六自由度電液振動臺矩陣控制方法誤差分析

(大連海事大學機械工程系， 遼寧大連 116026)

引言

電液振動臺剛度大，精度高，可產生較大輸出力，常用于研究和檢驗產品在振動條件下的結構可靠性和操縱可靠性[1-2]，例如日本防災科學研究所研制的E-Defense多軸振動臺[3]。對于多自由度振動臺控制的控制策略，以往多采用合成/分解矩陣進行鉸點空間與自由度空間之間的信號轉換[4]。目前振動臺多為正交結構布置，普遍采用矩陣控制算法，該算法平動自由度偏差小，能很好的完成平動自由度的振動環境模擬。

隨著振動環境試驗的復雜化，平動自由度的振動模擬往往不能滿足復雜的振動環境要求，需要振動臺完成轉動自由度甚至多自由度復合運動。多自由度振動臺系統是一多變量和本質非線性的復雜系統，系統運動精度至關重要[5]。精確的運動學解算有利于提高系統的控制精度。運動學主要研究各驅動器運動規律和平臺運動規律之間的關系，是系統設計、驅動器設計和研究系統控制策略的基礎[6]。目前振動臺控制策略還普遍采用矩陣算法，該算法相對于運動學算法存在一定的誤差，影響控制精度。因此對矩陣算法的誤差進行量化的分析，對控制算法的優化與改進具有一定的指導意義。

本研究分析了六自由度振動臺矩陣算法與運動算法的原理，并對矩陣算法的誤差與產生的自由度耦合進行了仿真及實驗研究，在此基礎上對矩陣算法與運動學算法的特點進行了對比分析。

1 六自由度振動臺結構

六自由度振動臺實體圖及結構簡圖如圖1所示，結構參數如表1所示。該振動臺采用正交結構布置，水平向3個液壓缸(圖中1～3)連接平臺(圖中10)與反力支座(圖中7～9)、垂直向3個液壓缸(圖中4～6)與平臺和底座相連。

為了描述平臺的運動，在平臺中心構建2個坐標系，靜坐標系(Oxyz)和體坐標系(O′x′y′z′)。其中體坐標系與平臺固聯，其坐標原點位于水平向激振器上鉸點構成的長方形平面的中心，靜坐標系固定在大地上。在平臺處于中位時，靜坐標系與體坐標系完全重合，當平臺運動時，體坐標系隨平臺一起運動，而靜坐標系始終靜止不動。六個運動自由度分別為沿x,y,z軸的3個平動自由度px,py,pz以及按3-2-1順序旋轉的歐拉角Rz,Ry,Rx。

表1 振動臺尺寸參數 m

2 傳統矩陣控制

圖2為六自由度振動臺傳統矩陣控制系統[7]。其中的自由度分解矩陣與自由度合成矩陣可以實現自由度空間與鉸點空間信號的近似相互轉換。

圖2 傳統矩陣控制策略

設第i個液壓缸的伸縮量為Δli，當平臺位姿Q=[px,py,pz,rx,ry,rz]T(px，py，pz為平動位移量，m；rx，ry，rz為轉動角度，°)較小時，根據振動臺系統各液壓缸的分布及參數尺寸可得[8]：

Δl1≈px

Δl2≈py+d3·rz

Δl3≈py-d3·rz

Δl4≈-pz+d1·rx-d2·ry

Δl5≈-pz+d2·ry

Δl6≈-pz-d1·rx-d2·ry

(1)

寫成矩陣形式：

簡寫為：

ΔL=Hf·Q

(3)

其中,Hf為分解矩陣，合成矩陣為分解矩陣的逆：

(4)

根據零位線性化(sinx=x)的假設推導出自由度合成及分解矩陣，其局限性就是矩陣元素在控制運動過程中保持不變，并且平臺運動位姿應在初始位姿附近。當系統運動位姿較大時，這種基于零位線性化的方法推導的自由度合成信號、分解信號與實際系統的信號相比有較大的偏差，從而降低了振動臺系統的控制精度。

3 基于運動學分析的控制策略

六自由度振動臺系統基于運動學分析的控制策略如圖3所示，通過對位姿、速度及加速度進行運動學分析推導出液壓缸信號與自由度信號的實時代數關系，以替代傳統的分解/合成矩陣。

圖3 運動學控制策略

3.1 速度、加速度正/反解算法

六自由度電液振動臺是一種典型的并聯機構，關于并聯機構的位置正/反解算法可參考文獻[9]、文獻[10]。這里對速度與加速度的正/反解算法作一些補充。

振動臺上平臺的空間六維速度與各液壓缸伸縮速率之間有如下關系[5]:

