Fourier級數在GNSS精密星歷插值中的應用

于國強

中國電建集團華東勘測設計研究院有限公司·浙江華東工程安全技術有限公司 浙江 杭州 311122

1 前言

一般用戶接收到的導航電文的星歷精度不高。IGS(Inter national GNSS Ser vice)的全球幾大數據中心提供精密星歷數據,但是發布的星歷間隔一般在5 min至15 min,而接收機采樣頻率一般都小于30s,因此兩者時間不一致,需要將精密星歷數據進行采用,以滿足高精度定位需求。

目前應用比較廣的插值方法有Lagrange多項式插值,切比雪夫多項式擬合,Neville插值以及牛頓插值法。本文選取9階模型。但是每日的最后15分內,由于沒有外推數據,插值效果一般較差,出現分米甚至米級誤差。為解決這個問題,采用兩種方法：1)采用當天數據進行外推預測;2)利用第二天的數據,拼接在一起進行插值。實驗表明,方法二的精度比方法一要好,但是方法二要求星歷數據必須連續,如果某顆衛星中斷了,無法得到結果,存在較大局限性。本文探索利用Fourier級數來提高第一種方法的精度。

2 Fourier級數插值

導航衛星在太空中,受多種引力影響,其運動規律滿足開普勒第三定律,是一個不嚴密的橢圓形軌道;衛星在空中是一個平滑的、周期性的運動過程;下圖1展示了2019年8月24日的GPS星座PRN01衛星運動軌跡,從圖中能明顯看出周期性和平滑性。

圖1 地球坐標系下衛星運動特點圖Fig.1 Movement Characteristic of Satellite in Earth - fixed Coordinate System

在數學理論中,對于任何一個符合周期運動的物體,只要它滿足符合狄利克雷收斂定理[1],就一定能夠采用Fourier級數對其進行分解。本文采用這個定理對GNSS衛星星歷數據進行Fourier級數展開。

任何一個周期運動,根據狄利克雷收斂定理可以展開如下形式：

式中(a,b)為函數一個周期的值域。

函數f(x)的展開式需要明確a0,ai,bi(1≤i≤n)具體形式。通常采用如下公式進行求解：

(1)滑動式數據選取

為了提高結果精度,準確匹配待求坐標和精密星歷中的數據時間是關鍵,保證待插值點始終處于中間位置,但這也造成在當日星歷文件中的最后15分鐘只能依賴前面數據進行外推。本文采用的外推策略稱為“移動窗口法”。

(2)確定Fourier系數

坐標三分量(x,y,z)是時間的函數,本文以x坐標為例進行講解具體插值方法。精密星歷坐標與其對應的歷元時間有如下關系：

上式中,XTJ表示某一選定精密星歷(TJ歷元)X 坐標值;TJ是XTJ對應的精密星歷歷元時間;n代表Fourier級數展開的階數;

利用選定的數據,有：

解線性方程組即可得到待求系數a0,ai,bi(1≤i ≤n)。Y,Z坐標值的插值函數系數也可以按照同樣方法求得。

(3)根據給定插值時間,利用插值函數求得對應星歷坐標。

根據上述,利用所求參數,確定待插值精密星歷的時刻為t,有：

式中,表示t時刻的衛星X 坐標。其他兩坐標分量Y,Z依據相同方法獲得。

3.算例分析

對本文中的方法設計實驗進行驗證,采用間隔十五分鐘的2019年8月24日GPS精密星歷數據。本文采用的實驗衛星為GPS的PRN01號衛星。

本文采用9階多項式對2019年8月24日GPS星歷數據進行插值研究。從表1結果分析,采用Lagrange 9 階多項式插值方法計算的結果RMS＝1.4c m,而外推的最大誤差接近6d m。Fourier級數插值階數取4時,精度達到最好,平均均方根誤差為3 mm,外推最大誤差為9 c m。

通過實驗,發現無論是內插還是外推,Fourier級數插值相比傳統多項式插值優越一個數量級。

傅里葉插值方法結果精度比滑動滑動拉格朗日多項式插值內插精度更高,尤其在數據開始和結束部位。

4 結語

本文研究了一種顧及GNSS衛星實際物理運動模型。對比傳統的滑動Lagrange多項式插值,Fourier級數插值法無論是插值精度,還是算法的復雜度有相當優越性。