新課程背景下高等數學趣味性教學策略探究
——以函數的凹凸性為例

岳霞霞

(山西工程技術學院，山西 陽泉 045000)

1 創設情境，引入課題

教學導入是課堂教學的開端，創設情境是師生心靈溝通的第一座橋梁，教師要想辦法使學生有高昂的學習熱情和濃烈的學習興趣。若在教學中急于傳播知識而忽略教學導入，只會使學生產生學習壓力，喪失學習興趣，會讓學習成為一種負擔。而創設合適的情境有利于學生了解知識產生的過程，能夠更加深刻理解知識的內涵，實現對知識的靈活遷移與運用，進而調動學生的積極性，激發學習興趣。

創設情境要聯系生活，要符合學生的認知水平。冪函數是高等數學的基礎，三次函數y=x3就是一個簡單的冪函數，教師可讓學生畫出y=x3的函數圖像，并仔細觀察其在y軸兩側的單調性。通過觀察發現，函數在y軸兩側的函數圖像都是單調遞增的，但它們的彎曲方式有所不同，僅用單調性來描述曲線的形態是不夠的，還需進一步考察曲線的彎曲方向。教師要引導學生發現，在y軸左側曲線是向上鼓的，像象形文字的“凸”字，而在y軸右側，曲線則是向下鼓的，像象形文字的“凹”字，進而給出曲線凹凸性的描述性定義，若曲線向上鼓，則稱它是上凸(或凸弧)，簡稱凸；若曲線向下鼓，則稱其是上凹(或凹弧)，簡稱凹。同時，教師可利用兩個典型的象形文字“凸”和“凹”來描述曲線彎曲的方向，進而引出這節課所要學習的內容——函數曲線的凹凸性。

教師要從學生的認知水平出發，以熟悉的三次函數為切入點，讓學生觀察圖像的彎曲方向，將形象思維與邏輯思維相結合，利用典型的象形文字來形容曲線的彎曲方向，引出凹凸性定義，這樣可培養學生的學習興趣。

2 數形結合，形成概念

數與形是數學最基本的研究對象，在一定條件下可以互相轉化，它們之間有一定的聯系就是數形結合。數形結合的思想貫穿于整個高等數學的知識體系中，其實質是將抽象的數學語言通過直觀形象的圖形展示出來，可以使抽象的問題形象化、生動化，變抽象思維為形象思維，有利于把握數學問題的本質。

在教學中，教師可在曲線弧上任取兩點，觀察曲線上聯結這兩點的弦與相應弧的位置關系，并過曲線上任意一點作曲線的切線，觀察切線與曲線的位置關系。通過幾何的直觀對比觀察發現，可引導學生探索歸納出判別曲線凹凸性的兩種幾何法，加深了學生對曲線凹凸性的理解。但只知道函數表達式而不知道函數圖像，那就無法直接判斷出曲線的凹凸性，還需進一步利用精確的數學語言來描述凹凸性。

可通過比較曲線上任意兩點中點的函數值與這兩點函數值的平均值大小來判別曲線的凹凸性，這種判別方法與幾何法的比較曲線上弦與弧的位置關系是相統一的，用到了數形結合的方法，可以用這種方法判定曲線y=x3的凹凸性。在判定曲線的凹凸性時，需要分別求出任意兩點中點的函數值與這兩點函數值的平均值，然后比較這兩值的大小。在比較大小時，主要采用的方法是定義法和作差法。

3 形式多樣，豐富教學

高等數學晦澀難懂，教學方式單一，需在教學中引入多媒體技術。多媒體技術能夠使抽象的內容更加形象直觀[1]，教學過程圖文并茂、情景交融，同時還能充分利用各種教學平臺對學生進行過程化管理，使學生能夠積極參與到數學學習中，提高學習興趣。教師需圍繞教學內容精心設計一系列新穎而富有啟發性的問題，并通過設問、反問、討論的方式層層推進，引導學生積極思考，激發學生的求知欲。多種教學方式相融合，使課堂教學更加形象化、生動化、趣味化。

對于一些比較復雜的函數，如果利用定義，在計算時往往會比較困難，需要尋求更加有效的方法，比如進一步觀察曲線的切線，引導學生轉換思維方式。教師可提出問題：如果曲線是凹的，那么隨著自變量的增大，切線的斜率會如何變化？通過觀察發現，隨著自變量的增大，切線的右端是逐漸向上抬起的，即切線的斜率是單調遞增的。

由導數的幾何意義可知，函數的一階導數單調遞增，那么一階導數的導數是大于等于0的，即函數的二階導數大于等于0[2]。教師可通過這樣的對比觀察切線來進行逐層發問，并采用啟發式教學法進行推導，進而得出用函數二階導數的符號來判定函數所對應曲線的凹凸性，引導學生通過聯想記憶的方法來記憶結論，若二階導數大于等于0，聯想到正能量，此時會出現笑臉，函數圖像是凹的；若二階導數小于等于0，聯想到負能量，此時會出現哭臉，函數圖像是凸的。這種代數判斷函數凹凸性的方法其實就是利用幾何法切線與曲線的位置關系來判別的，是典型的數形結合的體現。學習最重要的就是運用，可利用二階導數的符號方法來判定曲線y=x3的凹凸性，從而得出結論，然后再給出拐點的定義，即拐點就是凹弧與凸弧的分界點。

4 歸納小結，提高認識

歸納小結是課堂教學中必不可少的一個環節。知識的梳理更是離不開歸納總結，在教學任務的最后階段，教師要引導學生梳理知識，鞏固重難點，總結課堂中用到的知識點、技能、過程、方法以及情感態度價值觀等。好的課堂總結能使學生迅速掌握新舊知識的內在聯系，形成知識網絡，提高學習效率。

在曲線凹凸性學習的最后階段，教師需引導學生歸納總結知識結構，利用典型的象形文字來形容曲線的彎曲方向，從而引出凹凸性的定義。然后，通過笑臉和哭臉來聯想記憶結論，并將形象思維和邏輯思維相結合，使學生能夠對凹凸性有更加深入的直觀認識和理解。最后，總結拐點的定義，并融入思政元素，即人生的道路如同曲線，要把人生拐點拐成一個個人生亮點。

5 結語

高校要深化課堂教學改革，增加高等數學教學的趣味性，提高學生的學習效率[3]。在教學的各個環節中，教師要引導學生發現數學之美，吸引學生發現高等數學學習中的樂趣，激發學生的學習熱情。