壓縮感知理論在稀疏陣列方向圖綜合中的應用研究

王停 張永斌 王凡 楊雪林

摘要 陣列天線方向圖綜合技術在智能天線設計中具有重要作用，其中均勻陣列的方向圖綜合問題一直是智能天線領域的研究熱點。為解決等間隔均勻陣列需要大量的陣元才能滿足方向圖指標要求的問題，基于壓縮感知理論與低秩矩陣恢復技術分別提出了稀疏陣列方向圖綜合的方法，該方法主要包括稀疏陣列設計、稀疏陣列恢復與陣列方向圖綜合等過程。仿真結果表明，利用少量稀疏陣元來實現所期望的低增益、強方向性的方向圖效果，有利于設備的小型化和經濟性。

關 鍵 詞 方向圖綜合;壓縮感知;低秩恢復;稀疏陣列

中圖分類號 TN821.91? ? ?文獻標志碼 A

Abstract Antenna array pattern synthesis technology plays a vital role in the field of smart antenna， and it is well known that the pattern synthesis of homogeneous array is the main topic of pattern synthesis technology. But this technology need plenty of homogeneous array elements to meet the antenna requirements. So a novel pattern synthesis technology for sparse array based on the compressed sensing （CS） method and low-rank matrix recovery （LRMR） method is proposed. The technology includes the design of sparse array， the recovery of homogeneous array and the synthesis of antenna array pattern， etc. The simulation result shows that an antenna array with low-gain and strong-directivity can be built by using a small amount of sparse array elements and it is available for the miniaturization and economical efficiency of the antenna system.

Key words pattern synthesis; compressed sensing; low-rank matrix recovery; sparse array

0 引言

在無線通信系統中，天線經常用來高效地發射與接收電磁波，可以在不同地點間進行信息傳輸而不借助任何中間設備。方向圖綜合技術在傳統天線領域與智能天線領域都發揮著必不可少的作用。陣列天線方向圖綜合是利用各種優化算法改變天線特性并以此來滿足天線系統方向圖的各種指標的技術。在均勻線陣方向圖綜合問題的研究中，人們首先成功研究了各種均勻線陣的低旁瓣和深零陷方向圖綜合算法，隨后又提出了基于自適應原理的陣列方向圖綜合技術[1-5]。但是，以上基于等間隔均勻陣列的綜合均需要大量的陣元才能滿足方向圖的指標要求，這顯然提高了天線設備的復雜性與成本。

在天線陣列的設計中，利用將天線的陣元在陣列當中進行稀疏分布[6]的方法來構造一個低增益且強方向性的天線陣列，以較少單元數滿足設計指標，并以此大幅降低生產成本。根據壓縮感知[7-8]與低秩恢復理論[9-11]，將稀疏陣列恢復成均勻陣列，然后再進行方向圖綜合，這樣可以用較少的稀疏陣元，達到實現均勻陣元方向圖綜合的效果，這對設備的小型化和經濟性都有很好的作用。

基于這一思想，本文提出一種稀疏陣列技術，其中對于直線陣采用壓縮感知方法，對于矩形陣采用低秩矩陣恢復技術。使用PSO算法得到二維方向圖，使用Chebyshev方法[12]得到三維方向圖。

1 方法原理

將壓縮感知與低秩恢復技術應用于稀疏陣列方向圖綜合中。Orthogonal Matching Pursuit（OMP）算法是一種經典的壓縮感知重構算法。在OMP算法中，在每次迭代過程中都會將被選定的原子進行正交化處理，然后將采樣值投影到由這些正交原子組成的空間，并得到信號在這些正交原子上的分量與殘差，之后再用同樣的方法分解殘差，如此迭代會使殘差隨著分解的過程迅速減小，從而可以降低迭代次數。

根據多匹配原則提出一種改進的壓縮感知重構算法——Orthogonal Multi-Matching Pursuit （OMMP）算法。OMMP算法的本質為通過當前最好的一組線性無關組與上次的候選集取交集來選擇原子。設[Λ]是通過測量矩陣[Φ]中的列向量來構成的索引集，則[Λk]就是通過k次迭代后選擇的原子構成的索引集。在每次迭代過程中，OMMP算法都會經過兩個階段的計算得到新原子，與OMP算法相比，OMMP算法中當前殘差與剩余原子的相關性是通過在第一階段計算當前殘差與剩余原子的內積來得到的。

