3。

表1 8個位姿點的參數Tab.1 Parameters of eight pose points

表2 解空間的4個特征向量Tab.2 Four eigenvectors of solution space

表3 向量p的4種結果Tab.3 Four results of vector p

將向量p標準化并附加實際的約束條件，即固定鉸鏈點位于Y=0水平線上，然后結合2個齊次方程(式(6))，可以求解出未知參數α、β、γ和μ。對于N個平面姿態，可以由3種平面二桿開鏈類型中的一種進行近似綜合：RR、PR或RP(圖3)。

圖3 平面二桿開鏈類型Fig.3 Type of planar two-bar open chain

依據向量p可以確定平面二桿開鏈的類型，4種模式為：①如果p1=p2=p3=p4=p5=0，得到的平面二桿組類型是PP型。②如果p1=p2=p3=0，得到的平面二桿組類型是PR型。③如果p1=p4=p5=0，得到的平面二桿組類型是RP型。④如無上述情況，生成的平面二桿組類型是RR型。

表3列出了p的4種結果，其中應排除p1=p4=p5=0(如表3中第2組解)的特殊情況，因為這會使得p始終滿足式(11)。從而，可獲得3個RR型二桿組，可依次近似經過給定的8個位姿?？紤]到水稻缽苗移栽機構工作范圍限制，選擇第1、3二桿組構造機構。

3 平面開鏈2R機構及軌跡

將動鉸鏈點P的坐標(x,y)轉換成固定坐標系XY下的坐標(X,Y)，通過選取合適的二桿組，得到擁有2個固定鉸鏈點的一組四桿機構。表4中，輸入桿的長度是l1，輸出桿的長度是l2，(Xf，Yf)和(Xm，Ym)分別是固定鉸鏈點和動鉸鏈點的坐標。圖4中的四桿機構可以近似地通過8個給定的位姿點，其中實線部分的開鏈2R機構即為與輪系式移栽機構對應的行星架和移栽臂。

表4 四桿機構參數Tab.4 Parameters of four-bar mechanism mm

圖4 四桿機構及其軌跡Fig.4 Four-bar mechanism and its trajectory

圖5 原軌跡以及截取的部分軌跡段Fig.5 Original trajectory and part of intercepted trajectory

在獲得的四桿機構軌跡中截取由8個給定位姿控制的曲線作為已知段軌跡，如圖5所示，并結合選定的開鏈2R機構確定2R機構的相對角位移。為了得到整個運動周期的角位移曲線，先在求解的已知角位移中間隔選取若干數值點(本文中選取19個點，為確定的數值點)；再參考回程段軌跡(圖5)對應的角位移選定若干數值點(本文選取5個點，為可變數值點)；然后，基于設定的24個數值點，利用三次非均勻B樣條曲線擬合獲得完整的角位移曲線(圖6)。此時，再利用開鏈2R機構可復演出一條新的完整的封閉軌跡[27]。

圖6 角位移曲線Fig.6 Angular displacement curve

4 移栽機構設計

4.1 傳動比分配

根據運動綜合得到的開鏈2R機構，在其第一桿上添加一定的傳動齒輪后，可獲得移栽機構傳動所需的單自由行星輪系機構(圖7a)。機構以與機架固定的太陽輪為中心，對稱布置兩套兩級非圓齒輪傳動，由行星架動力輸入，通過齒輪傳動，實現兩移栽臂的復合運動，即移栽運動[28]。如圖7b所示，將行星架輸入點記為A0，行星架輸出點記為Ac，行星架記為桿G1，移栽臂記為桿G2，移栽臂端點記為C。

圖7 七齒行星輪系水稻缽苗移栽機構簡化模型Fig.7 Transplanting mechanism and simplified model of seven-tooth planetary gear system rice bowl seedlings1.中心軸 2.太陽輪 3.中間輪A 4.中間輪B 5.行星輪 6.移栽臂部件 7.行星軸 8.中間軸 9.齒輪箱

顯然，輪系機構的總傳動比以及各級齒輪傳動比可依據上一節擬合的角位移曲線(圖6)獲得。

對于兩級非圓齒輪輪系機構，總傳動比為

(15)

式中i——機構總傳動比

w0——太陽輪角速度

w1——一桿(輸入桿)角速度

w2——二桿(輸出桿)角速度

確保兩對齒輪的傳動比相近，分配的傳動比計算式為[29]

(16)

i2=i/i1

(17)

式中i1——第1級非圓齒輪的傳動比

i2——第2級非圓齒輪的傳動比

k——峰谷值調整系數

圖8為總傳動比、第1級和第2級傳動比曲線，曲線峰值位置和整體波動趨勢相近，有利于獲得圓度較好的非圓齒輪節曲線。圖9為根據初始分配的傳動比求解的兩對非圓齒輪節曲線。顯然，從節曲線形狀上看，非圓齒輪整體光滑性有待進一步改善以利于齒廓設計。

圖8 傳動比分配結果Fig.8 Distribution of transmission ratio

圖9 未經優化的非圓齒輪節曲線Fig.9 Unoptimized non-circular gear pitch curves

4.2 非圓齒輪的凹凸性優化

針對圖6所示的角位移曲線，可通過改變點17、18之間的5個可變的角位移參數來調節齒輪節曲線以及非關鍵軌跡段的形狀。將非圓齒輪節曲線的凹凸性優化轉變為目標函數，變量為圖6中5個控制點的橫坐標，同時滿足條件

