一類具非線性中立項的二階微分方程的振動性

覃桂茳,楊甲山,劉玉周

(1. 梧州學院 大數據與軟件工程學院,廣西 梧州 543002; 2. 梧州學院 廣西高校行業軟件技術重點實驗室,廣西 梧州 543002; 3. 梧州學院 廣西高校圖像處理與智能信息系統重點實驗室,廣西 梧州 543002; 4.梧州學院 機械與材料工程學院,廣西 梧州 543002)

近年來，對微分方程的振動性等定性理論的研究引起了國內外學者的廣泛興趣[1-19].筆者考慮如下一類形式非常廣泛的具有一個擬線性中立項的二階Emden-Fowler型微分方程

{a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0，t≥t0

(1)

的振動性，總假設：

方程(1)的解及其振動性的定義可參見文獻[1，9].對于非線性中立項的微分方程振動性的研究是很困難的，所以學者們或者是回避這類方程的研究，或者是增加條件將非線性中立項轉化為線性的來討論[1-4,6-17]，只有文獻[5]直接研究了如下一類具有一個擬線性中立項的一階微分方程

得到了其解振動的一些判別準則.

最近，黃記洲等[15]研究了方程(1)的特殊情形(即α=1)的振動性，在β≥γ且a′(t)≥0時得到了方程

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0

振動的一些結果，但當β<γ時沒有得到方程的振動準則，且有較嚴格的條件“a′(t)≥0”.受到以上研究的啟發，筆者將利用Riccati變換和有關不等式(如Bernoulli不等式及Yang不等式等)來研究方程(1)的振動性，得到該方程振動的兩個新準則.作為方程(1)的特殊情形即當α=β=γ=1或者α=1且β=γ時的情形，所得到的這些振動準則改進了現有文獻中的一系列結果.

1 方程振動的充分條件

先給出3個引理，其中引理1由函數f(x)=xλ(0<λ≤1)凹凸性的定義就能得到，而引理2，3是眾所周知的，故其證明省略.

引理1設X，Y為非負實數，則當0<λ≤1時，Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ.

引理2(Bernoulli不等式) 對任意實數x>-1，當0≤r≤1時，(1+x)r≤1+rx，當r≤0或r≥1時，(1+x)r≥1+rx.

記

定理1設條件(H1)，(H2)成立，如果存在函數ξ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

(2)

其中：常數t2≥t0，有

(3)

其中：k>0和m>0均為常數，則方程(1)是振動的.

證明反證法.設方程(1)有一個非振動解x(t)，不妨設x(t)最終為正(當x(t)最終為負時類似可證)，則?t1≥t0，使得x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0(t≥t1).由z(t)的定義和方程(1)，可得z(t)≥x(t)>0，t≥t1，且有

[a(t)|z′(t)|β-1z′(t)]′=-q(t)xγ(δ(t))<0，

(4)

利用條件(H1)，由(4)式不難推出z′(t)>0，t≥t1.注意到引理1，2，則有

x(t)=z(t)-p(t)xα(τ(t))=z(t)-p(t)[1+xα(τ(t))]+p(t)≥

z(t)-21-αp(t)[1+x(τ(t))]α+p(t)≥z(t)-21-αp(t)[1+αx(τ(t))]+p(t)=

z(t)-α21-αp(t)x(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥z(t)-α21-αp(t)z(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥

[1-α21-αp(t)]z(t)-(21-α-1)p(t).

(5)

作廣義的Riccati變換w(t)如下

(6)

顯然w(t)>0(t≥t1).對(6)式求導，并利用(4),(5)式及a(t)(z′(t))β≤a(δ(t))(z′(δ(t)))β，可得

(7)

由于z(t)>0,z′(t)>0，t≥t1，因此

z(δ(t))≥z(……