基于SEIR 動(dòng)力學(xué)模型的傳染病發(fā)展研究

馬宗硯　秦緒巖　劉灝陽　段紹立　王學(xué)梅

摘要：本文主要針對(duì)SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型對(duì)疫情的理論研究，利用湖北省疫情的實(shí)際情況通過模型理論進(jìn)行分析，做了防控隔離和醫(yī)學(xué)追蹤隔離等措施，集中收治等重要措施對(duì)感染人數(shù)峰值的迅速回落起到了關(guān)鍵作用。首先建議個(gè)人提高防范意識(shí)，采取嚴(yán)格自我防護(hù)措施，遏制了感染人數(shù)的新增。其次修正的SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型在分析COVID-19傳播態(tài)勢(shì)上是可靠的，其次可以為制訂未來的疫情干預(yù)決策提供可靠的理論支持。最后繪出殘差圖并進(jìn)行殘差分析，剔除置信區(qū)間不包含零點(diǎn)的異常點(diǎn)數(shù)據(jù)，重新進(jìn)行多元線性回歸，能夠更好地建立關(guān)于確診人數(shù)的多元線性回歸模型。

關(guān)鍵詞：SEIR 動(dòng)力學(xué)模型;殘差圖;多元線

引言

考慮到無癥狀感染者具有一定的傳染性，且不容易發(fā)現(xiàn)，但全民進(jìn)行病毒檢測(cè)又成本太高，且時(shí)間過長，不利于復(fù)工復(fù)產(chǎn)，尋找一種更為有效的方法來最大限度地降低無癥狀感染者的傳播風(fēng)險(xiǎn)，比如對(duì)一個(gè)地區(qū)進(jìn)行抽樣病毒檢測(cè)來評(píng)估該地區(qū)的無癥狀感染者的分布情況，再制定不同的隔離和檢測(cè)措施。針對(duì)一兩個(gè)國家（或地區(qū)），制定切實(shí)可行的病毒檢測(cè)抽樣方案，并給出無癥狀感染者分布預(yù)測(cè)模型和相對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的應(yīng)對(duì)方案。

1、問題分析

考慮COVID-19潛伏期患者不易被有效隔離，且具有較強(qiáng)的傳染能力，以及如何快速地、準(zhǔn)確地、最小成本地識(shí)別和判斷潛伏期患者，建立了聯(lián)合考慮潛伏期傳播能力和追蹤隔離干預(yù)措施的SEIR傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型。以湖北省疫情數(shù)據(jù)為依據(jù)，擬合得到了新建立的修正SEIR模型的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。通過歐拉數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)修正SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型的求解，對(duì)湖北省疫情進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，評(píng)估各種疫情防控措施對(duì)疫情發(fā)展的影響。

2、模型的建立

用本國和國外相比較來看的話，國外城鎮(zhèn)一個(gè)顯著特征是人口稀少。像中國各地城市這樣的，在車站、公家和地鐵車廂、學(xué)校、醫(yī)院、菜場(chǎng)等地方，摩肩接踵、人頭攢動(dòng)的現(xiàn)象，是極少見的，不論大中城市，還是小鎮(zhèn)，都是集合住宅，幾十戶人家共棲于一棟建筑中，幾十棟甚至幾百棟住宅樓組成一個(gè)超大型的居住區(qū)，大型的人口密度大大的增加了病毒的傳播的速度也擴(kuò)大了病毒的傳播范圍。

對(duì)于新冠病毒的死亡率，以下的反映中，確證病例反映的是醫(yī)療壓力，人均GDP反映的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平，人均床位數(shù)反映醫(yī)療供給能力，平均氣溫反映氣候條件

為了結(jié)果的穩(wěn)定性，除去湖北的省份在分析的結(jié)果，經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平越高，醫(yī)療資源越充裕，溫度越高，確實(shí)對(duì)降低死亡率有一定的作用，但是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的結(jié)果并不顯著。

3、模型的求解

本次新冠病毒的檢測(cè)以檢測(cè)病毒感染情況為目的，采用多階段分層整群等比例隨機(jī)抽樣的方法在湖北范圍內(nèi)抽取滿足條件量。隔離易感者解除隔離后重新轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘姓撸腥菊吆蜐摲呔胁煌潭鹊哪芰Ω腥疽赘姓撸蛊滢D(zhuǎn)化為潛伏者。同時(shí)考慮到非隔離的感染者I和潛伏者E對(duì)易感人群的影響，又有隔離解除的易感者Sq重新轉(zhuǎn)變?yōu)镾，因此易感者人數(shù)控制方程為

其中 是潛伏者相對(duì)于感染者傳播能力的比值，簡(jiǎn)單起見假設(shè)潛伏期患者與已表現(xiàn)出癥狀患者的傳染能力相同，即 。 是隔離解除速率，取 （隔離時(shí)長為14d）。

用于COVID-19疫情的修正SEIR動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)建如下：

其中， 為潛伏者向感染者的轉(zhuǎn)化速率，取 （潛伏期為7d）， 為病死率， 是感染者的隔離速率， 是感染者的恢復(fù)率。 是隔離潛伏者向隔離感染者的轉(zhuǎn)化速率， 是隔離感染者的恢復(fù)速率。

結(jié)論

考慮到無癥狀感染者的傳染性，建立了相應(yīng)的SEIR傳染病動(dòng)力學(xué)模型，依據(jù)用歐拉數(shù)值方法進(jìn)去求解，較為準(zhǔn)確的求出模型的最終解，從而實(shí)現(xiàn)感染者預(yù)測(cè)模型和針對(duì)相應(yīng)預(yù)測(cè)的應(yīng)對(duì)方案。文中所建立的數(shù)學(xué)模型均對(duì)其結(jié)合實(shí)際情況檢驗(yàn)，確保了數(shù)學(xué)模型的合理性、正確性和穩(wěn)定性，最大程度上降低計(jì)算誤差。模型不可避免地會(huì)與現(xiàn)實(shí)存在一定差異，進(jìn)而導(dǎo)致分析預(yù)測(cè)結(jié)果存在一定的偏差。在回歸分析法時(shí)，由于確診人數(shù)這個(gè)變量僅受單個(gè)因素的影響的情況極少，且式子僅為一種推測(cè)，使得該模型在某些情況下受到限制。

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