λ17≤X1≤X2≤X3≤X4≤X5≤λ18

其中，獨立變量X1～X5分別表示可變型值點1～5(圖6)的橫坐標，λ17、λ18表示固定型值點17、18(圖6中實心點)的橫坐標。

建立一種通用的目標函數或評價函數，其目標是優化非圓齒輪節曲線的圓度性，以提升齒輪設計可行性與運動學性能。具體函數建立方式如下：若太陽輪節曲線中一個擬合點的向徑小于相鄰兩個擬合點的向徑時，函數Y1表示為

(18)

式中r1i——太陽輪節曲線上第i個擬合點的向徑

r1(i+20)、r1(i-20)——第i個擬合點兩側擬合點的向徑

N——一條節曲線上擬合點的總數

第二級非圓齒輪節曲線函數Y2形式為

(19)

式中r3j——中間輪3上第j個擬合點的向徑

r3(j+20)、r3(j-20)——中間輪3上第j個擬合點兩側擬合點的向徑

r4j——行星輪4上第j個擬合點的向徑

r4(j+20)、r4(j-20)——行星輪4上第j個擬合點兩側擬合點的向徑

由于存在兩個需要優化的目標，一般來說，分目標函數越多，對設計方案的評價就越全面，但計算也越復雜、耗時。對于多目標優化問題，通常的處理方法是將幾項指標綜合進行評價，即構造一個多目標函數

f(X1,X2,…,X5)=K1Y1+K2Y2

(20)

式中K1、K2——權重系數

目標函數f(X1,X2,…,X5)由函數Y1和Y2組成。

表5為利用遺傳算法優化得到的一組最優值，其上限值是圖6中角位移曲線上的實心點18的橫坐標，其下限值為圖6中角位移曲線上的實心點17的橫坐標。利用遺傳算法的局部優化綜合方法針對角位移曲線上的部分可變的型值點進行優化，其優化前后角位移曲線的對比如圖10所示。優化后的角位移曲線在部分曲線段上相比于初始角位移曲線更為平緩。

表5 角位移的最優值

圖10 優化前后的角位移曲線Fig.10 Comparison of angular displacement curves before and after optimization

通過多次優化測試得到多目標函數中的權重系數為0.95和0.05。在優化中，隨機產生的初始個體為30個，并包含有50代遺傳代數，每代的最優適應度如圖11所示，最優值為968.115，平均值為968.402，適應度函數呈收斂狀態。對比圖9和圖12可知，通過遺傳算法參數優化明顯改善了非圓齒輪節曲線的凹凸性。

圖11 不同代數時的最優適應度Fig.11 Optimal fitness values per generation

圖13為對非圓齒輪進行參數優化前后的移栽軌跡，平面開鏈2R機構的軌跡發生了比較明顯的變化，但由于變化的位置僅限于可變軌跡段，其關鍵軌跡段仍然近似經過8個給定的位姿點，所以該軌跡依舊能夠滿足第2節提出的設計要求。

圖12 優化后的非圓齒輪節曲線Fig.12 Optimized non-circular gear pitch curve

圖13 優化前后的軌跡對比Fig.13 Trajectory comparison before and after optimization

5 移栽機構仿真與試驗

為了進一步驗證水稻缽苗移栽機構運動綜合的數據合理性，利用軟件仿真和高速攝影機(Phantom系列)拍攝，對移栽臂通過的各個關鍵位姿點及軌跡進行分析。

由圖14、15可知，實際物理樣機的軌跡與虛擬樣機仿真分析的軌跡基本一致。表6為8個設定位姿點相對應的最接近軌跡點的位姿數據。三者姿態角(與x軸方向的夾角)最大誤差控制在1°范圍內，符合近似運動綜合設計要求。

圖14 仿真軌跡Fig.14 Simulation trajectory

圖15 物理樣機軌跡Fig.15 Physical prototype trajectory

表6 姿態角對比Tab.6 Attitude angle comparison (°)

在移栽機構試驗臺取苗試驗中，秧苗采用14格×29格缽盤育苗，平均每穴1～3株秧苗，苗齡為25 d，秧苗平均高度為156 mm。移栽機構在試驗臺架上以80 r/min的速度運行，每分鐘能取苗160次，取苗成功率為94.98%，如圖16所示。而后，開展田間移栽試驗，如圖17所示。栽植的秧苗在水田中的翻倒現象有所改善，相比于現有的輪系式水稻缽苗移栽機構，其移栽后秧苗的立苗角度有所提升。

圖16 取苗試驗Fig.16 Picking seedling test

圖17 田間試驗Fig.17 Field test

6 結論

(1)提出一種基于近似多位姿的非圓齒輪行星輪系綜合方法，完成了一種7個非圓齒輪水稻缽苗移栽機構的設計，并且實現了滿足多個給定位姿點的“8字”型復雜軌跡；提出了基于遺傳算法的非圓齒輪節曲線非圓度優化方法，在不改變關鍵軌跡段的情況下優化得到了合理的非圓齒輪節曲線。

(2)通過仿真與試驗，驗證了綜合方法的正確性以及移栽機構設計的可行性，室內取苗試驗成功率達到了預期要求。完成了田間移栽試驗，栽植的秧苗在水田中的翻倒現象有所改善。