幾類典型的非勻速率曲線運動問題分析

畢桂英 王兵 吳廣國 鄒斌

[摘? ?要]曲線運動問題是高考和自主招生考試中的熱點問題。文章用三種方法，詳細分析了輕繩拉著小球在豎直平面中做圓周運動時重力瞬時功率的極值問題。文章還詳細研究了地面上的平拋運動以及天體運動中的橢圓、拋物線和雙曲線三種非勻速率二次曲線運動的軌道與能量問題。

[關鍵詞]曲線運動;重力瞬時功率;軌道能量;軌道曲率半徑

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0048-03

一、切向加速度和法向加速度問題

在中學物理曲線運動的學習中，只研究相對較為簡單的圓周運動和平拋運動。研究圓周運動時，也主要研究勻速率圓周運動，而對于非勻速率圓周運動，通常只研究圓周的最高點和最低點兩個狀態或從功能關系角度來解決非勻速率圓周運動問題[1]。教材中處理勻速率圓周運動的公式[F向=mv2r]，在非勻速曲線運動中仍然成立，這里的r為做曲線運動物體在該點的曲率半徑[2]。

如圖1所示是長為r的不可伸長的細繩，一端系在釘子O上，另一端系著質量為m的小鋼球，初始時刻在最高點給小鋼球一個初速度[v0]，使小鋼球在豎直平面內做完整的圓周運動，當小球所在位置繩與豎直方向的夾角為[θ]時，試分析小球在如圖1所示的位置處的受力情況。

解析：以小球為研究對象進行受力分析，小球受到重力mg和繩的拉力F的作用，如圖1所示。繩的拉力F與重力mg沿半徑方向的分力之和，提供了小球做圓周運動的向心力，改變小球運動的速度方向。

而重力mg沿速度方向即圓周切線方向的分力提供了小球的切向加速度[aτ]。

切向加速度表示小鋼球的速度大小變化的快慢。因切向加速度不為零，所以小球做非勻速率圓周運動。

二、重力瞬時功率問題

不可伸長的輕繩長為L，輕繩一端固定于O點，另一端系一小球，小球質量為m，現將小球拉至水平位置由靜止釋放，小球做圓周運動的一部分，如圖2所示。在小球到達最低點B的過程中，試分析小球在這個過程中重力做功的瞬時功率的大小變化[3]。

1.借助數學工具Desmos軟件

2. 利用一階導數求函數最值

這種求解方法涉及導數，對參加物理競賽的學生來說較為簡單;但對普通高中生來說，還是用高中基本數學方法求解更容易理解。

3. 用三角函數求最值

三、平拋運動中，t時刻位置處的曲率半徑問題

如圖4所示，一物體做平拋運動，水平拋出的速度為[v0]，求物體經過任意時刻t所在位置處的曲率半徑[ρ]。

四、天體運動的軌道與能量問題

1.橢圓軌道機械能與特殊點的曲率半徑

如圖5所示，假設質量為m的地球繞太陽（質量記為M）做橢圓曲線運動，該橢圓軌道半長軸和半短軸分別為a和b。試求：（1）在橢圓軌道的三個頂點A、B和C處地球m運動的線速度;（2）A點的曲率半徑。

解析：（1）地球從A點運動到B點的過程，機械能守恒，故有：[12mv2A+-GMma-c=12mv2B+-GMma+c]

（2）采用自然坐標系，設A點的曲率半徑為[ρA]，然后應用動力學（法向）方程有[GMm（a-c）2=mv2AρA]，將[vA]代入上式得[ρA=b2a]。

2.拋物線軌道

如圖6所示，一質量為m的天體繞質量為M的天體運動，m恰好能擺脫M的引力束縛，天體m做拋物線運動，其軌跡方程為[y2=2px]，試求m在拋物線頂點處的曲率半徑[ρ]是多少？

解析：因為天體m恰好擺脫M的引力束縛，即天體m到達無限遠處時，動能恰好為零，所以系統的總能量[E=0]。

設m在頂點O處的速度為[v]，由機械能守恒定律得：

在O點處，M對m的萬有引力提供了m在該處法向加速度，此時切向加速度為零，

3.雙曲線軌道

設天體m在雙曲線的正半支上運動，中心天體M位于焦點處，該雙曲線的方程為[x2a2-y2b2=1]，焦距[c=a2+b2]，如圖7所示，試求天體m在雙曲線頂點處的曲率半徑[ρ]。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 劉銀奎.核心素養導向下的高中物理教學初探：以“曲線運動”教學為例[J].物理教學，2018（3）：18-21+31.

[2]? 嚴導淦.論質點運動學的內稟方程及其應用[J].物理與工程，2014（6）：13-16.

[3]? 許文波，李興.從一道選擇題說起：兼談功率最大值的幾種求法[J].湖南中學物理，2013（7）：58-59.

（責任編輯 易志毅）