ΔL′=J·[P′ω]T

(5)

(6)

式(5)反映了振動臺速度與液壓缸速度的實際數量關系。對式(5)求時間導數可得：

(7)

其中, ΔL″為各液壓缸伸縮加速度；P″為平臺3個平動自由度線加速度；ω′為平臺3個轉動自由度角加速度。

3.2 雅克比矩陣的時間導數矩陣

由式(6)可得：

(8)

由式(8)可知雅克比矩陣的時間導數矩陣可以分為兩個部分。第一部分是液壓缸單位矢量方向的時間導數；另一部分是叉乘部分的時間導數。

第i個液壓缸的單位矢量方向等于液壓缸下鉸點到上鉸點的矢量方向除以此時的液壓缸長度，即：

(9)

對式(9)求時間導數：

(10)

式(10)中L′i為液壓缸矢量的時間導數，因此等于該液壓缸上鉸點的速度，根據速度合成定理，絕對速度等于牽連速度加上相對速度，有：

(11)

式(10)中|Li|′為液壓缸長度的時間導數，因此等于液壓缸的伸縮速度，即：

|Li|′=ΔL′

(12)

由MERLET[11]文章中的叉乘求導結果可得：

(13)

將式(10)、式(13)帶入式(8)即可得雅克比矩陣的時間導數矩陣。

基于運動學分析獲得的自由度空間與鉸點空間的轉換關系是一種精確的數學模型，運動學算法的解算誤差可以忽略不計，該算法極大的彌補了傳統矩陣算法中的解算誤差，尤其是平臺大位姿時的解算誤差。

4 實驗研究

實驗所用的六自由度電液振動臺如圖4所示。主機與目標機之間的通信通過網絡連接實現，振動臺系統與目標機通過I/O設備連接，其中信號處理單元與伺服閥及各傳感器相連，實時采集并處理各個液壓缸的位移、速度及加速度。控制系統基于Simulink RTW/XPC平臺構建，實現對系統的實時監控[12]。利用Simulink/XPC在主機上搭建振動臺系統控制模型，通過RTW將振動臺系統控制模型生成C代碼，通過以太網將生成的執行代碼下載到目標機中，進而實現在主機上進行實時調試、在線調整參數的目的。

圖4 六自由度電液振動臺試驗系統

矩陣算法的解算誤差隨工況不同而變化。本研究分別對平動自由度pz與轉動自由度rx這兩個具有代表性的單自由度進行試驗研究。首先通過低頻大位姿試驗研究了矩陣算法的位置解算法誤差與產生的自由度耦合。對于矩陣算法的加速度解算誤差，由于振動臺系統的運動范圍受液壓缸的性能限制，當平臺做正弦運動時，不同頻率下平臺所能達到的最大位姿有限，而矩陣算法的加速度解算誤差與平臺實際位姿有關，因此可以結合運動頻率與此時的正弦運動最大幅值來分析加速度的最大誤差。

基于運動學分析獲得的自由度空間與鉸點空間的轉換關系是一種精確的數學模型，運動學算法的解算誤差可以忽略不計，因此可以利用運動學算法根據實驗測得的各液壓缸的位移、速度和加速度解算出平臺實際位姿和實際加速度。

4.1 pz運動誤差及耦合

根據零位線性化推導出的矩陣算法，系統運動位姿越大，偏差越大。但是對于正交布置的振動臺，零位線性化理論sinx=x只用于對平臺Rz,Ry,Rx自由度的解算。當平臺進行px,py,pz單自由度平動時，平動方向上的液壓缸的位移量沒有誤差，而轉動自由度矩陣算法誤差較大。

仿真表明，平動自由度最大解算誤差為5×10-9m，該誤差已經超出傳感器的分辨率，對系統控制精度的影響可以忽略。但由矩陣算法導致的對其他自由度產生的自由度之間的耦合運動較明顯。

實驗給定pz自由度幅值為0.03 m，頻率為0.5 Hz的正弦運動，采用矩陣控制算法。矩陣算法產生的rx耦合如圖5所示，平臺pz越大時，產生的rx耦合越大。

圖5 矩陣算法下產生的耦合(pz自由度運動)

4.2 Rx運動誤差及耦合

定義矩陣算法對平臺位置的解算誤差的計算公式為:

(14)

