數學問題的巧解策略

胡小平 周茜

[摘 要]利用數學的理論、公式，構造出滿足數學問題的條件或者結論的一種數學模型，體現其解法為“打破常規、另辟蹊徑”的情境，讓所求數學問題獲得巧解，從而達到妙解數學問題，以此培養學生思維的獨創性，發展學生的創新思維與創新能力.

[關鍵詞]數學問題;模型;巧解

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2020）29-0025-02

對于一些數學問題，若能充分抓住“已知題干”的結構，挖掘出它的顯性或隱性條件，巧妙地構造相適應的數學模型，就可以簡捷地求得問題的解.

一、構圓錐曲線模型，巧解數學問題

評注：? 該證法“抓住”已知式的結構，深入挖掘出它的幾何背景，巧妙地構造圓錐曲線（橢圓）模型，簡捷地將問題解決.應用構造法解題，見解獨特，不循常規，妙趣橫生.

二、構矩形模型，巧解數學問題

三、構配對數式模型，巧解數學問題

評注：配對思想是數學的重要思想之一，在求解某些數學問題時，合適的配對方式往往能使計算或計數的過程簡化，起到事半功倍的效果.該題的解法主要是在觀察數學問題的結構的指引，誘發創新思維與創新潛能，從而聯想到利用構造法配對數式來解決.

四、構三角形模型，巧解數學問題

五、構非負數模型，巧解數學問題

評注：對于許多數學問題，比如求代數式的值，解方程（組），解不等式，證明條件等式，由于其“證解方法”因題而異，因而難度較大.若能對已知的式子巧妙地構造成非負數的模型，再利用非負數的知識，從而使問題迅速被巧解.

六、構恒等式模型，巧解數學問題

七、構定理模型，巧解數學問題

分析：顯然這道題要求較高， 從常規思路去思考往往很難尋找到突破口， 但是考慮到題中的位置關系——圓與四邊形[AB1C1D1]，再運用Ptolemy定理問題獲證.

評注：對于這道涉及幾何與代數的綜合問題，巧妙借助了題中暗含的數的信息，靈活構造三角形的面積參量，巧妙借用Ptolemy定理這一座“橋”順利地利用“形”把“數”綜合的問題解決了，其解法讓人稱“絕”.

總之，數學問題涉及內容豐富多彩，呈現的形式千姿百態，解題策略自然也會多種多樣.教者要引導學生充分聯想所學數學方法，巧妙構造典型的數學模型，從而給出數學問題的妙解.這樣既可以啟迪和拓展學生的思維，又能提升學生的數學素養.

（責任編輯 黃桂堅）