步驟6? ? 將先前已設置好的誤差參數與[rk22]進行比較，或計算索引集原子數目是否已達到要求值。若不滿足停止條件，計算[n=n+1]，然后返回步驟2執行。

OMMP算法的迭代在[Λk]中的原子數達到了一個固定值時停止。實驗表明，為了使算法具有較好的重建效果，應該在[Λk]中原子數量設置為測量矩陣列數的一半時停止迭代。

通過以上的基本步驟可見，OMMP算法與OMP算法的核心區別在于OMP算法每次都選擇一個內積較大的原子，而OMMP算法則是選取一個在兩次連續迭代中相關性都較大的一個原子，所以在原子的選擇方面，OMMP算法比OMP算法的魯棒性更高并加快了原子的選擇速度。

在方向圖綜合問題中，壓縮感知技術適用于一維線陣情況，若將問題擴展到二維矩形陣列中，低秩恢復技術的優勢便顯現出來。將問題從一維擴展到二維，利用低秩恢復技術把稀疏矩陣恢復成均勻矩陣，用更少的稀疏陣元達到均勻陣元方向圖綜合的效果，這會對設備的簡易性與經濟性有很好的效果。

Wright等[9]最早提出的低秩矩陣恢復，是指在原始矩陣是低秩的或近似低秩的前提下，在某些元素被嚴重損壞的矩陣中自動識別出被損壞的元素并對原始矩陣進行恢復，因此低秩矩陣恢復又被稱為低秩稀疏矩陣分解（Low Rank and Sparse Matrix Decomposition，LRSMD） 或魯棒主成分分析（Robust Principal Component Analysis，RPCA）。

假設矩陣D由一個低秩矩陣A和一個噪聲矩陣E組成，其中E是稀疏矩陣，換句話說，矩陣E中的非零元素較少，此時就可以利用低秩恢復技術來求解問題，因此可以用如下優化問題來描述低秩矩陣恢復：

式中：[E0]是稀疏矩陣的[l0]范數，表示矩陣中非零元素的個數。式（8）是一個計算量非常大的NP難問題，因此需要尋找到合適的方法來近似求解這一最優化問題，Candes[10]已經從理論上證明了通過[l1]范數（矩陣中元素絕對值的和）最小化求解得到的解與[l0]范數最小化的解非常接近，因此可以將[l0]范數最小化問題松弛為[l1]范數最小化問題。式（8）中的[rank]函數是非凸的不連續函數，其值為奇異值的[l0]范數，而奇異值的[l1]范數就是核范數，因此可以根據上述理論將矩陣的[rank]函數近似為核范數，如式（9）：

式中：[A*]是矩陣的核范數，且滿足[A*=k-1nδkA];[δkA]為矩陣的第k個奇異值;[λ]是權重參數，通常可設定為[λ=1max（m，n）]。

式（9）的本質就是用具有唯一可求解的方程代替具有多個解的方程，用求解矩陣主對角線上所有元素之和代替求解矩陣的秩。Recht[11]從理論上證明了用凸優化求解問題的可行性，而對于矩陣是稀疏的這一前提，我們可認為相對于數據本身來說大多數的干擾和噪聲是稀疏的。

其中LRMR技術主要包括Accelerate Proximal Gradient （APG）與Augmented Lagrange Multipliers （ALM），而ALM又分為Exact Augmented Lagrange Multipliers （EALM）與Inexact Augmented Lagrange Multipliers （IALM）兩種算法。其中APG算法就是在某一點最小化目標函數的近似函數，ALM算法實際是運用次微分與閾值迭代的算法近似替代最優解，而EALM和IALM算法之間的區別在于低秩矩陣A和噪聲矩陣E的交替更新次數。在EALM中是交替更新A和E得到近似解，在IALM中只需要對A和E各更新一次得到子問題的近似解。

2 仿真實驗

本論文的仿真實驗環境為：微機型號Lenovo G460，CPU（Intel（R） Core（TM） i3-380M 2.53 GHz），內存2.00 GB，硬盤容量500 GB，軟件平臺Windows7（32位）操作系統，Matlab7.0。