其中,qh為矩陣算法解算的平臺位姿；qr為平臺實際位姿。

實驗給定Rx自由度幅值為6°，頻率為0.5 Hz的正弦運動，矩陣算法對平臺位置的解算誤差與平臺實際位置的關系如圖6所示。當平臺rx增加時，矩陣算法對平臺位姿的解算誤差明顯增加。

定義平臺正弦運動時，矩陣算法對平臺加速度的解算誤差計算公式如下：

其中,ah(ω)為振動頻率為ω時矩陣算法解算的平臺加速度；ar(ω)為振動頻率為ω時平臺實際加速度。

圖6 矩陣算法解算誤差(Rx自由度運動)

不同頻率F下，進行多組Rx正弦實驗，幅值為該頻率下平臺最大運動范圍的50%，低頻采用位置控制模式，三狀態輸入為平臺位置信號；高頻時采用加速度控制模式，三狀態輸入為平臺加速度信號。其中10 Hz(加速度控制)平臺加速度arx時域響應如圖7所示。根據式(15)求取矩陣算法的誤差，結果如圖8所示。圖中實線為仿真結果，是利用MATLAB構建的數學模型計算得到的理論誤差；虛線為實驗中矩陣算法得到的平臺加速度誤差。由圖中結果可知，在低頻運動時，受液壓缸最大伸縮量限制，平臺具有相同的運動范圍，矩陣算法的加速解算誤差最大約為1.2%，實驗結果與仿真結果接近；當平臺做中頻或高頻運動時，受液壓缸最大速度或加速度限制，頻率越高平臺運動范圍越小，矩陣算法的加速解算誤差明顯減小。考慮液壓動力機構動力學特性差異、傳感器誤差等其他因素作用下，此時矩陣算法的解算誤差要遠高于仿真結果。因此在中高頻運動時，矩陣算法的加速度解算誤差對系統精度的影響很小，可以忽略不計。

圖7 10 Hz時平臺加速度arx時域響應

給定Rx自由度幅值為6°，頻率為0.5 Hz的正弦運動，采用矩陣控制算法，產生的ry耦合如圖9所示。由結果可知，當平臺rx越大時，矩陣算法產生的ry耦合越大。

圖8 矩陣算法的加速度解算誤差(Rx自由度運動)

4.3 算法執行周期TET

算法的執行周期是實時控制系統設計的重要指標。由圖6、圖8可知，運動學分析有助于提高低頻段的控制精度。對于高頻信號，考慮液壓動力機構的動態特性差異及傳感器噪聲等因素的影響，運動學分析的優勢并不明顯。圖10給出了矩陣控制與運動學分析相結合的控制策略。該算法在傳統的純矩陣控制策略基礎上，以位置正解替代原本的合成矩陣，以此提高低頻段控制精度。對于速度及加速度，仍基于合成矩陣求取。

圖10 矩陣/運動學控制策略

基于XPC系統，在Advantech工控機IPC-610上測試圖2、圖3和圖10所示算法的實時性，工控機CPU為Intel PD，主頻2.6 GHz，內存2 G。采用不同控制算法的執行周期(TET)如表2所示。

由表2可知矩陣控制策略的執行周期最短，采用矩陣與運動學算法結合的控制策略的執行周期與矩陣控制策略的執行周期接近，而使用純運動學控制策略的執行周期最長。如果優先考慮算法的執行周期，在保證算法的可實時性的前提下盡量減少算法解算誤差，那么圖10所示控制策略更適用于實時控制系統。

表2 不同控制策略的執行周期 s

5 結論

本研究以電液振動臺為研究對象，通過仿真及實驗分析了傳統矩陣控制算法產生的誤差與耦合，并對比了矩陣算法與運動學算法的執行周期，結果表明：

(1) 對于平動自由度，矩陣算法誤差很小，可以忽略不計，但是會產生轉動自由度的耦合運動，且耦合運動幅值隨平動自由度運動幅值的增大而增加；

(2) 對于轉動自由度，矩陣算法的位置解算誤差與平臺的位姿有關，平臺位姿越大，誤差越大，其他自由度的耦合也越大。當平臺以中高頻振動時，矩陣算法的加速度解算誤差很小，對控制精度的影響遠小于其他因素；

(3) 考慮到矩陣算法與運動學算法的執行周期，推薦使用矩陣與運動學分析相結合的控制算法。該算法彌補了大位姿時矩陣算法的平臺位置解算誤差，可以減小自由度耦合，提高控制精度，并且執行周期短，且易于工程實現。