2.1 稀疏線陣設計

現在將壓縮感知技術應用于稀疏線性陣列方向圖的求取，并對仿真效果進行分析。

給定一個具有[N]個陣元的均勻矩陣[L0]，并且設每個陣元的權值都為1。首先根據壓縮感知技術對線陣進行稀疏，得到稀疏線陣[L1]，使得剩余位置的陣元的權值為[wii∈Ω]，其中[Ω]是剩余陣元位置的集合。然后通過重構算法將稀疏線陣[L1]重構為恢復線陣[L3]，利用經典算法分別對[L0]和[L3]進行方向圖綜合，分析效果。

例1：令2N = 20，[d=λ2]，SLVL = -35 dB，用PSO算法進行綜合，取適應度函數為

式中：[S=θ0≤θ≤90°-θ0或90°+θ0≤θ≤180°];[PSLL]為實際峰值旁瓣電平;SLVL為預期的峰值旁瓣電平。

經過250次迭代，實驗結果如圖1所示。從圖1可以看出，經過OMMP算法重構權值后的低旁瓣方向圖的峰值旁瓣電平可達到-35 dB，而經過OMP算法重構權值后的低旁瓣方向圖的峰值旁瓣電平只有-25 dB。

例2：令2N = 20，[d=λ2]，要求在[θ=70°]處形成-80 dB的深零陷，SLVL = -35 dB，使用凸優化算法來進行方向圖綜合。選用CVX工具箱來進行綜合，經過250次迭代，最終所得實驗結果如圖2所示。從圖2可以看出，經過OMMP算法與OMP算法重構后的深零陷方向圖均滿足了實驗要求。

根據以上2個例子可以看出，在相同的算法與參數條件下，經過OMMP算法重構后的線陣方向圖與原方向圖的結果更接近，效果更好。

根據壓縮感知原理，將稀疏線性陣列恢復成均勻線陣，然后再進行方向圖綜合，這樣可以用較少的稀疏陣元，達到實現均勻陣元方向圖綜合的效果，這對設備的小型化和經濟性有很好的作用。

2.2 稀疏面陣設計

根據低秩恢復技術，可以對10 × 10的均勻矩陣（權值為1）稀疏、重構并得到其方向圖。為了得到一個均勻平面矩形天線陣的Chebyshev方向圖（圖3），在這里用稀疏矩形天線陣來實現。假設期望的副瓣電平SLVL = -30 dB，對于一個10 × 10的均勻矩陣，陣元間距[d=λ2]，權重因子由Chebyshev法產生。從均勻矩陣中隨機不斷移除陣元，之后分別用3種低秩恢復算法進行恢復并進行方向圖綜合，直到剩余陣元恰好滿足方向圖的要求。

3種低秩恢復算法綜合所得方向圖分別如圖4、圖5、圖6所示，算法運行具體指標如表1所示。可以看出，3種低秩恢復算法均可較好地將稀疏矩陣恢復成均勻矩陣，并得到符合要求的方向圖。其中，EALM算法的稀疏效果最好，APG算法的方向圖誤差最小。

綜上所述，將低秩恢復算法應用于稀疏矩陣天線方向圖綜合，可以在節省20%～30%的陣元的情況下獲得與原矩陣十分接近的方向圖綜合效果，因此低秩恢復算法在稀疏矩陣天線方向圖綜合中的應用獲得了成功。

3 結語

本文提出了一種陣列稀疏的新方法，對線陣與面陣分別采用壓縮感知與低秩矩陣恢復技術來減少陣元數。通過實例仿真分析，證明了該方法的有效性。通過稀疏陣列，可以減小天線的尺寸，在經濟上有許多優點。但是基于壓縮傳感的稀疏陣列的方向系數通常比均勻陣列的方向系數小得多。雖然合成的稀疏陣列可以獲得與均勻陣列相同的天線方向系數和方向圖，但其天線陣元數較少，因此會損失掃描能力。在以后的研究中，將對這個問題進行深入探討，希望能找到更好的方案。

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[責任編輯? ? 田? ? 豐]